第十九章+一次函数【章节复习专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（人教版）

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第十九章 一次函数【章节复习专项训练】

【考点1】 ：常量与变量
例题：1．（2020春•顺德区校级期末）小明的微信红包原有80元钱，他在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是（　　）
A．时间 B．小明 C．80元 D．红包里的钱
【答案】A．
【解析】解：小明的微信红包原有80元钱，他在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是时间．
故选：A．

【变式训练】
2．（2020春•定边县期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（　　）
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
传播速度/（m/s）
318
324
330
336
342
348
A．自变量是温度，因变量是传播速度
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音5s可以传播1650m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
【答案】C．
【解析】解：A、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法正确；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为10℃时，声音5s可以传播1680m，故原题说法错误；
D、温度每升高10℃，传播速度增加6m/s，故原题说法正确；
故选：C．
3．（2020春•新乐市期末）在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（　　）
A．C，π B．C，r C．C，π，r D．C，2π，r
【答案】B．
【解析】解：圆的周长计算公式是c＝2πr，C和r是变量，2、π是常量，
故选：B．
4．（2020秋•沙坪坝区校级期末）在函数中，y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x＜2
【答案】A．
【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故选：A．
5． 函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≤2 D．x≤2且x≠3
【答案】C．
【解析】解：由题可得，x﹣3≠0且2﹣x≥0，
解得x≠3且x≤2，
∴x≤2，
故选：C．


【考点2】 ：函数的图象
例题：1. 下列选项中，不表示某函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【解析】解：A、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故A是函数，不符合题意；
B、根据图象知给自变量一个值，有的有2个函数值与其对应，故B不是函数，符合题意；
C、根据图象知给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，故C是函数，不符合题意；
D、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故D是函数，不符合题意；
故选：B．

【变式训练】
2．（2020秋•福州期末）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】 C．
【解析】解：根据题意有：s＝v•t，
故s与t之间是正比例函数，其图象在第一象限．
故选：C．
3．（2020秋•福田区期末）如图，在我省某高速公路上，一辆轿车和一辆货车沿相同的路线从M地到N地，所经过的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系图象如图所示，轿车比货车早到（　　）

A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
【答案】A
【解析】解：
根据图象提供信息，可知M为CB中点，且MK∥BF，
∴CF＝2CK＝3．
∴OF＝OC+CF＝4．
∴EF＝OE﹣OF＝1．
即轿车比货车早到1小时，
故选：A．
4．（2020秋•秦淮区期末）在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C．
【解析】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，
①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；
②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；
③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），
∴5k1＝1050，解得，k1＝210，
∴y1＝210x（0≤x≤5）；
当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），
∴2k2＝300，解得k2＝150，
∴y2＝150x；
当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），
∴，解得，
∴y2＝300x﹣300；
∴．
则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；
④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝；
当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；
当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．
综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．
故选：C．
5．（2020秋•哈尔滨期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）

A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【答案】D
【解析】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．
故选：D．



【考点3】 ：一次函数的定义
例题：1．（2020秋•章丘区期末）下列关系式中，一次函数是（　　）
A．y＝﹣1 B．y＝x2+3
C．y＝k+b（k、b是常数） D．y＝3x
【答案】D．
【解析】解：A、自变量在分母上，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
B、y＝x2+3是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、少x，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
D、y＝3x是正比例函数也是一次函数，故此选项符合题意；
故选：D．

【变式训练】
2．（2020春•昭通期末）若函数y＝（m+1）x﹣5是关于x的一次函数，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【答案】B．
【解析】解：由题意得：m2＝1，且m+1≠0，
解得：m＝1，
故选：B．
3．（2020春•东昌府区期末）下列函数中，y是x的一次函数的有（　　）
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y＝；④y＝；⑤y＝x2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C．
【解析】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y＝，共2个，
故选：C．
4．（2020春•汶上县期末）若y＝（m+2）x+3是一次函数，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【答案】A．
【解析】解：依题意得：5﹣m2＝1且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：A．
5．（2020春•西城区校级期末）下列函数图象中，表示一次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】解：一次函数的图象是一条直线，观察四个选项可知，只有选项D符合．
故选：D．


