湖南省岳阳市2021年中考数学真题 （word版 含答案）

这是一份湖南省岳阳市2021年中考数学真题 （word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省岳阳市2021年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．在实数，-1，0，2中，为负数的是（ ）
A． B．-1 C．0 D．2
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）

A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1

二、填空题
9．因式分解：______．
10．2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为________．
11．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______．
12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_______．
13．要使分式有意义，则x的取值范围为_________．
14．已知，则代数式______．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

16．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．


三、解答题
17．计算：．
18．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
19．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
20．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分组
频数
频率


4
0.08


8
0.16


10



21
0.42



0.14

请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．星期天，小明与妈妈到离家的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．

22．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．

（1）求山脚到河岸的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）
（参考数据：，，）
23．如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．

（1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．
24．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
利用负数的定义即可判断．
【详解】
解：A、是正数；
B、1是正数，在正数的前面加上“-”的数是负数，所以，-1是负数；
C、0既不是正数，也不是负数；
D、2是正数．
故选：B
【点睛】
本题考查了实数的分类的知识点，熟知负数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】
根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【详解】
A. 是轴对称图形，符合题意；
B. 不是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形．
3．C
【分析】
逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．
【详解】
解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．
4．D
【分析】
解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】
题目主要考察求解不等式解集、不等式组解集以及解集在数轴上的表示，难点是对在数轴上表示实心点和空心圈的区分．
5．C
【分析】
根据平行线的性质解题．
【详解】
∵a∥b
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补．
6．B
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【详解】
A、五边形的内角和是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．
7．C
【分析】
根据众数的概念和运用求平均数的公式即可得出答案．
【详解】
解：该班最后得分为（9.0+9.2+9.0+8.8+9.0）÷5＝9.0（分）．
故最后平均得分为9.0分．
在五个有效评分中，9.0出现的次数最多，因此众数为：9.0
故选：C．
【点睛】
考查了众数和均数的求法．本题所描述的计分方法，是经常用到的方法，是数学在现实生活中的一个应用，熟记平均数的公式是解决本题的关键．
8．D
【分析】
分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
9．．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．
10．5.5×107
【分析】
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
解：55000000＝5.5×107．
故答案为：5.5×107．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
11．

【分析】
先分别确定从袋子中随机摸出一个小球的总结果数和摸出的是白球的结果数，再用概率公式求解即可．
【详解】
解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个，
其中，摸出的小球是白球的结果数为3个，
因此，摸出的小球是白球的概率为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率公式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意和牢记概率公式等．
12．9
【分析】
直接利用根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：由题可知：“△=0”，即；
∴；
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．
13．x≠1
【解析】
由题意得
x-1≠0,
∴x≠1.
故答案为x≠1.
14．0
【分析】
把直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值．
【详解】

故答案为：0．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．
15．
【分析】
先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC=尺，
∴可列方程为：，

故答案为：．
【点睛】
本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
16．①②④⑤
【分析】
①根据线段垂直平分线定理即可得出结论
②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可
③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可
④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论
⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果
【详解】
解:①∵DE是的垂直平分线
∴
故正确
②∵DE是的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故正确
③连接OC

∵DE是的垂直平分线
∴
∴∠EBD=∠A=40°
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-40°=50°
∴∠EBC=50°-40°=10°
∵∠EOC=2∠EBC
∴∠EOC=20°
∴
故错误
④∵DE⊥AB，F是的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴
故正确
⑤∵，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB中，

