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人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角精练
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这是一份人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角精练，文件包含2413弧弦圆心角练习学生版docx、2413弧弦圆心角练习教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
课后巩固
1．如图，AB是⊙O的直径，=，∠BOD=60°，则∠AOC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°，即可得出∠AOC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵=，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°；
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°是解决问题的关键．
2．在同圆中，圆心角∠AOB=3∠COD，则劣弧和的关系是（ ）
A．=3 B．＞3 C．＜3 D．不能确定
【分析】作∠AOB三等分线OE、OF，根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明即可．
【解答】解：作∠AOB三等分线OE、OF交圆于E、F，
则∠AOE=∠EOF=∠FOB=∠COD，
∴===，
∴=3．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B．= C．AC=BD D．AD=BD
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出=，=，AC=BD，即可得出选项．
【解答】解：∵AB=CD，
∴=，
∴﹣=﹣，
即=，
∴AC=BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD=BD，
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
4．如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE=FB，下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④=，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断①正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断④正确；连结AD．由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，③选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出弧AC=弧BD不一定等于弧CD，那么AC=BD不一定等于CD，判断②不正确．
【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故①正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故④正确；
连结AD．
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故③正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴弧AC=弧BD不一定等于弧CD，
∴AC=BD不一定等于CD，
故②不正确．
正确的有3个，故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
5．在⊙O中，圆心角∠AOB和∠COD相等，那么下列结论中错误的个数为（ ）
①=；②AB=CD；③△AOB≌△COD．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角、弧、弦的关系得到=，AB=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到△ABO≌△CDO，
【解答】解：如图，∵∠AOB=∠COD，
∴=，故①正确，AB=CD，故②正确，
在△ABO与△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO，故③正确，
故选D．
【点评】本题考查了圆周角，弧，弦的关系，全等三角形的判定，熟练掌握圆周角，弧，弦的关系是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，若=+30°，则∠DEC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】作辅助线，设∠EOD=x°，根据弧的度数即为弧所对圆心角的度数，分别表示出∠AOD、∠BOE的度数，再根据直径所对的圆周角为直角和等腰三角形的三线合一得：AE是角平分线，即圆周角相等，则所对的弧相等，圆心角相等；根据平角的定义列方程可求x的值，最后由四点共圆的性质和同圆的半径相等求出结论．
【解答】解：连接OE、OD、AE，
设∠EOD=x°，
∵=+30°，
∴∠AOD=（x+30）°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴∠BOE=x°，
则x+x+x+30=180，
x=50°，
∴∠AOD=30°+50°=80°，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO==50°，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC=∠BAC=50°，
故选D．
【点评】本题考查了弦、弧及圆心角的关系，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，其中作出辅助线是解本题的关键，在圆中常作的辅助线是连接半径，同时注意弧的度数即为弧所对圆心角的度数．
7．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＞2∠AOM
B．∠AOB=2∠AOM
C．∠AOB＜2∠AOM
D．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定
【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．
【解答】解：根据题意如图：
∵在⊙O中，M为的中点，
∴=，
∴∠AOM=∠MOB，
∴∠AOB=2∠AOM；
故选B．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，=，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=OD B．AC∥OD C．= D．=
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到∠1=∠2，再利用三角形外角性质和等腰三角形的性质可得到∠1=∠A，然后根据平行线的判定可得到AC∥OD．
【解答】解：∵=，
∴∠1=∠2，
∵∠BOC=∠A+∠C，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠1=∠A，
∴AC∥OD．
故选B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
9．在⊙O上有顺次三点A，B，C，且==，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】利用在同圆或等圆中等弧对等弦直接判定三角形的形状即可．
【解答】解：∵==，
∴AB=BC=CA，
∴△ABC是等边三角形．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是了解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中有一组量对应相等则其余两组量也对应相等，难度不大．
10．下列结论正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】利用圆的有关性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一优弧和一劣弧，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦三者的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是 ．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．
【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．
∵点B和点B′关于MN对称，
∴PB=PB′．
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．
∵OA=OB′=1，
∴AB′=．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键．
12．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 140° ．
【分析】设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，求出方程的解，即可得出答案．
【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是能根据题意得出方程．
