湖北省随州市2021年中考数学真题

随州市2021年初中毕业升学考试

数学试题

（考试时间120分钟满分120分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效。

3.非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1.2021的相反数是（    ）

A.2021 B. C. D.

2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（    ）

A. B. C. D.

3.如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（    ）

A. B. C. D.

4.下列运算正确的是（    ）

A. B. C. D.

5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（    ）

A.测得的最高体温为37.1℃

B.前3次测得的体温在下降

C.这组数据的众数是36.8

D.这组数据的中位数是36.6

6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（    ）

A.主视图和左视图  B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图  D.三个视图均相同

7.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（    ）

A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米

9.根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ）

A.100 B.121 C.144 D.169

10.如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：

①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得.其中正确的有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）

11.计算：______.

12.如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______.

13.已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______.

14.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______.（结果保留）

15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______.

16.如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为______；若，则的值为______.

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17.（本题满分5分）

先化简，再求值：，其中.

18.（本题满分7分）

如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且.

（1）求证：≌；

（2）证明四边形是菱形.

19.（本题满分10分）

疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

（1）表中，______，______，______；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率.

20.（本题满分8分）

如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，.

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接，求的面积.

21.（本题满分9分）

如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点.

（1）求证：；

（2）若的直径为9，.

①求线段的长；

②求线段的长.

22.（本题满分10分）

如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米.

（1）直接写出，的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

23.（本题满分11分）

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；

（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）

②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值.（参考数据：，）

（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）

②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由.

24.（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为.

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；

（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标。（每写出一组正确结果得1分，最多得5分）

随州市2021年初中毕业升学考试

数学参考答案及评分标准

第一题（第1至10小题，每小题3分，共30分）是选择题，每小题给出的代号为A，B，C，D四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号在答题卡上相应的地方涂黑，涂对得3分，不涂、涂错或涂黑的代号超过一个，一律0分.

第二题（第11至16小题，每小题3分，共18分）是填空题，只需要将结果直接填写在答题卡上对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、填错，一律0分.（说明：第12题填40或40都给分，16题第一空1分，第二空2分）

11. 12. 13. 14. 15.

16. 

第三题（第17至24小题，共72分）是解答或证明题，各题都给出了一种解法或部分其他解法的解题思路，若考生的解法与本解法不同，可根据本题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则，下述右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

17.（本题满分5分）

解：原式…………3分

当时，原式…………5分

18.（本题满分7分）

（1）证明：∵四边形为菱形，

∴，且，

又∵，∴≌.……3分

（2）

证明：连接交于点，

∵四边形为菱形，

∴，且为，中点，

又∵，∴……5分

∴与互相垂直且平分，故四边形是菱形.

说明：该题（1）（2）问均有多种方法，用其他合理方法得到正确结果都可给分.

19.（本题满分10分）

解：（1）…………1分

…………2分

…………3分

（2）七…………4分

（3）2400…………6分

（4）设七年级教师用表示，八年级教师用表示，九年级教师用，表示，根据题意：可画出树状图：

或列表：

…………8分

由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故（两名教师不在同一年级）.……10分

说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可.

20.（本题满分8分）

解：（1）由过点和可得：

解得，故，…………2分

又由过点和可得：

解得，故.………………4分

（2）由过点，可知，故，而点到轴距离为2，

所以的面积.…………8分

21.（本题满分9分）

（1）证明：连接，∵是的切线，∴，

又∵，∴，

∴.……2分

又∵在中，，∴，

∴，∴；……4分

（2）①连接，依题意可得

在中，∵，∴.

又∵，且，

∴，

在中，∵，∴.…………6分

②由（1）可知，故∽，

∴，即，………………8分

解得.………………9分

说明：该题（1）（2）问均有多种方法，用其他合理方法得到正确结果都可给分.

22.（本题满分10分）

解：（1），…………2分

（2）由，…………4分

可得当时，有最大值，

即大棚最高处到地面的距离为米；…………6分

（3）由，解得，，…………8分

又因为，

可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），

又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）

共需要（根）竹竿.…………10分

23.（本题满分11分）

（1）…………1分

1………………2分

（2）①………………4分

②结论.

类比①中方法可知，

设点为正五边形的中心，连接，，

易知，

过作于，，

故，，

故，从而得到：

.………………6分

（3）①…………8分

②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求.………9分

连接，∵，

∵，∴，

∴…………11分

说明：（3）②问只需简述如何确定点的位置并证明，不要求用尺规作图.

24.（本题满分12分）

解：（1）抛物线的解析式为：，…………2分

（2）由和可知直线的解析式为：…………3分

过点作，交抛物线于点，

易知直线的解析式为，

结合抛物线可知，

解得：（舍），，

故.………………5分

过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，

由可知四边形为正方形，

设与轴交于点，在下方作交于点，

易知≌，故，，又由可得

直线的解析式为，

结合抛物线可知，

解得（舍），，故.

综上所述，符合条件的点坐标为：，.…………7分

（3），；，；

，；，；

，；，.…………12分

说明：（1）问不需写解答过程，解析式写成或者也得分；

（2）问用其他合理方法也可根据步骤给分；（3）问为结论开放题型，共有6组正确答案，考生每写出一组正确的点，的坐标给1分，至多得5分.