2021学年第一章 直角三角形的边角关系综合与测试达标测试

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姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
过点作交于点，如图
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：．
2．的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
∵tan45°=1，
所以C选项正确．
故选：C．
3．如图，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在中，由勾股定理得，
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
4．的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：
故选A
5．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinxB．acsx+bcsx
C．asinx+bcsxD．acsx+bsinx
【答案】D
解：作AF⊥OB于点F，则点A到OC的距离等于OF的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=b
∴∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠OBC=90°，
∵∠O=90°，
∴∠BCO +∠OBC=90°，
∴∠BCO=∠FBA
∵∠BCO=x，
∴∠FBA =x，
在RtOCB中，BC=AD=b，OB=BCsinx=bsinx
在RtAFB中，AB=a，BF=ABcsx=acsx
∴FO=FB+BO=acsx+bsinx，
故选：D．
6．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为，＝2，则树高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得：是直角三角形，且，
则，即，
解得，
故选：D．
7．在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
在Rt△ABC中，，，，
∴BC=，
∴tanB=，
故选：B．
．
8．已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】B
根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，
∴，
故选：B．
9．如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与的函数值无关
【答案】B
解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误；
B选项，csA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确；
C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；
D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误；
故选：B．
10．已知在中，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴ ＝＝，
故选：C．
11．在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
如图：AE⊥OB，
在Rt△AOE中，AE=4，OE=2，
∴，
∴sin∠AOB=,
故选：C．
12．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：在Rt△ABC中，

故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是__________．
【答案】2
∵AD，CD为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
设小正方形的边长为，
则，
，
在中，．
故答案为：2．
14．如图，菱形的周长为20cm，，，则这个菱形的面积为_________．
【答案】15
解：∵菱形的周长为20cm，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
【点睛】
此题主要考查学生对菱形的性质的运用能力．熟练掌握菱形的面积计算公式是解答此题的关键．
15．如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，且，反比例函数经过点，则的值是_______．
【答案】
【分析】
作CD⊥AB于点D．由可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出BC和AC的值，利用面积法求出CD的值，再利用勾股定理求出BD的值，得到点C的坐标，然后可求出k的值．
【详解】
如图，作CD⊥AB于点D．
∵，为斜边的中点，
∴，
∴OB=5，AB=10．
∵=，
∴可设BC=x，AC=2x，由勾股定理得
x2+(2x)2=102，
∴x=，
∴BC=，AC=，
∵，
∴，
∴CD=4，
∴BD=，
∴OD=5-2=3，
∴C(3，4)．
反比例函数经过点，
∴k=3×4=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C的坐标是解答本题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cs∠DCB ＝________________ ．
【答案】
【分析】
首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根据余弦的定义求出csA即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
而csA=＝=，
∴cs∠DCB=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
17．在中，，，，那么______．
【答案】
解：∵，，
∴
∵
∴，解得：BC=12．
故填：12．
【点睛】
本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．
18．如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
【答案】
根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，
根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中，，
即：，
解得：，
经检验是上述分式方程的解，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．如图，矩形中，已知．，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．
（1）如图1，若点恰好落在对角线上，求的值．
（2）如图2．当点为的中点时，求之长．
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）或
（1）由翻折得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由翻折得，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
为中点，
∴，
在矩形中，，
，
，
，
，
∴设，
，
在中，
，
，
；
（3）①如图，在线段上，
，
，
，
，
由翻折，
，
，
，
，
设，
，
，
在中，
，
，
，
；
②如图，在延长线上，
由翻折，
，
，
，
，
，
，
∵四边形为矩形，
，
∴，
，
，
，
∴，
设为，
，
在中，
，
，
，
，
综上：的值为或．
【点睛】
本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，综合性较强，注意分类讨论是解题的关键．
20．如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．
（1）求证：∽；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由，，推出，由此即可证明；
（2）先证明，由∽，得，即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴∽．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵∽，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
21．如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的长为11或或．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；
（3）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即
解得，，
∴，
解得，；
（3）解：作于，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
当点在的延长线上，时，，
∴，解得，，
∴，
当时，，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∴，解得，，
∴；
当点在线段上时，为钝角，
∴只有，则，
∴，
解得，，不合题意，
∴是等腰三角形时，的长为11或或．
22．如图，在中，上的一点在边的垂直平分线上，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
解：（1）证：，
，
又，
，
，
又是的垂直平分线，
，
，
．
（2）
作垂直平分，垂直平分
，，
在中，
在中，设，则
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判断和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角函数的定义，难度不大，正确做出辅助线是解题的关键．
23．如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②，，，，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是的中点，路灯高8米，米，，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差．
【答案】12米．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴
∵点B是的中点
∴米，
∴．
∵，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴两人的观测点到地面的距离的差为12米．
【点睛】
本题属于相似三角形的应用，主要考查锐角三角函数以及相似三角形的性质，解答本题的关键是求出CD．
24．如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据，得，，即可得．
（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．
（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出的长．
【详解】
解：（1） ，
∴，，
∴．
（2），
∴
又点为斜边的中点，
∴ ，
又
在 中
，
又，由勾股定理得：BC=10
D为AB中点，
∴BD=5， DE=，由勾股定理得：BE=
，
可得，
，
．
（3），
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形．
若，
，
，
解得．
若，
，
解得．
③若，
，此种情况舍去．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．