类型三 与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三 与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）

【典例1】若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为________cm(结果保留π)．

【答案】　

【解析】设这个扇形的半径为r  cm，则＝，解得r＝1(负值舍去)，∴这个扇形的弧长为＝.

【典例2】小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36 cm，则的长为________cm.

【答案】12　

【解析】设⊙O的半径为r，则可列方程：＝36，解得r＝，∴的长为＝12 cm.

【典例3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(　　)

A. 1－  B.   C. 2－  D. 1＋

【答案】A　

【解析】如解图，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S阴影＝S△ABC－S扇形ECF＝××－＝1－.

【典例4】如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆．则图中阴影部分的面积为(　　)

A. 24－4π  B. 12＋4π

C. 24＋8π  D. 24＋4π

【答案】A　

【解析】正六边形的面积为×4×2×6＝24，六个小半圆的面积为π·22×3＝12π，中间大圆的面积为π·42＝16π，所以阴影部分的面积为24＋12π－16π＝24－4π.

【典例5】如图，已知点C, D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为(　　)

A. π  B. π

C. π  D. π＋

【答案】A　

【解析】如解图，连接OC、OD、CD，∵点C、D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S阴影＝S扇形COD，∵的长为π，∴＝π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形COD＝＝π.

【典例6】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为(　　)

A. 4π  B. 6  C. 4  D. π

【答案】D　

【解析】由题意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋转的性质，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝.∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面积为＝π.即线段CA扫过的图形的面积为π.

【典例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为(　　)

A.      B. π      C.       D.

【答案】C　

【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝，∠ABE＝90°，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴的长为＝π.

【典例8】如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝________米．

【答案】300　

【解析】如解图，连接AO、BO，∵100π＝＝，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．

【典例9】如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，的长是π，则阴影部分的面积是________．

【答案】－　

【解析】由题可得，∠AOB＝60°，设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝2，则S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝－×2×＝－.

【典例10】如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于________．

【答案】　

【解析】如解图，连接OC，∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝.∴的长为＝.

【典例11】如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】2－π　

【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝，∴S△AOB＝×2×＝，∴扇形的面积为＝，∴阴影部分的面积为2×(－)＝2－π.

【典例12】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】 π－　

【解析】如解图，连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四边形CGDH＝S△ABC＝××2×1＝，∴S阴影＝S扇形FDE－S四边形CGDH＝－＝π－.

【典例13】如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为________；若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为________．

【答案】π；　

【解析】∵S扇形＝＝，∴当扇形半径越大时，S扇形越大，如解图，连接AB，当AB为圆的直径时，扇形半径最大．∵圆的半径为，∴AB＝2.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形．∴AC＝AB＝2.∴S扇形ACB＝＝π；设这个圆锥底面半径为r，根据题意可得l＝2πr，又∵l＝＝π，∴2πr＝π，解得r＝.则圆锥底面半径为.

【典例14】如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.

(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．

【答案】解：(1)直线DC与⊙O相切．

理由：如解图①，连接OC，

∵＝，∴∠EAC＝∠OAC，

∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠ACO＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线DC与⊙O相切；

(2)如解图②，连接OC、OE、EC，过点C作CH⊥AB于点H，

②

∵CH⊥AB，CD⊥AE，

∴∠ADC＝∠AHC＝90°，

∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，

∴△ADC≌△AHC(AAS)，

∴CH＝CD＝，AH＝AD，

∵AB＝4，且AB为直径，

∴OC＝OB＝2，

又∵CH⊥OB，

∴sin∠COH＝＝，

∴∠COH＝60°，

∴∠EOC＝∠COH＝60°，

∴∠OED＝120°，

∵OE＝OC，

∴△OEC为等边三角形，

∴∠EOC＝60°，

∴∠DAC＝30°，

又∵DAC＝30°，

又∵CD＝，∴AD＝3，

∵＝，

∴∠BOC＝∠OCE＝60°，

∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.

∴S阴影＝S△ADC－S扇形OEC＝×3×－＝－.

【典例15】如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．

（1）求的度数；

（2）若，求圆的半径．

【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．

【解析】

【分析】

（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；

（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．

【详解】

（1）如图，连接OA

设

，

AE是圆O的切线

，即

在中，由三角形的内角和定理得：

即

解得

则由圆周角定理得：

故的度数为；

（2）如图，连接AD

设圆O的半径为，则

BD是圆O的直径

由（1）可知，

则在中，

在中，由勾股定理得：，即

解得或（不符题意，舍去）

则圆O的半径为2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．

【典例16】已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点．

(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC；

(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)证明：图1中，连接OC，OD.

∵AM和BN是⊙O的两条切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.

∴∠ADE＋∠BCE＝180°.

∵DC与⊙O相切于点E，

∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE.

∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.

∴∠AOD＋∠BOC＝90°.

∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.

∵∠DAO＝∠OBC＝90°，

∴△AOD∽△BCO.∴＝.

∵OA＝OB＝AB，∴＝AD·BC.

∴AB2＝4AD·BC；

(2)解：图2中，连接OD，OC.

∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC.

∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，

∴∠OFC＝∠FOC.

∴CF＝OC.∴CD垂直平分OF.∴OD＝DF.

∴∠CDO＝∠CDF.

∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，

∴∠ODA＝∠BOC＝60°.∴∠BOE＝120°.

在Rt△DAO中，AD＝OA.

在Rt△BOC中，BC＝OB.

∴AD∶BC＝1∶3.

∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝.

∴图中阴影部分的面积为2S△BOC－S扇形BOE＝2×××3－＝3－π.

【典例17】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.

(1)求证：∠BAD＝∠CBD；

(2)若∠AEB＝125°，求的长(结果保留π).

【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD.

∵∠CAD＝∠CBD，

∴∠BAD＝∠CBD；

(2)解：连接OD.

∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.

∴∠CAE＝35°.∴∠BAD＝∠CAE＝35°.

∴∠BOD＝2∠BAD＝70°.

∴的长为＝.