初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系教学设计

专题24.9点、直线与圆的位置关系（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；
2.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位

置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
 

【要点梳理】

要点一、点和圆的三种位置关系
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　

要点二、直线和圆的位置关系

1．直线和圆的三种位置关系：
　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　　　　　　　
　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
　　

要点诠释：
   这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．

【典型例题】

 类型一、点与圆的位置关系

　1 .已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?

【答案与解析】

依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．

连接PO，QO，RO．

∵  PD＝4cm，OD＝3cm，

∴  PO＝．

∴  点P在⊙O上．

，

∴  点Q在⊙O外．

，

∴  点R在⊙O内．

【总结升华】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．

 类型二、直线与圆的位置关系

　2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

 (1)r=2厘米；  (2)r=2.4厘米；  (3)r=3厘米

【答案与解析】

过C点作CD⊥AB于D，    

在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，

       ，∴AB·CD=AC·BC，

∴(cm)，

（1）当r =2cm时  CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r= 2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．

举一反三：

【变式】 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）

A．8≤AB≤10      B．8＜AB≤10     C．4≤AB≤5     D．4＜AB≤5

【答案】A；

提示：当AB与小圆相切，

∵大圆半径为5，小圆的半径为3，

∴AB=2=8．

∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，

∴8≤AB≤10．

故选：A．

3．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：直线AC与⊙D相切．

【答案与解析】

过D作DF⊥AC于F．

∵  ∠B＝90°，∴  DB⊥AB．

又AD平分∠BAC，

∴  DF＝BD＝半径．

∴  AC与⊙D相切．

【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．