类型四 抛物线型问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型四抛物线形问题

【典例1】已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.

（1）求、的值；

（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；

（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.

【答案】：（1） （2）（3）（4,8）

【解析】：（1） ∵直线的经过点

∴

∴

∵直线的经过点

∴

∴

       （2）由可知点的坐标为

            ∵抛物线经过点、

            ∴

∴，

∴抛物线的表达式为

∴抛物线的顶点坐标为

∴,,

∴

∴

∴

∴ 

（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴

     ∵,

∴△∽△

∴

∵直线与轴的交点为点

∴点的坐标为,

又，

∴，

∵

∴,

∵∥轴

∴

∴

∴

即点的纵坐标是

又点在直线上

点的坐标为

【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）联结AD、DC，求的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或

【解析】：（1）  点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上

∴，解得                                

∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）       

（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4）  ∴，，

∴  ∴                               

∴                             

（3）∵，，

∴△CAD∽△AOB，∴

∵OA=OC，   ∴

∴，即            

若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形

则也为锐角三角形，点P在第四象限

由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）

过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，

①当时,由得，

∴，解得，  ∴                             

②当时,由得，

∴，解得，∴                                

综上得或

【典例3】已知抛物线经过点、、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；

（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．

【答案】：（1）解得 

（2）

（3）点的坐标为或

【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得

解得 

所以，这个二次函数的【解析】式为 

（2）∵（,）、（，）、（,）

     ∴，，

∴

∴     

∴ 

（3）过点P作，垂足为H

设，则

∵（,）

∴，

∵

∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：

①    则

即  ∴     解得    

∴点的坐标为   

②    则

即  ∴     解得 

∴点的坐标为 

【典例4】已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.

（1）求此抛物线的表达式；

（2）求△ABD的面积；

（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴

右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相

似，求点P的坐标.

【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），.

【解析】：（1）由题意得：，       解得：，

所以抛物线的表达式为. 

（2）由（1）得D（2，﹣1），

作DT⊥y轴于点T,

  则△ABD的面积=.

（3）令P.

由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，

所以或，

解得：或，

所以点P的坐标为（5,8），.

【典例5】平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），

与y轴相交于点C，顶点为P．                                              

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；                                                

（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，

求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为

直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线

上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．

【答案】：（1）P的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点E的坐标为（5，8）

【解析】：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），

　　　　∴，解得：，．

        ∴这条抛物线的表达式是

顶点P的坐标是（2，-1）．

　（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．

根据题意得： ，解得：m=2，

∴点E的坐标为（2，2）．

（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．

作QD⊥MN，垂足为D，

则，

∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，

∴，∴，

解得（不合题意，舍去），．

∴，点E的坐标为（5，8）．

解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，

∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，

又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，

点Q是所求的点，设点Q的坐标为，

作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，

∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，

解得（不合题意，舍去），．

∴，点E的坐标为（5，8）．

【典例6】在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．

（1） 求这条抛物线的表达式；

（2） 求四边形ABCM的面积；

（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，

且AD//BC，求点D的坐标．

【答案】：（1）抛物线的表达式：  

（2）3（3）  点D的坐标

【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． 

点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴，

将C（9，-3）代入，得

∴抛物线的表达式：       

（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）

又∵MA=MC，即

∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3）

∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，,

AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3

∴ 

(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得

，解得

由题意得，∵AD//BC, ∴ ，

又∵AD过（0,0），DC=AB=8，

设D(x,-3x)  ,

解得(不合题意，舍去)，  

∴∴点D的坐标．

【典例7】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于

点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）求证：∠DAB=∠ACB；

（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为

底的等腰三角形，求Q点的坐标．

【答案】：（1）顶点坐标D（－1，4）．（2）

（3）点Q的坐标是，

【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，

得，解得．

∴抛物线的解析式是：．

∴顶点坐标D（－1，4）．

（2）令，则，，，∴A（－3，0）

∴，∴∠CAO=∠OCA．

在中，．

∵，，，

∴，；

∴，是直角三角形且，

∴，

又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．

∴，

即．

（3）令，且满足，,0)，，4）

∵是以AD为底的等腰三角形，

∴，即，                                                           

化简得：．

由，

解得，．

∴点Q的坐标是，．

【典例8】如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．

（1）求和的值；

（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．

【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或

【解析】：

（1） 由直线经过点，可得.

由抛物线的对称轴是直线，可得.

（2） ∵直线与轴、轴分别相交于点、，

∴点的坐标是，点的坐标是.

∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是.

∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.

∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，

∴△BCG与△相似有两种可能情况：

①如果，那么，解得，∴点的坐标是.

②如果，那么，解得，∴点的坐标是.

综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．

（3）点的坐标是或.

【典例9】已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点

A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；

（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．

．

【答案】：（1）抛物线的解析式为    

（2）12（3）有，，），．

【解析】：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴．

将A（3，0）代入，得，

解得，．

∴抛物线的解析式为．

（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．

∵=，∴C（2，）

∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，

∴．

∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），

∴． 

∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，

∴．

（3）联结CE.

∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，

即 .

（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，

设点，在中，，

即 ，解得 ，∴点

同理，得点

（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点

、，可得 ，得点、

综上所述：满足条件的点有，，），．

【典例10】如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；

（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．

【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x

（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐标为（）

【解析】：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）

∴   

解得：  

∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；

（2）∵点P 的横坐标为m，

∴P 的纵坐标为：m2-2m

令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N

∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，

∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1

由得∴ BM=m-2

∵ 点C的坐标为（1，），

∴ BC= m-2+1=m-1

（3）令P(t，t2-2t)

△ABP的面积等于△ABC的面积

∴AC=AP

过点P作PQ⊥BC交BC于点Q

∴CM=MQ=1

∴t2-2t=1     

∴（舍去）

∴ P的坐标为（）