2021年四川省自贡市贡井区九年级中考模拟数学试题 （word版 含答案）

这是一份2021年四川省自贡市贡井区九年级中考模拟数学试题 （word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省自贡市贡井区九年级中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列各数中比小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
3．山东省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示（　　）
A．5.47×108 B．0.547×108 C．547×105 D．5.47×107
4．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．即将发射的气象卫星的零部件质量
C．某城市居民6月份人均网上购物的次数 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
6．如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是 B．平均数是 C．方差是 D．中位数是
10．若，是方程的两根，则
A． B． C． D．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ）

A． B． C． D．4

二、填空题
13．买单价3元的圆珠笔m支，应付______元．
14．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则小型汽车比中型汽车多______辆．
15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为______．
16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为______．

17．如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______．

18．如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为______．


三、解答题
19．计算：
20．已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：.

21．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
22．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度．

23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
24．如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．

（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
25．在中，，，于点．
（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，试探索线段、、之间的关系，并说明理由．

26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
1．A
【分析】
先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】
∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．C
【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．D
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】
科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
4．D
【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
5．B
【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】
解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
B、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；
C、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．C
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．A
【分析】
分别根据合并同类项法则，单项式的乘法法则，完全平方公式，积的乘方运算法则法则逐一判断即可．
【详解】
A、正确，该选项符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、错误，该选项不符合题意；
D、错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
8．B
【分析】
先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【详解】
解：∵k＝−()＜0，
∴双曲线在二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，
∴分布在第二象限，，在第四象限，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
9．D
【分析】
分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可．
【详解】
将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，
A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键．
10．C
【分析】
利用根与系数的关系，求出x2+2x=2006，a+b=-2，即可解决．
【详解】
∵a，b是方程x2+2x-2006=0的两根，
∴x2+2x=2006，a+b=-2
则a2+3a+b=a2+2a+a+b=2006-2
=2004
故选C．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题．
11．C
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
12．B
【分析】
连接OE、OD，由DE为⊙O的切线知DE2+OE2=OD2即DE=，要使DE最小，则OD最小即可，根据题意可知当OD⊥AB时，OD最小，通过证明△BDO∽△BCA可得OD的长度，可得DE的最小值．
【详解】
解：如图，连接OE、OD，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，
∴DE2=OD2-1，即DE=，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
解得：OD=4，
∴DE==，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，关于圆的切线常添的辅助线是连接圆心和切点可得直角，本题中意识到要使DE最小则OD最小即可是关键．
13．3m
【分析】
根据单价×数量=总价列代数式即可.
【详解】
解：买单价3元的圆珠笔m支，应付3m元．
故答案为3m.
【点睛】
本题考查了列代数式表示实际问题，解题的关键是掌握单价×数量=总价.
14．6
【分析】
设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：，解得：．
18-12=6，
故答案是：6．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．
【分析】
先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】

解：画树状图如图：
共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9，所以两次都摸到红球的概率为.故答案为.
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出概率即可.
16．
【分析】
首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值，进而即可求解．
【详解】
解：如图，连接AC、BC．

∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中， sin∠ABC=，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB=
∴sin∠ABC==，
∴sin∠ADC=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
17．
【分析】
延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值．
【详解】
解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小，

，
，，
，
，
为公共边，
，
，
，
当三点共线时取到最小值，
，
，
即,解得：，
又，
，
即，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解．
18．
【分析】
将绕点C逆时针旋转，根据旋转的性质，可以得到一个等边三角形，通过边与边之间的等量代换，就会将所求的三条边之和的长，转变求三条线段连到一起的折线段的长，当四点共线时会取到最小值．
【详解】
如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当A､P､F､E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，．

故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转，会利用到等边三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是：根据条件及所求将一个三角形逆时针旋转得到一个等边三角形，通过等边三角形边之间的关系进行等量代换；当几点共线时会取到最小值，最后在直角三角形中利用勾股定理求解．
19．
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
解：原式

．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各实数是解题的关键．
20．见解析.
【分析】
由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∵
∴．
∴
【点睛】
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
21．（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，
【分析】
（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数；
（2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可；
（3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可；
（4）根据列表法进行求解即可；
【详解】
（1）由题可知：（人），
∴参加学生的人数是80人；
（2）由（1）可得：D的人数为，画图如下：

（3）由（1）可得，A的占比是，
∴．
（4）列表如下：

C男
C女1
C女2
E男1
（C男，E男1）
（C女1，E男1）
（C女2，E男1）
E男2
（C男，E男2）
（C女1，E男2）
（C女2，E男2）
E女
（C男，E女）
（C女1，E女）
（C女2，E女）
得到所有等可能的情况有9种，
其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女）
所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键．
22．
【分析】
如图，作AD⊥于BC于D．由题意得到BC=1.5×40=60米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，求得∠ABC=∠BAC，得到BC=AC=60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
如图， 作于．

由题意可知： 米，，
∴，
∴，
∴米．
在中，（米）．
答：这条河的宽度为米．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
23．（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
24．（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】
（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90º，
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1
∴OA=，∠APO=60º即∠CPB=60º，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60º，
∵∠OBC=90º，
∴∠BOD=30º，
∴BC=OB·tan30º=1，
∴==，
答:图中阴影部分的面积为．

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．
25．（1）；（2）见解析；（3），见解析
【分析】
（1）当直接求AM不好求时，我们可以先把AD与MD求出来，再相减得AM；
（2）利用三角形全等中的判定定理证明两个三角形全等，得到对应边相等即可；
（3）作辅助线，过点作交的延长线于，利用证明两个三角形全等，得到对应边相等，可以把用一条直线来表示，并且与AM在同一个直角三角形中，利用锐角三角函数知识可解．
【详解】
（1）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）证明：∵，，
，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（3）．
理由如下：
过点作交的延长线于，
∴，
则，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了利用锐角三角函数解三角形的边及找到边与边之间的等量关系，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等，得到边之间的关系，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数知识和三角形全等的判定定理．
26．（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【分析】
（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；
（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可；
（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.
【详解】
解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，
令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，
∴B（6，0），D（0，-6），
∵点C和点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
∵抛物线经过点B和点C，代入，
，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）设点P坐标为（m，0），
则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），
∴MN=-m+6=，
∴S△BMD=S△MNB+S△MND
=
=
=-3（m-2）2+48
当m=2时，S△BMD最大=48，
此时点P的坐标为（2，0）；
（3）存在，
由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），
设点Q的坐标为（0，n），
当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，
即Q（0，12）；

当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，
即Q（0，-4）；

当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，
分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，
∵∠MQN=90°，
∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，
∴∠NQF=∠QME，
∴△MEQ∽△QFN，
∴，即，
解得：n=或，
∴点Q（0，）或（0，），

综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.