13．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是 51° ．
【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，在⊙O中，=，AB=2，则AC= 2 ．
【分析】由于在⊙O中，=，AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．
【解答】解：∵在⊙O中，=，AB=2，
∴AC=AB=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
15．如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD= 40 °．
【分析】先根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
16．如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为 2﹣3 ．
【分析】先由条件可得到△OPB为等边三角形，并且OM为等边三角形OPB的高，再根据等边三角形的高为边长的倍计算出OM，即可得到QM．
【解答】解：∵∠BOP=60°，OP=OB，
∴△OPB为等边三角形，
而∠BOQ=30°，
∴OM为等边三角形OPB的高，
∴OM=OB，
而AB=，
∴OM=×2=3，
∴QM=2﹣3．
故答案为2﹣3．
【点评】本题考查了相等的弧所对的圆心角相等；也考查了等边三角形的性质．
17．如图，已知矩形ABCD的四个顶点都在圆O上，且：=1：2，则∠AOB= 120° ．
【分析】连接AC，得出AC为直径，求出弧DC的度数，得出弧AB的度数，即可得出答案．
【解答】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AC是直径，
∴弧ADC的度数是180°，
∵：=1：2，
∴弧DC的度数是120°，
∵矩形ABCD，
∴AB=DC，
即弧AB的度数也是120°，
∴∠AOB=120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
18．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB，CD相交于点E，的度数为130°，则∠COD= 100° ．
【分析】根据垂径定理和圆心角定理即可得到结果．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴，
∴∠AOC=∠AOD，
∵的度数为130°，
∴∠AOC=∠AO=130°，
∴∠COD=360°﹣130°﹣130°=100°，
故答案为；100°
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．
【分析】先连接OC，根据SAS证出△AOC≌△BOC，得出∠A=∠B，再根据OD=OE，得出AD=BE，然后根据SAS证出△ACD≌△BCE，从而得出∠ACD=∠BCE．
【解答】解：连接OC，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A=∠B，
∵OD=OE，
∴AD=BE，
∵在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD=∠BCE．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，构造全等三角形．
20．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．
【分析】此题需先证出∠AOC=∠BOC，再根据CD⊥OA，CE⊥OB，得出∠ODC=∠OEC，从而证出△COD≌△COE，得出OD=OE，再根据OA=OB，即可得出AD=BE．
【解答】证明：∵点C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC；
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC，
又∵OC=OC，
∴△COD≌△COE（AAS）．
∴OD=OE，
∵OA=OB，
∴AD=BE．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，需要通过全等三角形来证明．要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．
22．如图，AB为⊙O的固定直径，过⊙O上一点作CD⊥AB，交⊙O于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，到C点在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置是否发生改变？请说明理由．
【分析】连接OP，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CD∥OP，由于CD⊥AB，则OP⊥AB，根据垂径定理得到=，于是判断点P的位置不发生改变．
【解答】解：点P的位置不发生改变．理由如下：
连接OP，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠3，
而OC=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
即点P为半圆AB的中点．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
23．如图所示，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF．
【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，于是根据ASA证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=BF．
【解答】证明：∵C，D是的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△AOE与△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE=BF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．
24．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，P、Q分别是和的中点，求的度数．
【分析】先根据垂径定理的推论得到OP⊥AB，OQ⊥AC，再根据四边形内角和得到∠EOF=130°，然后利用圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数求解．
【解答】解：∵P、Q分别是和的中点，
∴OP⊥AB，OQ⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
而∠CAB=50°，
∴∠EOF=180°﹣50°=130°，
∴的度数为130°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数．也考查来了垂径定理的推论．
25．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．
【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OE=OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG=∠FOG，
∴=．
又∵OG⊥AB于点G，
∴=，
∴﹣=﹣，
即=．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．
课堂测试
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（ ）
A．OD=DC B．= C．AD=BD D．
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴=，AD=BD，∠AOC=∠BOC=∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，
OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
3．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 60° ．
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．
【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为 4 cm．
【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴⊙O的直径=2OA=4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
三．解答题（共1小题）
5．如图，已知直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO，=+，求∠DOB的度数．
【分析】根据=+，得到∠COD=∠AOC+∠BOD=×180°=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠D=45°，根据外角的性质得到∠P=∠COP=∠DCO=22.5°，即可得到结论．
【解答】解：∵=+，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD=×180°=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠D=45°，
