24.4 弧长和扇形面积

一、教学目标

（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.

（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.

（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.

二、教学重难点

（1）教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；

（2）教学难点：圆锥的侧面积和全面积；

知识点一：弧长公式

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)

例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为

l=nπr/180

=45×π×1/180

=45×3.14×1/180

约等于0.785

【提醒】

(1)  在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；
(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；
(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.

例1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（　　）

A． B． C．2π D．

【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．

【解答】解：连接OD，

∵∠ABD=30°，

∴∠AOD=2∠ABD=60°，

∴∠BOD=120°，

∴的长==，

故选：D．

【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．

例2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）

A．2π B． C． D．

【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．

【解答】解：如图，连接CO，

∵∠BAC=50°，AO=CO=3，

∴∠ACO=50°，

∴∠AOC=80°，

∴劣弧AC的长为=，

故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．

变式1.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　2π　cm．

【分析】根据弧长公式可得结论．

【解答】解：根据题意，扇形的弧长为=2π，

故答案为：2π

【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

变式2.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为　9　cm．

【分析】根据弧长公式L=求解即可．

【解答】解：∵L=，

∴R==9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．

知识点二：扇形与扇形的面积公式

1.扇形的定义

一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然， 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

2.扇形的面积公式

①角度制计算

,其中 l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。

②弧度制计算

，其中l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。

【提醒】

（1）对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.

（2）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.

例1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是　6π　cm2．

【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．

【解答】解：设扇形的半径为Rcm，

∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，

∴=3π，

解得：R=4，

所以此扇形的面积为=6π（cm2），

故答案为：6π．

【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．

例2.已知扇形的弧长为2πcm，圆心角为120°，则扇形的面积为　3π　cm2．

【分析】首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题．

【解答】解：设该扇形的弧长为λ，半径为μ，圆心角为α°，

则，而α=120，

解得：μ=3，

∴该扇形的面积==3π（cm2），

故答案为3π．

【点评】该题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键．

变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）

A．2 B． C．πm2 D．2πm2

【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．

【解答】解：

连接AC，

∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，

∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，

∵AB2+BC2=22，

∴AB=BC=m，

∴阴影部分的面积是=（m2），

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．

变式2．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π

【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．

【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，

∴∠C=120°，

∴图中阴影部分的面积是：=3π，

故选：C．

【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．

知识点三：圆锥及有关概念

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

【提醒】

圆锥的特征：

（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。

（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。

（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。

（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。

圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母线的平方.

点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：①底面是一个圆；②侧面是一个曲面，③只有一条条高；④有一个顶点。

例1.说一说下面哪些是圆锥

例2.

1、判断

（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。（   ）

（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。（    ）

（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。（    ）

2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”，不是的打“×”。

（1）（ ）    （2）（ ）       （3）（ ）    （4）（ ）    （5）（ ）

变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？

变式2.下列对高的测量正确的是（     ）

A                  B                C 

拓展点一：弧长公式的应用

例1.如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则的长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π

【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．

【解答】解：连接OA、OB，

∵∠APB=45°，

∴∠AOB=2∠APB=90°，

∴的长为=π，

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．

例2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则的长等于（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π

【分析】根据圆周角得出∠AOB=60°，进而利用弧长公式解答即可．

【解答】解：∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=60°，

∴的长=，

故选：B．

【点评】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB=60°．

例3.如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC=36°，且⊙O的半径为1，则劣弧BC的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π

【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．

【解答】解：连接OB，OC，

则∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，

故劣弧BC的长是．

故选：B．

【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键，难度一般．

变式1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；

（2）根据弧长公式解答即可．

【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，

即OC⊥AD，

∴AE=ED；

（2）∵OC⊥AD，

∴，

∴∠ABC=∠CBD=36°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，

∴．

【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．

拓展点二：扇形面积公式的应用

例1.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（　　）

A． B． C． D．

【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；

【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，

∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，

∵DE=DC，

∴∠C=∠DEC=20°，

∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，

∴S扇形DBE==π．

故选：C．

【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．

例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16

【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2，根据阴影部分的面积=S⊙O﹣S正方形ABCD列式计算可得．

【解答】解：连接OA、OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∴OA=ABcos45°=4×=2，

所以阴影部分的面积=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×（2）2﹣4×4=8π﹣16．

故选：B．

【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．

变式1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC=．

（1）求∠A的度数．

（2）求弧CBD的长．

（3）求弓形CBD的面积．

【分析】（1）根据题意可以求得BC的长和∠ACB的度数，从而可以求得∠A的度数；

（2）根据（1）中的结果可以求得∠COD的度数，从而可以求得弧CBD的长；

（3）根据图形可知，弓形CBD的面积等于扇形CBD与△COD的面积之差，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）连接BC，BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=2，

AC=，

∴BC=1，

∴∠A=30°；

（2）连接OC，OD，

∵CD⊥AB、AB是直径，

∴∠BOC=2∠A=60°，

∴∠COD=120°，

∴弧CBD的长是：；

（3）∵OC=OA=1，∠BOC=60°，

∴CP=OC•sin60°=1×=，OP=OC•cos60°=，

∴CD=2CP=，

∴弓形CBD的面积是：．

【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

拓展点三：阴影部分的面积的计算

例1.如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为　　．

【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．

【解答】解：过点O作OD⊥AB，

∵∠AOB=120°，OA=2，

∴∠OAD==30°，

∴OD=OA=×2=1，AD===．

∴AB=2AD=2，

∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．

例2.已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．

（1）求DE的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，根据中点的性质出去OD，根据勾股定理求出DE；

（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．

【解答】解：（1）连接OE，

∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，

∴OD=OC=3cm，

∵OC⊥AB，DE∥AB，

∴∠ODE=90°，

∴DE==3；

（2）∵OD=OC，∠ODE=90°，

∴∠OED=30°，

∴∠DOE=60°，

∴图中阴影部分的面积=﹣×3×3=6π﹣（cm2）．

【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握垂径定理、扇形面积公式是解题的关键．

拓展点四：圆锥的有关计算

例1.求下列圆锥的体积。（单位：cm）

例2.一个扇形纸片的半径为30，圆心角为120°．

（1）求这个扇形纸片的面积；

（2）若用这个扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．

【分析】（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；

（2）根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．

【解答】解：（1）∵扇形纸片的半径为30，圆心角为120°，

∴扇形的面积为=300π；

（2）设圆锥底面圆的半径为r，

则2πr=，

解得：r=10，

故圆锥的底面半径为10．

【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是牢固掌握扇形的面积公式和弧长公式，难度不大．

拓展点五：运动型问题

例1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥体，求圆锥体的全面积．

【分析】先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上底面积可得到圆锥的侧面积．

【解答】解：AB==10，

所以△ABC绕AC边旋转一周得到的圆锥体的母线长为10，底面圆的半径为8，

所以此圆锥的侧面积=•2π•8•10=80π，底面的面积=π•82=64π，

所以圆锥体的全面积=80π+64π=144π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．