∵DE是的垂直平分线
∴，AE=BE=8
∵在Rt△ADE和Rt△ACE中
∠A=∠A,∠ADE=∠ACB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
∴
∴
∴AC=10.24
又AE=BE=8
∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24
故正确
故答案为：①②④⑤
【点睛】
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键
17．2
【分析】
分别根据有理数的乘方、绝对值的代数意义、特殊锐角三角函数值和零指数幂的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
=2．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊锐角三角函数值是解答此题的关键．
18．（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析
【分析】
（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；
（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．
【详解】
（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
19．（1）；（2）或
【分析】
（1）直接利用待定系数法将A点坐标代入正比例函数解析式中可以求出m，再将A点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k；
（2）先确定B点坐标，再通过面积确定OC的长，最后即可确定C点坐标．
【详解】
解：（1）将点坐标代入中可得：，
∴；
将代入可得：，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）因为该反比例函数的图像和一次函数的图像交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
∴,
∴B点到OC的距离为2，
∵的面积为3，
∴,
∴，
当C点在O点左侧时，；
当C点在O点右侧时，；
∴点的坐标为或．
【点睛】
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中点的坐标、三角形的面积公式等内容，解决本题的关键是理解点的坐标与函数解析式之间的关系以及利用三角形的面积建立相等关系求对应线段的长，本题涉及到的方法为分类讨论的思想方法．
20．（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【分析】
（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值；
（2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
【详解】
（1）根据组别，本次调查的总体数量=，
∴组别的频率=，
∴组别的频数=频率×总体数量，
∴，；
（2）∵（1）中求得的值为0.2，
∴其在扇形中的度数；
（3）组别和的频率和为：，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系．
21．妈妈开车的平均速度是48km/h．
【分析】
设妈妈开车的平均速度为xkm/h，根据小明行驶的时间比妈妈多用1小时列出方程，求解并检验可得结论．
【详解】
解：设妈妈开车的平均速度为xkm/h，则小明的速度为km/h，根据题意得，

解得，
经检验，是原方程的根，
答：妈妈开车的平均速度是48km/h．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系“小明用时-1=妈妈用时”是解答此题的关键．
22．（1）24m；（2）53.3m
【分析】
（1）先利用等角对等边和坡度值分别求出CE和AC，最后相减即可得到AE的长；
（2）利用三角函数值求出CF的长后，利用线段之间的和差关系即可求出EF的长．
【详解】
解：（1）∵，坡面的坡度，
∴m，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴山脚到河岸的距离为24m；
（2）∵，，
∴，
∴,
∴，
∴河宽的长度约为53.3m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，要求学生能正确理解题意，能建立文字与图形之间的关联，能用数学符号表示实际问题中的数量关系等，解决本题的关键是能正确利用坡比值和利用三角函数值求线段的长等．
23．（1）；；（2）①正方形，理由见解析；②见解析；（3）
【分析】
（1）根据“斜中半”定理可得，然后根据旋转的性质可得，从而得出，再结合题意推出，从而根据正切函数的定义求出即可；
（2）①通过证明，并综合条件，推出四边形是正方形；②首先根据推出，然后证明得到，即可得出结论；
（3）根据题意可首先证明四边形是菱形，然后证明出，即可推出结论，再作，通过解直角三角形，求出的长度，从而得出结论．
【详解】
（1）∵点为中斜边的中点，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：；；
（2）①正方形，理由如下：
∵，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形；
②显然，在正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
由（1）得：则为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，

∴，
∴，
∴；
（3）同（2）中①理，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵为等边三角形，
∴，菱形的边长也为2，
由题意，，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
如图，作，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．

【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，以及锐角三角函数等，综合性较强，掌握基本图形的性质，灵活运用相似三角形以及锐角三角函数是解题关键．
24．（1）；（2）；（3）存在，或．
【分析】
（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；
（3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）∵经过点A，
∴，
∴，
∴直线：；
设，则，
∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，
∴M点横坐标为，
∴；
又∵，
∴，
当时，的值最小，为；
∴该矩形周长的最小值为；
（3）存在，或；
由（2）可知，，
∵抛物线的函数表达式为：；
且，
∴顶点D坐标为，
如图4，作DE⊥QM，

因为，，
∴；
又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，
∴
令，解得：，；
∴,,
∴,
∴，
∴当F点在点A处时，能使得，此时;
如图5，在BC另一侧，当时，，
过C点作CN⊥BH，垂足为点N，

由角平分线的性质可得：CN=CO=2，
∴BN=BO=4，
由勾股定理可得：且,
即，且；
解得：，;
∴
设直线BH的函数解析式为：，
∴，
∴，
∴直线BH的函数解析式为：，
联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：

解得：（与B点重合，故舍去），或，
∴，
综上可得，抛物线上存在点，使得，或．
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等．