【考点4】 ：一次函数的性质
例题：1．（2020秋•肥东县期末）下列4个函数关系：y＝2x+1，y＝，s＝60t，y＝100﹣25x，其中是一次函数的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C．
【解析】解：4个函数关系：y＝2x+1，y＝，s＝60t，y＝100﹣25x，其中是一次函数的有y＝2x+1，s＝60t，y＝100﹣25x共有3个，
故选：C．

【变式训练】
2．（2020秋•西林县期末）一次函数y＝﹣3x+2的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D．
【解析】解：∵一次函数y＝﹣3x+2，k＝﹣3＜0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
3．（2020秋•沙坪坝区校级期末）一次函数y＝﹣2x+7的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C．
【解析】解：∵一次函数y＝﹣2x+7，k＝﹣2，b＝7，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
4．（2020秋•沭阳县期末）已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线的图象上，则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m≤n D．无法判断
【答案】A．
【解析】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣2＜3，
∴m＞n．
故选：A．
5．（2020秋•成都期末）下列关于一次函数y＝﹣2x+2的图象的说法中，错误的是（　　）
A．函数图象经过第一、二、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）
C．当x＞0时，y＜2
D．y的值随着x值的增大而减小
【答案】B．
【解析】解：A、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，说法正确；
B、∵y＝0时，x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），说法错误；
C、当x＞0时，y＜2，说法正确；
D、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确；
故选：B．



【考点5】 ：正比例函数的性质
例题：1．（2020秋•青羊区校级期末）一次函数y＝2x的图象经过的象限是（　　）
A．一、三 B．二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】A．
【解析】解：一次函数y＝2x为正比例函数，k＝2＞0，
故图象经过坐标原点和一、三象限，
故选：A．

【变式训练】
2．（2020秋•金塔县期末）已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限．
故选：D．
3．（2020秋•雁塔区校级期末）已知正比例函数y＝kx，当x每增加2时，y减少3，则k的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】C
【解析】解：根据题意得：y﹣3＝k（x+2），
y﹣3＝kx+2k，
而y＝kx，
所以2k＝﹣3，
解得k＝﹣．
故选：C．
4．（2020秋•平阴县期末）已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小，则一次函数y＝3kx+k2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴3k＞0，k2＞0，
∴一次函数y＝3kx+k2的图象经过第一、二、四象限，
故选：A．
5．（2020秋•马鞍山期末）下列四个函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝3x B．y＝1+2x C．y＝1﹣2x D．y＝﹣1+x
【答案】C．
【解析】解：A、k＝3＞0，y随x的增大而增大，故A不符合题意；
B、k＝2＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故C符合题意；
D、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故D不符合题意；
故选：C．



【考点6】 ：待定系数法求一次函数解析式
例题：1．（2020秋•东海县期末）已知y﹣3与2﹣x成正比例，且x＝1时y＝6．
（1）试求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝15时，求x的值．
【答案】
解：（1）∵y﹣3与2﹣x成正比例，
∴可设y﹣3＝k（2﹣x），
∵当x＝1时，y＝6，
∴6﹣3＝k（2﹣1），解得k＝3，
∴y﹣3＝﹣3x+6，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x+9；
（2）当y＝15时，代入函数解析式可得15＝﹣3x+9，
解得x＝﹣2．
【解析】（1）由题意可设y﹣3＝k（2﹣x），把条件代入可求得y与x的函数关系式；
（2）把y＝15代入函数解析式可求得答案．

【变式训练】
2．（2020秋•西林县期末）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求一次函数的解析式，并画出此一次函数的图象；
（2）求当x取何值时，函数值y＞0．

