2022版高考数学大一轮复习课时作业38《基本不等式》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业38《基本不等式》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
下列不等式一定成立的是( )
A.lg(x2＋eq \f(1,4))>lgx(x>0)
B.sinx＋eq \f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[－2,0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
已知a＋b=t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t=( )
A.2 B.4 C.2eq \r(2) D.2eq \r(5)
已知f(x)=eq \f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在[eq \f(1,2),3]上的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C.－1 D.0
已知x，y为正实数，且x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=5，则x＋y的最大值是( )
A.3 B.eq \f(7,2) C.4 D.eq \f(9,2)
已知x>0，y>0，且3x＋2y=xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，则实数t取值范围是( )
A.(－∞，－8)∪(3，＋∞)
B.(－8,3)
C.(－∞，－8)
D.(3，＋∞)
若对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.a≥eq \f(1,5) B.a>eq \f(1,5) C.a 当0A.[－2,0)∪(0,4] B.[－4,0)∪(0,2]
C.[－4,2] D.[－2,4]
设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则eq \f(1,a9)＋eq \f(9,a2 009)的最小值为 .
已知函数f(x)=eq \f(1,3)ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则eq \f(a,c2＋4)＋eq \f(c,a2＋4)最小值为( )
A.0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.1
二、填空题
已知a>0，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
若x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则x＋2y的最小值是 .
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是 万元.
已知x，y为正实数，则eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)的最小值为 .
三、解答题
已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2=x＋y.
(1)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值.
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)=5？并说明理由.
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值.
\s 0 答案详解
答案为：C.
解析：对选项A，当x>0时，x2＋eq \f(1,4)－x=(x-eq \f(1,2))2≥0，所以lg(x2＋eq \f(1,4))≥lgx；
对选项B，当sinx<0时显然不成立；对选项C，x2＋1=|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对选项D，因为x2＋1≥1，所以0 答案为：D.
解析：∵1=2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)=2eq \r(2x＋y)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当2x＝2y＝\f(1,2)，即x＝y＝－1时等号成立))，
∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2.
答案为：C.
解析：∵a>0，b>0，∴ab≤eq \f(a＋b2,4)=eq \f(t2,4)，当且仅当a=b=eq \f(t,2)时取等号.
∵ab的最大值为2，∴eq \f(t2,4)=2，t2=8.又t=a＋b>0，∴t=eq \r(8)=2eq \r(2).
答案为：D.
解析：f(x)=eq \f(x2－2x＋1,x)=x＋eq \f(1,x)－2≥2－2=0，当且仅当x=eq \f(1,x)，即x=1时取等号.
又1∈[eq \f(1,2),3]，所以f(x)在[eq \f(1,2),3]上的最小值是0.
答案为：C.
解析：∵x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]=(x＋y)·(eq \f(1,x)＋eq \f(1,y))=2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2=4，
∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4，
∴x＋y的最大值是4，当且仅当x=y=2时取得.
答案为：B.
解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y=xy，可得eq \f(3,y)＋eq \f(2,x)=1，
∴2x＋3y=(2x＋3y)eq \f(3,y)＋eq \f(2,x)=13＋eq \f(6x,y)＋eq \f(6y,x)≥13＋2eq \r(\f(6x,y)·\f(6y,x))=25，
当且仅当x=y=5时取等号.
∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，
∴t2＋5t＋1<(2x＋3y)min，∴t2＋5t＋1<25，解得－8 答案为：A.
解析：由x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)=eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t=x＋eq \f(1,x)，则t≥2eq \r(x·\f(1,x))=2，
当且仅当x=1时，t取得最小值2.eq \f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq \f(1,5)，
所以对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq \f(1,5).
答案为：D.
解析：因为0当且仅当2m=1－2m，即m=eq \f(1,4)时取等号，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)=eq \f(1,m1－2m)≥8，
又eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.
所以实数k的取值范围是[－2,4].故选D.
答案为：4.
解析：由等差数列的前n项和公式，
得S2 017=eq \f(2 017a1＋a2 017,2)=4 034，则a1＋a2 017=4.
由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，
所以eq \f(1,a9)＋eq \f(9,a2 009)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a9)＋\f(9×4,a2 009)))=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a9＋a2 009,a9)＋\f(9a9＋a2 009,a2 009)))
=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2 009,a9)＋\f(9a9,a2 009)))＋10))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(a2 009,a9)×\f(9a9,a2 009))＋10))=4，
当且仅当a2 009=3a9时等号成立.
答案为：B.
解析：因为函数f(x)=eq \f(1,3)ax3－2x2＋cx在R上单调递增，
所以f′(x)=ax2－4x＋c≥0在R上恒成立.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝16－4ac≤0，))所以ac≥4，又ac≤4，所以ac=4，
又a>0，所以c>0，
则eq \f(a,c2＋4)＋eq \f(c,a2＋4)=eq \f(a,c2＋ac)＋eq \f(c,a2＋ac)=eq \f(a,cc＋a)＋eq \f(c,ac＋a)
=eq \f(1,c)－eq \f(1,c＋a)＋eq \f(1,a)－eq \f(1,c＋a)=eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)－eq \f(2,c＋a)≥2eq \r(\f(1,ac))－eq \f(2,2\r(ac))=1－eq \f(1,2)=eq \f(1,2)，
当且仅当a=c=2时等号成立，故选B.
答案为：-1.
解析： SKIPIF 1 < 0 =eq \f(4a2－a－4a＋1,a)=4a－5＋eq \f(1,a).
∵a>0，∴4a－5＋eq \f(1,a)≥2eq \r(4a·\f(1,a))－5=－1，当且仅当4a=eq \f(1,a)，即a=eq \f(1,2)时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为－1.
答案为：3.
解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则2y=eq \f(7－x,x＋2).
则x＋2y=x＋eq \f(7－x,x＋2)=x＋2＋eq \f(9,x＋2)－3≥2eq \r(x＋2·\f(9,x＋2))－3=3，
当且仅当x=1时取等号.因此其最小值是3.
答案为：8.
解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)=18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，而x>0，
故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)=8，当且仅当x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元.
答案为：eq \f(5,2).
解析：∵x，y为正实数，则eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)=eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(y,x)＋1=eq \f(2,1＋\f(2y,x))＋eq \f(y,x)＋1，
令t=eq \f(y,x)，则t>0，∴eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)=eq \f(2,1＋2t)＋t＋1
=eq \f(1,\f(1,2)＋t)＋t＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(1,\f(1,2)＋t)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2))))＋eq \f(1,2)=eq \f(5,2)，当且仅当t=eq \f(1,2)时取等号.
∴eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)的最小值为eq \f(5,2).
三、解答题
解：(1)因为eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=eq \f(x＋y,xy)=eq \f(x2＋y2,xy)≥eq \f(2xy,xy)=2，当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为2.
(2)不存在.理由如下：
因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)=2(x＋y).
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤( SKIPIF 1 < 0 )2≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)=5.
解：(1)由题设，
得S=(x－8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(900,x)－2))=－2x－eq \f(7 200,x)＋916，x∈(8,450).
(2)因为8所以2x＋eq \f(7 200,x)≥2eq \r(2x·\f(7 200,x))=240，
当且仅当x=60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，
三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.