2022届高考数学一轮复习专题必刷卷（10）计数原理

2022届高考数学一轮复习专题必刷卷（10）

计数原理

一、选择题

1.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是(   )

A．24        B．36         C．40        D．44

2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有位车主上网自编号码，第一个号码(从左到右)想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有(　　)

A．180种       B．360种         C．720种       D．960种

3.如图,将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色,使每两个具有公共棱的面染成不同颜色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为(    ) 

A.36       B.48 C.72 D.108

4.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种.为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为(   )
A.32 B.40 C.48 D.56

5.持续近半月的冷空气让某城开启了“速冻”模式，城中某社区招募4名志愿者到5个居民区进行支援，每个居民区安排一人，且有一名志愿者被安排到了2个居民区，则不同的安排方法共有(   )

A.60种 B.96种 C.240种 D.480种

6.的展开式中有理项的项数为(   )
A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题

7.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲,假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的,且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等,则该停车点的车位数为__________.

8.某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有______________种.（用数字作答）

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有_______________种.

三、解答题

10.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本.（以下问题用数字作答）

（1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？

（2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？

（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法？

参考答案

1.答案：D

解析：由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：

(1)两人得30分,余下两人得−30分,有种情况；

(2)一人得30分，余下三人得−10分，有4种情况；

(3)一人得−30分，余下三人得10分，有4种情况；

(4)一人得30分,一人得−30分,一人得10分,一人得−10分,有种情况；

(5)两人得10分,余下两人得−10分,有种情况。

根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况。

故选D.

2.答案：D

解析：根据题意，车主第一个号码在数字3、5、6、8、9中选择，共5种选法，

第二个号码只能从字母中选择，有3种选法，

剩下的3个号码在1、3、6、9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，

则共有5×3×64=960种，

故选D.

3.答案：C

解析：当面与面同色时,面有4种方法,面有3种方法,面有2种方法,面有1种方法,面有2种方法,即种

当面与面不同色时,面有4种方法,面有3种方法,面有2种方法,面有1种方法,面有1种方法,即种

即不同的染色方法总数为种

故选：C

4.答案：C

解析：本题考查排列组合的综合应用.根据题意，分两种情况讨论:①分为3,3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.②分为2,4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.故共有种分配方法.故选C.

5.答案：C

解析：本题考查排列组合的应用.由题意，分两步进行分析：①将5个居民区分为四组，其中有2个居民区由同一名志愿者负责，其余3个居民区各由一名志愿者负责，分组方法有种；②将4名志愿者安排到分好组的居民区，有种情况.故不同的安排方法共有种，故选C.

6.答案：C

解析：.又的展开式的通项，所以.当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当,2,4,6,8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.故选C.

7.答案：10

解析：设该停车点的车位数为n,则随机停放3辆汽车的停法有种，而3辆汽车都不相 邻的停法有种,3辆汽车恰有2辆相邻的停法有种.由题意，得即即，解得

8.答案：72

解析：先排甲、乙之外的3人，有种排法，然后将甲、乙插入到这3人形成的4个空中，有种方法，所以不同的安排方案有种.

9.答案：20

解析：分三类：若甲在周一，则乙，丙有种排法；若甲在周二，则乙，丙有种排法；若甲在周三，则乙，丙有种排法.所以不同的安排方法共有种.

10.答案：（1）从5本科普书中选2本有种选法，从4本数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种送法，

所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法.

（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种送法，所以共有种不同的送法.

（3）选出的4本书均为科普书有种选法，选出的4本书中有3本科普书有种选法，再把4本书给4位同学有种送法，所以至少有3本科普书的送法有种.