【答案】
解：（1）由题意得：，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
画出函数图象如图：

（2）由图象可知，当x＞﹣2时，y＞0．
【解析】（1）根据待定系数法即可求得直线的解析式，画出图象即可；
（2）根据图象即可求得结论．

3．（2020秋•沭阳县期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为　 　．
【答案】
解：
（1）图象过A（1，1）、B（2，﹣1）两点，
代入一次函数表达式可得，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+3；
（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，
可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0），
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S＝×3×＝；
（3）向下平移三个单位，则可得平移后的函数为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
【解析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；
（3）根据上加下减的法则可得到平移后的函数表达式．

4．（2020秋•下城区期末）一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．
【答案】
解：（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣3x﹣1；
（2）∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，
∴，
解得：n1﹣n2＝6．
【解析】（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，把点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）代入解析式解方程组即可得到结论；
（2）把点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）代入y＝﹣3x﹣1，解方程组即可得到结论．

5．（2020秋•拱墅区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象经过点（2，1）和（﹣1，7）．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点P（a﹣5，3a）在该函数的图象上，求点P的坐标；
（3）当﹣3＜y＜11时，求x的取值范围．
【答案】
解：（1）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象经过点（2，1）和（﹣1，7）．
∴，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+5；
（2）∵点P（a﹣5，3a）在该函数的图象上，
∴3a＝﹣2（a﹣5）+5，
解得a＝3
∴点P的坐标为（﹣2，9）．
（3）把y＝﹣3代入y＝﹣2x+5得，﹣3＝﹣2x+5，
解得x＝4，
把y＝11代入y＝﹣2x+5得，11＝﹣2x+5，
解得x＝﹣3，
∴x的取值范围是﹣3＜x＜4．
【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意得出3a＝﹣2（a﹣5）+5，解方程即可求得．
（3）利用一次函数增减性得出即可．

【考点7】 ：一次函数的应用
例题：1．（2020秋•芝罘区期末）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，已知y乙＝﹣8x+24，请根据所提供的信息解析下列问题：
（1）乙蜡烛燃烧前的高度是多少？从点燃到燃尽所用的时间是多少？
（2）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相差1cm？

【答案】
解：（1）由y乙＝﹣8x+24，可知乙蜡烛燃烧前的高度是24cm，
当y乙＝0时，﹣8x+24＝0，解析x＝3，即从点燃到燃尽所用的时间是3h；
（2）设y甲＝k1x+b1（k1≠0），
则，
解得，
∴y甲＝﹣16x+32；
（3）当﹣16x+32﹣（﹣8x+24）＝1时，解得x＝；
当﹣8x+24﹣（﹣16x+32）＝1时，解得x＝；
﹣8x+24＝1，解得x＝．
综上所述，当燃烧h或h或h时，甲、乙两根蜡烛的高度相差1厘米．
【解析】（1）根据y乙＝﹣8x+24，可知乙蜡烛燃烧前的高度是24cm，令y乙＝0即可求出从点燃到燃尽所用的时间；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）再由解析式建立方程，求出其解就可以得出高度相差1厘米时的时间．

【变式训练】
2．（2020秋•织金县期末）国庆节期间，小王一家乘坐飞机前往大连市旅游，计划第二天租出租车自驾游．
公司
租车收费方式
甲
每日固定租金90元，另外每小时收费12元．
乙
无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租车费27元．
（1）设租车时间为x小时（0＜x≤24），租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你帮助小王计算选择哪家公司租车更合算．
【答案】
解：（1）根据题意得：y1＝90+12x（0＜x≤24）；y2＝27x（0＜x≤24）；
（2）①当y2＜y1时，有27x＜90+12x，
解得：x＜6，
②当y2＝y1时，有27x＝90+12x，
解得：x＝6，
③当y2＞y1时，有27x＞90+12x，
解得：x＞6，
∴当x＜6时，选择乙公司合算；当x＝6时，选择两家公司的费用相同；当x＞6时，选择甲公司合算．
【解析】（1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可找出y1、y2与x间的关系式；
（2）分y2＜y1，y2＝y1，y2＞y1三种情况讨论即可找出合适的租车方案．

