2021年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题

这是一份2021年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
2．绥德县，位于陕西省北部，榆林市东南部，其行政区域总面积约185000公顷．数据185000用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×105B．18.5×105C．0.185×105D．185×103
3．如图，已知直线AB∥CD，若∠B＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
4．正比例函数y＝（m2+1）x经过的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、四象限D．第二、三象限
5．计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（ ）
A．﹣x4y4zB．x4y4z2C．﹣x4y4zD．x4y4z2
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是AB的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）
A．3B．4C．5D．
7．如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
10．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，得到抛物线C2，将抛物线C2绕其顶点旋转180°得到抛物线C3，则抛物线C3与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（0，﹣2）D．（0，2）
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．计算：|﹣2|+2sin60°的值为 ．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF ．
13．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点△ABC＝2，则m﹣n的值为 ．
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺肘针旋转120°后得到对应的线段CF，则线段DF的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：（1+）÷．
17．（5分）如图，在△ABC中，AC＝3，请用尺规作图法，在BC上求作一点O△AOC：S△AOB＝3：5．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝CE，求证：AE＝EB．
19．（7分）进入2021年以来，全球新冠肺炎疫情流行加速，异常严峻的国际疫情形势，某校组织了一次防疫知识培训．培训结束后进行测试，试题的满分为10分（共5小题，每小题2分），并用得到的数据绘制了不完整的统计图：
请根据相关信息，解答下列问题
（1）图1中m的值是 ，并补全条形统计图；
（2）所抽取学生成绩的众数是 分，平均数是 分；
（3）若该校有1000名学生，请你估计该校本次测试成绩为满分的学生共有多少名？
20．（7分）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG
21．（7分）绥德雪花是糕点中的珍品，有“糕点之王”的称誉．形似月饼，呈黄白色，是深受老百姓喜爱的一种传统美食．某公司的王小姐去绥德出差，准备回去时带点绥德雪花给家人和朋友品尝．已知甲、乙两家超市都以30元/袋的价格销售同一品牌、同一规格的绥德雪花
甲超市：办理本超市会员卡（卡费60元），食品全部打六折销售；
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．
活动期间，若王小姐购买绥德雪花x袋，在甲、乙超市所需费用分别为y甲元、y乙元、y乙与x之间的函数图象如图所示，解答下列问题：
（1）分别写出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）王小姐准备购买15袋绥德雪花，你认为在哪家超市购买更划算？
22．（7分）3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以“魅力女性，班主任制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为 ．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1张不放回，李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cs∠BCD＝
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是杏存在点N，使以点M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
25．（12分）[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，则线段AC长度的最大值是 ；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量米，BC＝120米，∠ACB＝30°（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由．
2021年陕西省宝鸡市金台区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．绥德县，位于陕西省北部，榆林市东南部，其行政区域总面积约185000公顷．数据185000用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×105B．18.5×105C．0.185×105D．185×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：185000＝1.85×105．
故选：A．
3．如图，已知直线AB∥CD，若∠B＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△MDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
4．正比例函数y＝（m2+1）x经过的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、四象限D．第二、三象限
【分析】判断m2+1的符号即可得到答案．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m8+1＞0，
而正比例函数y＝kx当k＞2时图象经过一、三象限，
∴正比例函数y＝（m2+1）x经过一、三象限，
故选：A．
5．计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（ ）
A．﹣x4y4zB．x4y4z2C．﹣x4y4zD．x4y4z2
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣x6y2z）2＝＝．
故选：B．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是AB的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）
A．3B．4C．5D．
【分析】根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵D是AB的中点，
∴线段CD是中线，
∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC＝S△ABC＝××3×8＝12．
如图，连接DE，
∵E为BC边的中点，
∴S△DEC＝S△BDC＝6，
∵S△DEC＝DC•EF，
∴×8EF＝6，
解得：EF＝，
故选：D．
7．如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞8，
所以关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜4，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣4＜3，
即：x＜4，
故选：D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
9．如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故选：C．
10．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，得到抛物线C2，将抛物线C2绕其顶点旋转180°得到抛物线C3，则抛物线C3与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（0，﹣2）D．（0，2）
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据抛物线C2绕其顶点旋转180°后顶点不变，开口方向相反，由此可得到抛物线C3所对应的函数表达式，令x＝0，即可求得交点坐标．
【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣8x+3＝（x﹣1）3+2，
∴抛物线C1的顶点为（4，2），
∵向左平移2个单位长度，得到抛物线C7，
∴抛物线C2的顶点坐标为（﹣1，6），
∵将抛物线C2绕其顶点旋转180°得到抛物线C3，
∴抛物线C6的开口方向相反，顶点为（﹣1，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x+7）2+2，
令x＝5，则y＝1，
∴抛物线C3与y轴的交点坐标是（5，1）．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．计算：|﹣2|+2sin60°的值为 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+4×
＝5﹣+
＝4．
故答案为：2．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF 30 ．
【分析】由正六边形的性质得出∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝30°．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB＝∠ACF＝30°．
