数学北师大版1 圆综合训练题

这是一份数学北师大版1 圆综合训练题，文件包含第3章圆巩固篇原卷版doc、第3章圆巩固篇解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于( )
A．1B．C．D．5
【答案】C
【分析】
根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程x2-7x+12=0的两个根，解可得方程x2-7x+12=0的两个根为3与4；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为5；故半径等于2.5．
【解析】
解：解可得方程x2-7x+12=0得，
x1=3，x2=4，
∴斜边边长为5，
即直角三角形外接圆的直径是5，
∴半径等于2.5．
故选C.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
2．如图，的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）
A．3B．5C．9D．12
【答案】C
【分析】
当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可.
【解析】
当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故选C.
【点睛】
本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.
3．如图，、切于点、，点是上一点，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
如图，连接 由、切于点、，可得 再利用四边形的内角和定理可得 再利用，从而可得答案．
【解析】
解：如图，连接
、切于点、，



故选：
【点睛】
本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，是的外接圆，的中垂线与相交于D点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE的度数，继而求得答案．
【解析】
解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，
∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOE＝∠BAC，
∵∠A＝60°，∠B＝70°，
∴，
∴∠BOE＝∠BAC＝60°，
∴∠BOD＝180°−∠BOE＝180°−60°＝120°，
∵∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∴的度数为：100°，
∴的度数为：120°−100°＝20°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A．B．C．16D．8
【答案】A
【分析】
连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．
【解析】
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，
∴CO＝6，PO=4，
∵AB⊥CD，
∴AP= == ，
∴AB＝2AP＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
6．如图，中，，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，则长为（ ）
A．10B．9C．D．8
【答案】B
【分析】
如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD=AB=10，根据垂径定理可得DE=BE，得CE=BE-BC=DE-4，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．
【解析】
解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD=AB=10，
根据垂径定理，得DE=BE，
∴CE=BE-BC=DE-4，
根据勾股定理，得AD2-DE2=AC2-CE2，
102-DE2=82-（DE-4）2，
解得DE=，
∴CD=DE+CE=2DE-4=9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
7．如图，为⊙切线，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质，可得，故可得
【解析】
解：∵为⊙切线，
又
故选：B
【点睛】
本题考查圆的切线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握切线的定义和性质是解题的关键
8．如图，的弦垂直平分半径，若弦，则的半径为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】
首先连接OA，由垂径定理即可求得AD的长，然后设OD=x，则OA=2x，由勾股定理即可求得圆的半径；
【解析】
设OC与AB交于点D，连接OC，
设OC=x，
∵ O的弦AB垂直平分半径OC，
∴ OC=2x，AD= ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 圆的半径为：2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用．
9．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28°，则∠ABO的大小（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56°，然后利用互余计算出∠ABO的度数．
【解析】
解：∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°，
∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．
10．如图，分别切与点切于点，分别交于点，若的周长，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据切线长定理得MA=MC，NC=NB，PA=PB，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【解析】
∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，
∵△PMN的周长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8（cm），
∴PA=PB=（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
11．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】
连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．
【解析】
如图：连接OB，OC，OA，
为圆内接正三角形
四边形ACDF为圆内接正方形
若以BC为边的圆内接正边形，则有
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．
12．如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．
【解析】
解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°，
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，
所以劣弧AC的长度为，
故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为________．
【答案】30°
【分析】
连接OC，根据平行四边形的性质得到BC=OD，得到△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC=60°，根据圆周角定理解答即可.
【解析】
解：连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC=OD，
∴BC=OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∠BOC=60°，
由圆周角定理得，∠A=∠BOC=30°，
故答案为：30°.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.
14．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为_____．
【答案】
【分析】
作直径AE，连接BE，如图，利用等角的补角相等得到∠BOE＝∠COD，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BE＝CD＝4，接着利用圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算AB的长．
【解析】
解：作直径AE，连接BE，如图，
∵∠AOB＋∠COD＝180°，∠AOB＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝4，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．
15．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为_____．
【答案】16
【分析】
连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．
【解析】
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，
∴OA＝OC＝10，
∵CM＝4，
∴OM＝10﹣4＝6，
在中，由勾股定理得：AM＝＝8，
∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．
16．如图，已知⊙O上三点，，，切线交延长线于点，若，则_______．
【答案】
【分析】
如图，连接 先证明再证明利用三角函数求解 从而可得答案．
【解析】
解：如图，连接


是的切线，





故答案为：
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cs∠EAC＝，CE＝2，则△OAB的面积是_____．
【答案】3
【分析】
如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE，由AF是直径，可得∠AEF＝90°，可证BC∥FE,可证CE＝BF＝2，由cs∠EAC＝，设AF＝10x，AB＝3x，由勾股定理AF2＝AB2+BF2，可求x＝，利用面积公式△OAB的面积＝S△ABF即可．
【解析】
解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE,
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
又∵AE⊥BC，
∴BC∥FE，
∴，
∴∠EAC＝∠BAF，
∴CE＝BF＝2，
∵cs∠EAC＝，
∴cs∠BAF＝，
设AF＝10x，AB＝x，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴100x2＝4+90x2，
∴x＝，
∴AB＝6，
∴△OAB的面积＝S△ABF＝××AB×BF＝3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，掌握圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
18．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．
【答案】6﹣π
【分析】
设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH和正六边形ABCDEF的面积，再求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，即可得出结果．
【解析】
解：设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，如图所示：
∠DOE＝＝60°，
∴OD＝OE＝DE＝2，
∴OH＝，
∴正六边形ABCDEF的面积＝×2××6＝，
∠A＝，
∴扇形ABF的面积，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，为⊙O的直径，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由垂径定理得到，由解得，再证明，由全等三角形的对应边相等性质解得，再由垂径定理可得的长；
（2）由（1）中结论可知，由垂径定理得到，继而得到，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知，再根据余弦的定义解题即可．
【解析】
为⊙O的直径，，
，
在与中，
；
（2）由（1）得，
⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查垂径定理、全等三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．已知，中，，是上的点，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．
【答案】（1）见解析；（2）；
【分析】
（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明；
（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出和的大小．
【解析】
解：（1）中，，
．
，
．
（2）四边形是圆内接四边形，
．
．
中，，
．
．
，
．
【点睛】
本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．
21．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）过作于 由正方形ABCD，可得 证明 再证明 从而可得结论；
（2）正方形ABCD，可得 求解 再证明 求解 利用 列方程，解方程可得答案．
【解析】
解：（1）过作于
正方形ABCD，

是的切线，


为的半径，
BC与⊙O相切；
（2） 正方形ABCD，


设的半径为





【点睛】
本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
22．如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
【分析】
（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【解析】
（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，

∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
23．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【解析】
（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】
本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
24．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若∠AEC＝30°，⊙O的半径为10，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）−25．
【分析】
（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理证明△AOC是等边三角形，利用扇形面积和等边三角形的面积即可求出结果．
【解析】
（1）证明：如图，连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为10，
∴等边三角形△AOC面积为：×10×5＝25，
扇形AOC的面积为：．
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积−等边三角形△AOC面积＝−25．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，扇形面积的计算，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．