3．（2020秋•玉林期末）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围内的儿童生病时可以一次服下一袋药？
【答案】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y＝10x+10（5≤x≤50）；
（2）当y＝300时，300＝10x+10，得x＝29，
当时，250＝10x+10，得x＝24，故24≤x≤29，
即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
【解析】（1）根据体重10kg的儿童，每次正常服用量为为100mg；体重15kg的儿童，每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．

4．（2020秋•萧山区期末）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解析下列问题；
①直接写出a的值，并求甲车的速度；
②求图中线段EF所表示的函数y关于x的解析式；并直接写出自变量x的取值范围；
③乙车出发后多少小时与甲车相距15千米？

【答案】
解：①a＝4+0.4＝4.5，
甲车的速度＝（千米/小时）；
②设乙开始的速度为v千米/小时，
则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，解得v＝90（千米/小时），
4v＝360，
则D（4，360），E（4.5，360），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
把E（4.5，360），F（7，460）代入得，
解得，
所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
③甲车前40分钟的路程为（千米），则C（0，40），
设直线CF的解析式为y＝mx+n，
把C（0，40），F（7，460）代入得，
解得，
所以直线CF的解析式为y＝60x+40，
易得直线OD的解析式为y＝90x（0≤x≤4），
设甲乙两车中途相遇点为G，由60x+40＝90x，解得x＝小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇，
当乙车在OG段时，由60x+40﹣90x＝15，解得x＝介于0～小时之间，符合题意；
当乙车在GD段时，由90x﹣（60x+40）＝15，解得x＝，介于～4小时之间，符合题意；
当乙车在DE段时，由360﹣（60x+40）＝15，解得x＝，不介于4～4.5之间，不符合题意；
当乙车在EF段时，由40x+180﹣（60x+40）＝15，解得x＝，介于4.5～7之间，符合题意．
所以乙车出发小时或小时或小时，乙与甲车相距15千米．
【解析】①由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a＝4.5；甲从A到B共用了（）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
②设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，解得v＝90（千米/小时），计算出4v＝360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
③先计算，则可得到C（0，40），再利用待定系数法求出直线CF的解析式为y＝60x+40，和直线OD的解析式为y＝90x（0≤x≤4），然后利用函数值相差15列方程求解即可．

5．（2020秋•市北区期末）某校准备组织学生及家长代表到烟台进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．已知，若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费6175元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2：1．
运行区间
票价
起点站
终点站
一等座
二等座
青岛
烟台
95（元）
60（元）
（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x＜参加社会实践的总人数），其余的需要买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座的前提下，请你在以下两种情形中分别按照最经济的购票方案，求：购买单程火车票的总费用y（元）与x（张）之间的函数关系式．
①当x少于学生人数；
②当x＜参加社会实践的总人数，但不少于学生人数．
【答案】
解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
根据题意得：，
解得：，
则2m＝10．
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有5，10与50人．
（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人，
①当x少于学生人数，即当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65﹣x）张．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝60×0.75x+95（65﹣x），
即y＝﹣50x+6175（0＜x＜50）；
②当x＜参加社会实践的总人数，但不少于学生人数，即当50≤x＜65时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共50张，（x﹣50）名成年人买二等座火车票，（65﹣x）名成年人买一等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝60×0.75×50+60（x﹣50）+95（65﹣x），
即y＝﹣35x+5425（50≤x＜65）．
【解析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）①当x少于学生人数，即当0＜x＜50时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65﹣x）张，得到解析式是y＝﹣50x+6175；
②当x＜参加社会实践的总人数，但不少于学生人数，即当50≤x＜65时，学生都买学生票共50张，（x﹣50）名成年人买二等座火车票，（65﹣x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y＝60×0.75×50+60（x﹣50）+95（65﹣x）．



【考点8】 ：一次函数综合题
例题：1．（2020秋•西林县期末）已知正比例函数y＝x与一次函数y＝3x﹣5的图象交于点A，且OA＝OB．
（1）求A点坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．