∵PC=CO，
∴∠P=∠COP=∠DCO=22.5°，
∴∠DOB=∠P+∠D=67.5°．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解同圆的半径相等是解题的关键．
课后巩固
1．如图，AB是⊙O的直径，=，∠BOD=60°，则∠AOC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°，即可得出∠AOC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵=，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°；
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°是解决问题的关键．
2．在同圆中，圆心角∠AOB=3∠COD，则劣弧和的关系是（ ）
A．=3 B．＞3 C．＜3 D．不能确定
【分析】作∠AOB三等分线OE、OF，根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明即可．
【解答】解：作∠AOB三等分线OE、OF交圆于E、F，
则∠AOE=∠EOF=∠FOB=∠COD，
∴===，
∴=3．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B．= C．AC=BD D．AD=BD
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出=，=，AC=BD，即可得出选项．
【解答】解：∵AB=CD，
∴=，
∴﹣=﹣，
即=，
∴AC=BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD=BD，
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
4．如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE=FB，下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④=，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断①正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断④正确；连结AD．由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，③选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出弧AC=弧BD不一定等于弧CD，那么AC=BD不一定等于CD，判断②不正确．
【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故①正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故④正确；
连结AD．
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故③正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴弧AC=弧BD不一定等于弧CD，
∴AC=BD不一定等于CD，
故②不正确．
正确的有3个，故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
5．在⊙O中，圆心角∠AOB和∠COD相等，那么下列结论中错误的个数为（ ）
①=；②AB=CD；③△AOB≌△COD．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角、弧、弦的关系得到=，AB=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到△ABO≌△CDO，
【解答】解：如图，∵∠AOB=∠COD，
∴=，故①正确，AB=CD，故②正确，
在△ABO与△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO，故③正确，
故选D．
【点评】本题考查了圆周角，弧，弦的关系，全等三角形的判定，熟练掌握圆周角，弧，弦的关系是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，若=+30°，则∠DEC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】作辅助线，设∠EOD=x°，根据弧的度数即为弧所对圆心角的度数，分别表示出∠AOD、∠BOE的度数，再根据直径所对的圆周角为直角和等腰三角形的三线合一得：AE是角平分线，即圆周角相等，则所对的弧相等，圆心角相等；根据平角的定义列方程可求x的值，最后由四点共圆的性质和同圆的半径相等求出结论．
【解答】解：连接OE、OD、AE，
设∠EOD=x°，
∵=+30°，
∴∠AOD=（x+30）°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴∠BOE=x°，
则x+x+x+30=180，
x=50°，
∴∠AOD=30°+50°=80°，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO==50°，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC=∠BAC=50°，
故选D．
【点评】本题考查了弦、弧及圆心角的关系，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，其中作出辅助线是解本题的关键，在圆中常作的辅助线是连接半径，同时注意弧的度数即为弧所对圆心角的度数．
7．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＞2∠AOM
B．∠AOB=2∠AOM
C．∠AOB＜2∠AOM
D．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定
【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．
【解答】解：根据题意如图：
∵在⊙O中，M为的中点，
∴=，
∴∠AOM=∠MOB，
∴∠AOB=2∠AOM；
故选B．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，=，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=OD B．AC∥OD C．= D．=
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到∠1=∠2，再利用三角形外角性质和等腰三角形的性质可得到∠1=∠A，然后根据平行线的判定可得到AC∥OD．
【解答】解：∵=，
∴∠1=∠2，
∵∠BOC=∠A+∠C，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠1=∠A，
∴AC∥OD．
故选B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
9．在⊙O上有顺次三点A，B，C，且==，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】利用在同圆或等圆中等弧对等弦直接判定三角形的形状即可．
【解答】解：∵==，
∴AB=BC=CA，
∴△ABC是等边三角形．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是了解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中有一组量对应相等则其余两组量也对应相等，难度不大．
10．下列结论正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】利用圆的有关性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一优弧和一劣弧，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦三者的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是 ．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．
【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．
∵点B和点B′关于MN对称，
∴PB=PB′．
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．
∵OA=OB′=1，
∴AB′=．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键．
12．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 140° ．
【分析】设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，求出方程的解，即可得出答案．
【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是能根据题意得出方程．
13．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是 51° ．
【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，在⊙O中，=，AB=2，则AC= 2 ．
