2022版高考数学大一轮复习课时作业51《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业51《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知点(a，b)在圆C：x2＋y2=r2(r≠0)的外部，则ax＋by=r2与C的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.内含 D.相交
与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12=0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14=0都相切的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5=0 B.2x＋y－7=0
C.x－2y－5=0 D.x－2y－7=0
已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y=2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2eq \r(5)，则圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y＋5)2=25 B.(x＋2)2＋(y＋3)2=9
C.(x- SKIPIF 1 < 0 )2＋(y- SKIPIF 1 < 0 )2=eq \f(49,9) D.(x+ SKIPIF 1 < 0 )2＋(y- SKIPIF 1 < 0 )2=eq \f(49,9)
已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－3=0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12=0上，则△PC1C2面积的最大值为( )
A.2eq \r(5) B.4eq \r(5) C.8eq \r(5) D.20
已知点M在直线x＋y＋a=0上，过点M引圆O：x2＋y2=2的切线，若切线长的最小值为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A.±2eq \r(2) B.±3 C.±4 D.±2eq \r(5)
已知圆C的方程为x2＋y2=1，直线l的方程为x＋y=2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \r(2)－1 D.2－eq \r(2)
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，则实数t的取值范围为( )
A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B.[－1,3]
C.(－∞，2－eq \r(7)]∪[2＋eq \r(7)，＋∞)
D.[2－eq \r(7)，2＋eq \r(7)]
二、填空题
圆x2＋y2=50与圆x2＋y2－12x－6y＋40=0的公共弦的长度为 .
已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧 eq \\ac(AB,\s\up10(︵ ))的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是 .
过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2=25交于A，B两点，C为圆心，
当∠ACB最小时，直线l的方程是 .
已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2=4，直线l：x＋y－6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围为 .
已知AB为圆C：x2＋y2－2y=0的直径，点P为直线y=x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为 .
三、解答题
已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y=1相切，且圆心在直线y=－2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x=0及点A(－1,0)，B(1,2).
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|=|AB|，求直线l的方程；
(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
已知⊙H被直线x－y－1=0，x＋y－3=0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a,0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|=|MN|，求实数a的取值范围.
\s 0 答案详解
答案为：D.
解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by=r2的距离为d=eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
则d 答案为：A.
解析：两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2=1，C2：(x－7)2＋(y－1)2=36，
则两圆圆心距|C1C2|=5，等于两圆半径差，故两圆内切.
所以它们只有一条公切线.故选A.
答案为：B.
解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2=5，圆的方程为(x－1)2＋y2=5，
则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)=5，即2x＋y－7=0.故选B.
答案为：B.
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝|b|，,b＝2a＋1，,r2＝|a|2＋\r(5)2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3，,r＝3，))
所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2=9.故选B.
答案为：B.
解析：因为C1(－2,2)，r1=eq \r(11)，C2(2,0)，r2=4，所以|C1C2|=2eq \r(5).
易知当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值Smax=eq \f(1,2)×2eq \r(5)×4=4eq \r(5).
答案为：D.
解析：设圆心O到直线x＋y＋a=0的距离为d，则d=eq \f(|a|,\r(2))，又过点M引圆x2＋y2=2的切线，切线长的最小值为2eq \r(2)，则2＋(2eq \r(2))2=eq \f(a2,2)，解得a=±2eq \r(5)，故选D.
答案为：D.
解析：方法1：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(csα，sinα)，则A(csα，2－csα)，
∴|PA|=|2－csα－sinα|=|2－eq \r(2)sin(α＋eq \f(π,4))|，
∴|PA|的最小值为2－eq \r(2)，故选D.
方法2：由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y=2的距离d=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2)，
∴圆C上一点到直线x＋y=2的距离的最小值为eq \r(2)－1.
由题意可得|PA|min=eq \r(2)(eq \r(2)－1)=2－eq \r(2)，故选D.
答案为：D.
解析：由题意可得直线AB的方程为x=y＋1，与y2=4x联立消去x，可得y2－4y－4=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=4，y1y2=－4，
设E(xE，yE)，则yE=eq \f(y1＋y2,2)=2，xE=yE＋1=3，又|AB|=x1＋x2＋2=y1＋1＋y2＋1＋2=8，
所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外.
圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)即圆E上存在点P，Q，
使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，
则∠P′DQ′≥eq \f(π,2)，所以eq \f(|EP′|,|DE|)=eq \f(4,\r(3＋22＋2－t2))≥eq \f(\r(2),2)，
整理得t2－4t－3≤0，解得2－eq \r(7)≤t≤2＋eq \r(7)，
故实数t的取值范围为[2－eq \r(7)，2＋eq \r(7)]，故选D.
答案为：2eq \r(5).
解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，
可求得弦所在直线为2x＋y－15=0，原点到该直线的距离为d=eq \f(|－15|,\r(22＋1))=3eq \r(5)，
则公共弦的长度为2eq \r(r2－d2)=2eq \r(5).
答案为：x－y＋2－eq \r(2)=0.
解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧 eq \\ac(AB,\s\up10(︵ ))的中点，
所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，
所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为eq \r(2)，
所以|OM|=eq \r(2)－1，所以M(eq \f(\r(2),2)-1,1-eq \f(\r(2),2))，
所以切线方程为y－1＋eq \f(\r(2),2)=x－eq \f(\r(2),2)＋1，
整理得x－y＋2－eq \r(2)=0.
答案为：x＋y－3=0.
解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，
此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为eq \f(4－2,3－1)=1，所以直线l的斜率为eq \f(－1,1)=－1，
因此所求的直线l的方程是y－2=－(x－1)，即x＋y－3=0.
答案为：[1,5].
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，
当∠BAC=60°时，MA=eq \f(MB,sin∠BAM)=eq \f(2,sin30°)=4.
设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2=16，解得x=1或x=5，
因此点A的横坐标的取值范围为[1,5].
答案为：6.
解析：圆心C(0,1)，设∠PCA=α，|PC|=m，
则|PA|2=m2＋1－2mcsα，|PB|2=m2＋1－2mcs(π－α)=m2＋1＋2mcsα，
∴|PA|2＋|PB|2=2m2＋2.
又C到直线y=x－1的距离为d=eq \f(|0－1－1|,\r(2))=eq \r(2)，即m的最小值为eq \r(2)，
∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×(eq \r(2))2＋2=6.
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则eq \r(a－22＋－2a＋12)=eq \f(|a－2a－1|,\r(2)).
化简，得a2－2a＋1=0，解得a=1.
∴C(1，－2)，半径r=|AC|=eq \r(1－22＋－2＋12)=eq \r(2).
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，
由题意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))=1，解得k=－eq \f(3,4)，
∴直线l的方程为y=－eq \f(3,4)x，即3x＋4y=0.
综上所述，直线l的方程为x=0或3x＋4y=0.
解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2=4，
所以圆心C(2,0)，半径为2.
因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，
所以直线l的斜率为eq \f(2－0,1－－1)=1.
设直线l的方程为x－y＋m=0，
则圆心C到直线l的距离为d=eq \f(|2－0＋m|,\r(2))=eq \f(|2＋m|,\r(2)).
因为|MN|=|AB|=eq \r(22＋22)=2eq \r(2)，
而|CM|2=d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MN|,2)))2，
所以4=eq \f(2＋m2,2)＋2，解得m=0或m=－4，
故直线l的方程为x－y=0或x－y－4=0.
(2)假设圆C上存在点P，
设P(x，y)，则(x－2)2＋y2=4，
|PA|2＋|PB|2=(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2=12，
化简得x2＋y2－2y－3=0，即x2＋(y－1)2=4.
因为|2－2|所以圆(x－2)2＋y2=4与圆x2＋(y－1)2=4相交，
所以存在点P，点P的个数为2.
解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2=r2(r>0)，
因为⊙H被直线x－y－1=0，x＋y－3=0分成面积相等的四部分，
所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1=0，x＋y－3=0的交点，
易得交点坐标为(2,1)，所以m=2，n=1.
又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2=12＋n2=2.
所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2=2.
(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋a,2)，\f(y0,2))).
因为M，N两点均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2=2，①
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋a,2)－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)－1))2=2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2=8，②
设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2=8，
由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2=8有公共点，
从而2eq \r(2)－eq \r(2)≤|HI|≤2eq \r(2)＋eq \r(2)，
即eq \r(2)≤eq \r(a－22＋1－22)≤3eq \r(2)，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－eq \r(17)≤a≤1或3≤a≤2＋eq \r(17)，
所以实数a的取值范围是[2－eq \r(17)，1]∪[3,2＋eq \r(17)].