【答案】
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴A（3，4）；
（2）在y＝3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，
∴B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∴S△AOB＝×5×3＝；
（3）设P（m，0），
∵OA＝OB，
∴OA＝5，
∵△AOP是等腰三角形，
∴分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，
①当OA＝OP时，
∴|m|＝5，
解得：m＝﹣5或5，
∴P1（5，0），P2（﹣5，0）；
②当OA＝AP时，点O与点P关于直线x＝3对称，
∴P（6，0）；
③当OP＝AP时，点P为线段OA的垂直平分线与x轴的交点，
OA的中点坐标为（，2），
设过OA中点且与OA垂直的直线解析式为y＝﹣x+b，
将（，2）代入，得：2＝﹣×+b，
解得：b＝，
∴y＝﹣x+，
令y＝0，得0＝﹣x+，
解得：x＝，
∴P（，0），
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）或（，0）．
【解析】（1）联立方程组求解即可得出点A的坐标；
（2）在y＝3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，即可得到点B的坐标，根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，分别进行讨论计算即可．

【变式训练】
2.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，15），点B的坐标为（20，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若点C的坐标为（m，9），且S△ABC＝30，求m的值；
（3）若点D的坐标为（12，0），在射线AB上有两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OPD全等，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
∵点A（0，15）、B（20，0）在直线AB上，
∴，
∴20k+15＝0，
∴k＝﹣ ，
∴直线AB的表达为y＝﹣ x+15；
（2）过y轴上的点（0，9）作x轴平行线，交AB于M，如图：

∵点C的坐标为（m，9），
∴点M的纵坐标为9，
当y＝9时，﹣ x+15＝9，解得x＝8，
∴M（8，9），
∴CM＝|m﹣8|，
∴S△ABC ＝S△AMC + S△BMC
＝ CM•（ yA ﹣yM ）+ CM•（ yM ﹣yB ）
＝ CM•OA
＝ |m﹣8|，
∵S△ABC ＝30，
∴ |m﹣8|＝30，
解得m＝4或m＝12；
（3）①当点P在线段AB上时，
（i）若点P在B，Q之间，如图：

∵OA＝15，OB＝20，
∴AB＝ ＝25，
设△AOB中AB边上的高为h，
则AB•h＝OA•OB，
∴h＝12，即h＝OD，
∴当OQ⊥AB时，OQ＝OD，∠OQP＝∠ODP＝90°，OP＝OP，此时△OPQ≌△OPD，
∴PD⊥OB，xP＝12，
当x＝12时，y＝﹣ x+15＝6，
∴P（12，6）；
（ii）若点P在A，Q之间，如图：

当PQ＝OD＝12，且∠OPQ＝∠POD时，有△POQ≌△OPD，
∵∠OPQ＝∠POD，
∴BP＝OB＝20，
∴BP：AB＝20：25＝4：5，
∴S△POB ＝ S△AOB，
作PH⊥OB于H，则S△POB ＝ OB•PH，
∴ OB•PH＝ × OB•OA，
∴PH＝ OA＝ ×15＝12，
当y＝12时，﹣ x+15＝12，解得x＝4，
∴P（4，12）；
②当点P在AB的延长线上时
（i）若点Q在B，P之间，

当PQ＝OD，∠OPQ＝∠POD时，△POQ≌△OPD，
作OM⊥AB于M，PN⊥OB于N，
∵∠OPQ＝∠POD，且∠OMP＝∠ONP，OP＝OP，
∴△OMP≌△PNO（AAS），
∴PN＝OM＝12，
∴yP＝﹣12，
当y＝﹣12时，﹣ x+15＝﹣12，解得x＝36，
∴P（36，﹣12）
（ii）若点Q在BP的延长线上或BP的反向延长线上，都不存在满足条件的P，Q两点；
综上所述，满足条件的点P为（12，6）或（4，12）或（36，﹣12）．
【解析】（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，将A（0，15）、B（20，0）代入解得k、b，即得表达式；
（2）过y轴上的点（0，9）作x轴平行线，交AB于M，求出M坐标，用m的代数式表示CM和S△ABC，再由S△ABC＝30列方程，即可解得m；
（3）分当点P在线段AB上、点P在AB的延长线上讨论，分别画出图形，由以O，P，Q为顶点的三角形与△OPD全等这一条件应满足的条件出发，利用面积法、全等三角形等即可求得P坐标．