【分析】由于在⊙O中，=，AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．
【解答】解：∵在⊙O中，=，AB=2，
∴AC=AB=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
15．如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD= 40 °．
【分析】先根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
16．如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为 2﹣3 ．
【分析】先由条件可得到△OPB为等边三角形，并且OM为等边三角形OPB的高，再根据等边三角形的高为边长的倍计算出OM，即可得到QM．
【解答】解：∵∠BOP=60°，OP=OB，
∴△OPB为等边三角形，
而∠BOQ=30°，
∴OM为等边三角形OPB的高，
∴OM=OB，
而AB=，
∴OM=×2=3，
∴QM=2﹣3．
故答案为2﹣3．
【点评】本题考查了相等的弧所对的圆心角相等；也考查了等边三角形的性质．
17．如图，已知矩形ABCD的四个顶点都在圆O上，且：=1：2，则∠AOB= 120° ．
【分析】连接AC，得出AC为直径，求出弧DC的度数，得出弧AB的度数，即可得出答案．
【解答】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AC是直径，
∴弧ADC的度数是180°，
∵：=1：2，
∴弧DC的度数是120°，
∵矩形ABCD，
∴AB=DC，
即弧AB的度数也是120°，
∴∠AOB=120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
18．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB，CD相交于点E，的度数为130°，则∠COD= 100° ．
【分析】根据垂径定理和圆心角定理即可得到结果．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴，
∴∠AOC=∠AOD，
∵的度数为130°，
∴∠AOC=∠AO=130°，
∴∠COD=360°﹣130°﹣130°=100°，
故答案为；100°
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．
【分析】先连接OC，根据SAS证出△AOC≌△BOC，得出∠A=∠B，再根据OD=OE，得出AD=BE，然后根据SAS证出△ACD≌△BCE，从而得出∠ACD=∠BCE．
【解答】解：连接OC，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A=∠B，
∵OD=OE，
∴AD=BE，
∵在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD=∠BCE．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，构造全等三角形．
20．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．
【分析】此题需先证出∠AOC=∠BOC，再根据CD⊥OA，CE⊥OB，得出∠ODC=∠OEC，从而证出△COD≌△COE，得出OD=OE，再根据OA=OB，即可得出AD=BE．
【解答】证明：∵点C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC；
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC，
又∵OC=OC，
∴△COD≌△COE（AAS）．
∴OD=OE，
∵OA=OB，
∴AD=BE．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，需要通过全等三角形来证明．要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．
22．如图，AB为⊙O的固定直径，过⊙O上一点作CD⊥AB，交⊙O于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，到C点在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置是否发生改变？请说明理由．
【分析】连接OP，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CD∥OP，由于CD⊥AB，则OP⊥AB，根据垂径定理得到=，于是判断点P的位置不发生改变．
【解答】解：点P的位置不发生改变．理由如下：
连接OP，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠3，
而OC=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
即点P为半圆AB的中点．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
23．如图所示，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF．
【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，于是根据ASA证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=BF．
【解答】证明：∵C，D是的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△AOE与△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE=BF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．
24．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，P、Q分别是和的中点，求的度数．
【分析】先根据垂径定理的推论得到OP⊥AB，OQ⊥AC，再根据四边形内角和得到∠EOF=130°，然后利用圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数求解．
【解答】解：∵P、Q分别是和的中点，
∴OP⊥AB，OQ⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
而∠CAB=50°，
∴∠EOF=180°﹣50°=130°，
∴的度数为130°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数．也考查来了垂径定理的推论．
25．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．
【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OE=OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG=∠FOG，
∴=．
又∵OG⊥AB于点G，
∴=，
∴﹣=﹣，
即=．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．
课堂测试
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（ ）
A．OD=DC B．= C．AD=BD D．
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴=，AD=BD，∠AOC=∠BOC=∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，
OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
3．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 60° ．
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．
【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为 4 cm．
【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴⊙O的直径=2OA=4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
三．解答题（共1小题）
5．如图，已知直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO，=+，求∠DOB的度数．
【分析】根据=+，得到∠COD=∠AOC+∠BOD=×180°=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠D=45°，根据外角的性质得到∠P=∠COP=∠DCO=22.5°，即可得到结论．
【解答】解：∵=+，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD=×180°=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠D=45°，
∵PC=CO，
∴∠P=∠COP=∠DCO=22.5°，
∴∠DOB=∠P+∠D=67.5°．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解同圆的半径相等是解题的关键．
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