故答案为：30°．
13．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点△ABC＝2，则m﹣n的值为 4 ．
【分析】连接AO，CO，将△ABC面积转化为△ABO的面积，再通过＝2求解．
【解答】解：连接AO．CO，
∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点，
∴AB∥y轴，
∴S△ABC＝S△ABO＝2，
∴＝2．
∴＝8，
即m﹣n＝4．
故答案为：4．
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺肘针旋转120°后得到对应的线段CF，则线段DF的最小值为 3 ．
【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝120°，
∴∠1＝∠2．
由旋转可得：EC＝FC，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，
∴BH＝4×sin60°＝3，
当E与H重合时，BE最小值是3，
∴DF的最小值是3．
故答案为：3．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤4，
则不等式的解集为﹣3＜x≤4．
16．（5分）化简：（1+）÷．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，AC＝3，请用尺规作图法，在BC上求作一点O△AOC：S△AOB＝3：5．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作BM∥AC，在射线BM上截取BD，使得BD＝BA，连接AD交BC于点O，点O即为所求作．
【解答】解：如图，点O即为所求作．
18．（5分）如图，AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝CE，求证：AE＝EB．
【分析】由“AAS”可证△ADE≌△ECB，可得AE＝BE．
【解答】证明：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△ADE和△ECB中，
，
∴△ADE≌△ECB（AAS），
∴AE＝BE．
19．（7分）进入2021年以来，全球新冠肺炎疫情流行加速，异常严峻的国际疫情形势，某校组织了一次防疫知识培训．培训结束后进行测试，试题的满分为10分（共5小题，每小题2分），并用得到的数据绘制了不完整的统计图：
请根据相关信息，解答下列问题
（1）图1中m的值是 32 ，并补全条形统计图；
（2）所抽取学生成绩的众数是 10 分，平均数是 7.12 分；
（3）若该校有1000名学生，请你估计该校本次测试成绩为满分的学生共有多少名？
【分析】（1）根据百分比之和为1可得m的值，由“2分”人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以“4分”对应百分比可得其人数，从而补全图形；
（2）根据众数和加权平均数的定义列式计算即可；
（3）用总人数乘以样本中满分人数所占比例即可．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（8%+16%+20%+24%）＝32%，即m＝32；
∵被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴“4分”的人数为50×16%＝6（人），
补全图形如下：
故答案为：32；
（2）所抽取学生成绩的众数是10分，平均数为，
故答案为：10、7.12；
（3）估计该校本次测试成绩为满分的学生共有1000×＝320（人）．
20．（7分）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝1.6m，FG＝5m，
∴BF＝BD+DF＝BD+1.6，BG＝BD+DF+FG＝BD+8.6，
∴＝，
∴BD＝2.4m，BF＝6.2+1.6＝3（m），
∴＝，
解得，AB＝4．
答：这棵大树的高度是8m．
21．（7分）绥德雪花是糕点中的珍品，有“糕点之王”的称誉．形似月饼，呈黄白色，是深受老百姓喜爱的一种传统美食．某公司的王小姐去绥德出差，准备回去时带点绥德雪花给家人和朋友品尝．已知甲、乙两家超市都以30元/袋的价格销售同一品牌、同一规格的绥德雪花
甲超市：办理本超市会员卡（卡费60元），食品全部打六折销售；
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．
活动期间，若王小姐购买绥德雪花x袋，在甲、乙超市所需费用分别为y甲元、y乙元、y乙与x之间的函数图象如图所示，解答下列问题：
（1）分别写出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）王小姐准备购买15袋绥德雪花，你认为在哪家超市购买更划算？
【分析】（1）根据两家超市做促销活动的方案可求出y甲、y乙与x的函数解析式；
（2）分别计算求出在两家超市购买的费用，再进行比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意得，
y甲＝60+0.6×30x＝18x+60，
当4＜x≤10时，y乙＝30x，
设当＞10时，y乙＝kx+b，
由题意得，
解得：，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为y乙＝；
（2）当＝15时，y甲＝18×15+60＝330（元），
y乙＝12×15+180＝360（元），
y甲＜y乙，
∴在甲超市购买更划算．
22．（7分）3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以“魅力女性，班主任制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为 ．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1张不放回，李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的有6个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，张华，
∴张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率为＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cs∠BCD＝
【分析】（1）连接OC．由圆周角定理及等腰三角形的性质证得∠OCD＝90°．则可得出结论；
（2）由锐角三角函数求出AB的长，得出OC＝3，由勾股定理求出OD＝5，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB为⊙O的直径，AC为弦，
∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴CD⊥OC．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，cs∠BCD＝，
∴csA＝cs∠BCD＝．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，csA＝．
∴AB＝＝＝6．
∴OC＝OE＝＝3．
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，CD＝4，
∴．
∴DE＝OD﹣OE＝8﹣3＝2．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是杏存在点N，使以点M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入y＝x2+bx+c中即可求解该抛物线表达式，求出表达式后令该抛物线表达式中y＝0，求出x，即可得点B坐标．
（2）分AB为平行四边形的一边或对角线两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），﹣5）代入y＝x2+bx+c中，
得，解得．
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣7．
（2）存在点N，理由如下：
①当AB为平行四边形的一边时，如解图1，
则MN∥AB，且MN＝AB，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点M的横坐标为6．
∴根据平移关系可得，点N的横坐标为5或﹣3，
∴把x＝2或﹣3代入y＝x2﹣3x﹣3．中，得y＝12，
∴N1（8，12），N2（﹣3，12）．
∴M（6，5）．
②当AB为平行四边形的对角线时，如解图2，
则MN与AB互相平分，
∴N6为该抛物线的顶点坐标（1，﹣4），
∴点M的坐标为（3，4）．
综上所述，点N的坐标为（5，12，﹣5）．
25．（12分）[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，则线段AC长度的最大值是 6 ；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量米，BC＝120米，∠ACB＝30°（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大；
（2）连接AO并延长交半圆O于F，当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，Rt△AOD中求出OA即可得到答案；
（3）作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，即可得到答案．
【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大，
故答案为：6；
（2）连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝5，
当E运动到F时，AE最大，
Rt△AOD中，AO＝＝，
∴AF＝AO+OF＝+1，
即AE最大为+1；
（3）作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，以O为圆心，连接OB，则AP为满足条件的小路，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
Rt△ACF中，AF＝AC•sin60°＝30，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝＝40，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
Rt△AOF中，OA＝，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
即小路AP的长度最大为60+40．