3．（2020秋•罗湖区期末）直线AB：y＝x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，将△BOC沿BC折叠，使点O落在BA上的点M处（如图1）．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）点P为x轴上的动点，当∠PBA＝45°时，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）∵y＝x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A（﹣3，0），点B（0，4）；
（2）连接MC，

∵点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴OA＝3，BO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵将△BOC沿BC折叠，
∴MC＝CO，∠BOC＝∠BMC＝90°，
∵S△ABO＝×AO×BO＝×AB×MC+×CO×BO，
∴CO＝，
∴BC＝＝＝；
（3）如图2，当点P在点A右侧时，过点A作AE⊥AB，交直线BP于E，过点E作EH⊥x轴于H，

∵∠PBA＝45°，AE⊥AB，EH⊥AH，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＝∠AOB＝∠AHE，
∴AB＝AE，∠BAO+∠ABO＝90°＝∠BAO+∠EAH，
∴∠EAH＝∠ABO，
∴△ABO≌△EAH（AAS），
∴AO＝HE＝3，BO＝AH＝4，
∴点E（1，﹣3），
设直线BE解析式为y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线BE的解析式为y＝﹣7x+4，
∴当y＝0时，x＝，
∴点P（，0）；
如图2，当点P'在点A左侧时，同理可求直线BF的解析式为y＝x+4，
∴当y＝0时，x＝﹣28，
∴点P'（﹣28，0），
综上所述：点P坐标为（，0）或（﹣28，0）．
【解析】（1）将x＝0，y＝0分别代入解析式可求解；
（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求OC的长，由勾股定理可求BC的长；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求点E坐标，由待定系数法求出直线BP的解析式，即可求解．

4．（2020秋•梁平区期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【答案】
解：（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，
∵2+m＝6，
∴一元二次方程为x2﹣6x+8＝0的另一个根m＝4．
∴m＝4，n＝8；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），则，解得，
∴直线AB的解析式：y＝﹣2x+4；

（3）存在，理由：
直线AB的图象如下图：

第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形；
第二种：设AB是直角边，显然∠BAP≠90°，
则点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝﹣x，
∴BP2＝OP2+OB2＝x2+42，AB2＝OA2+OB2＝22+42，AP2＝（OA+OP）2＝（2﹣x）2．
∵AP2＝BP2+AB2，
∴x2+42+22+42＝（2﹣x）2，
解得x＝﹣8，
∴当点P的坐标为（﹣8，0），△ABP是直角三角形，
∴综上，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
【解析】（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，则2+m＝6，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）分AB是斜边、AB是直角边两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．

5．（2020秋•新都区期末）在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．

【答案】
解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），
∴，解得：，
∴直线n的函数表达式为：y＝x﹣2；

（2）∵△ABC的面积为9，
∴9＝•AC•3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，
∴C（0，4）或（0，﹣8）；

（3）分四种情况：
①如图1，当AB＝AC时，

∵A（0，﹣2），B（3，2），
∴AB＝＝5，
∴AC＝5，
∵OA＝2，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
设直线l的解析式为：y＝mx+n，
把B（3，2）和C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线l的函数表达式为：y＝﹣x+3；
②如图2，AB＝AC＝5，

∴C（0，﹣7），
同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；
③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，

∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
同理可得直线l的解析式为：y＝﹣x+6；
④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，

设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，
∴32+（4﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴OC＝﹣2＝，
∴C（0，），
同理可得直线l的解析式为：y＝x+；
综上，直线l的解析式为：y＝﹣x+3或y＝3x﹣7或y＝﹣x+6或y＝x+．
【解析】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可得AC的长，确定OC的长，可得结论；
（3）分四种情况：①如图1，当AB＝AC时，②如图2，AB＝AC＝5，③如图3，AB＝BC，④如图4，AC＝BC，利用待定系数法可得结论．