湖南省长沙市2021年中考试数学真题 （word版 含答案）

湖南省长沙市2021年中考试数学真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四个实数中，最大的数是（    ）

A． B． C． D．4

2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，，分别与，交于点，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

7．下列函数图象中，表示直线的是（    ）

A． B． C． D．

8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（    ）

A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24

9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ）

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．

二、填空题

11．分解因式：______．

12．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．

13．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．

14．若关于的方程的一个根为3，则的值为______．

15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．

16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按，，，四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为______．

三、解答题

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在和中，

∴≌______．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）

①AAS；②ASA；③SAS；④SSS

20．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

21．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．

（1）求证：是矩形；

（2）求的长．

22．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

23．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长和面积．

24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

25．如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．

参考答案

1．D

【分析】

根据实数的大小比较法则即可得．

【详解】

解：，

，

即这四个实数中，最大的数是4，

故选：D．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．

2．B

【分析】

根据科学记数法的定义即可得．

【详解】

解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，

则，

故选：B．

【点睛】

本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．

3．C

【分析】

根据中心对称图形的定义即可得．

【详解】

A、不是中心对称图形，此项不符题意；

B、不是中心对称图形，此项不符题意；

C、是中心对称图形，此项符合题意；

D、不是中心对称图形，此项不符题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．

4．A

【分析】

根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得．

【详解】

A、，此项正确；

B、，此项错误；

C、，此项错误；

D、，此项错误；

故选：A．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．

5．A

【分析】

先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可得．

【详解】

解：，

，

（对顶角相等），

故选：A．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

6．B

【分析】

直接利用圆周角定理即可得．

【详解】

解：，

由圆周角定理得：，

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．

7．B

【分析】

根据一次函数的图象与性质即可得．

【详解】

解：一次函数的一次项系数为，

随的增大而增大，则可排除选项，

当时，，则可排除选项，

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．

8．C

【分析】

根据众数和中位数的定义即可得．

【详解】

解：因为23出现的次数最多，

所以这组数据的众数是23，

将这组数据按从小到大进行排序为，

则这组数据的中位数是24，

故选：C．

【点睛】

本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．

9．A

【分析】

先画出树状图，从而可得投掷两次的所有可能的结果，再找出两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果，然后利用概率公式即可得．

【详解】

解：由题意，画树状图如下：

由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，

则所求的概率为，

故选：A．

【点睛】

本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．

10．A

【分析】

先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，

只能是1与3的和，

即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，

，

丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，

，

甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，

，

丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，

戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，

故选：A．

【点睛】

本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．

11．

【分析】

利用提公因式法进行因式分解即可得．

【详解】

解：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键．

12．

【分析】

先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．

【详解】

解：由题意得：，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．

13．12

【分析】

先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：四边形是菱形，

，

点是边的中点，

是的中位线，

，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．

14．

【分析】

将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】

解：由题意，将代入方程得：，

解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．

15．

【分析】

先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．

【详解】

解：平分，，，，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．

16．50份

【分析】

先根据等级的条形统计图和扇形统计图信息求出抽取的作品总份数，再减去三个等级的份数即可得．

【详解】

解：抽取的作品总份数为（份），

则等级的作品份数为（份），

故答案为：50份．

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识点是解题关键．

17．5．

【分析】

先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得．

【详解】

解：原式，

，

．

【点睛】

本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

18．，1．

【分析】

先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得．

【详解】

解：原式，

，

将代入得：原式．

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．

19．（1）；（2）④．

【分析】

（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；

（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．

【详解】

（1）证明：由作图可知，在和中，

，

∴．

故答案为：．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，

故答案为：④．

【点睛】

本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

20．（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．

【分析】

（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；

（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．

【详解】

解：（1）由题意得：，

答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；

（2）设纸箱中白球的数量为个，

由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，

则，

解得，

经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，

答：纸箱中白球的数量接近36个．

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．

21．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证；

（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得．

【详解】

（1）证明：四边形是平行四边形，

，

是等边三角形，

，

，

是矩形；

（2）是等边三角形，，

，

，

由（1）已证：是矩形，

，

则在中，．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．

22．（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．

【分析】

（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；

（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．

【详解】

解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，

由题意得：，

解得，

答：该参赛同学一共答对了22道题；

（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，

由题意得：，

解得，

答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．

【点睛】

本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．

23．（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．

【分析】

（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．

【详解】

（1）证明：，

，

在和中，，

，

；

（2），，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

则的周长为，

的面积为．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

24．（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为．

【分析】

（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；

（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；

（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案．

【详解】

解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，

，

，

，

将点代入得：，

故答案为：；

（2）由题意，分以下两种情况：

①当时，

假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，

则，

解得，与相矛盾，假设不成立，

所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；

②当时，

函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；

综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；

（3）由题意，将代入得：，

，

设点与点是“函数”图象上的一对“点”，

则，解得，

，

联立得：，

“函数”与直线交于点，，

是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，

，

，

，即，

解得，

则直线的解析式为，

当时，，

因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为．

【点睛】

本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键．

25．（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）连接，先利用定理证出，从而可得，再在中，解直角三角形即可得；

（2）在（1）的基础上，利用求出的长，由此即可得；

（3）如图（见解析），先解直角三角形可得，再根据圆周角定理、相似三角形的判定可得，从而可得，由此即可得出关于的函数解析式，然后连接，交于点，根据相似三角形的判定与性质可得，由此可求出，最后根据可得自变量的取值范围．

【详解】

解：（1）如图，连接，则，

四边形为正方形，

，

在和中，，

，

，

设，则，

在中，，

则；

（2）设，则，，

，

，

；

（3），

，

，

，解得，

，

，，

，

，

由圆周角定理得：，

，

，

，

，

在和中，，

，

，即，

解得，

如图，连接，交于点，

，，

，

四边形为正方形，

，

，

，即，

解得，

点在上运动（点与点不重合），

点在线段上运动（点与点不重合），

，即，

综上，．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确找出相似三角形是解题关键．