类型五 图形面积问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型五图形面积问题

【典例1】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

【答案】：宽6米，长10米

【解析】：设花圃的宽为米，面积为平方米

则长为：(米)

则：

∵

∴

∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，

∴当时，(平方米)

答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

【典例2】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

【答案】：（1）四边形EFGH是正方形

（2）当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

【解析】：(1) 四边形EFGH是正方形．

图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点

按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，

故CE=CF =CG．

∴△CEF是等腰直角三角形

因此四边形EFGH是正方形．　                

     (2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元

那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．

答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

【典例3】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．

(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

【答案】：（1）y=（2）187.5

【解析】：

∵

∴

∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，

∴当时，

(平方米)

答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

【典例4】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

【答案】：（1）25（2）25

【解析】：(1)∵长为x米，则宽为米，设面积为平方米．

∴当时，(平方米)

即：鸡场的长度为25米时，面积最大．

(2) 中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米．

则：

∴当时，(平方米)

由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．

即：使面积最大的值与中间有多少道隔墙无关．

【典例5】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．

（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？

【答案】：（1） （2）15,225

【解析】：（1）根据题意，得

自变量的取值范围是

（2）∵，∴有最大值

当时，

答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．

【典例6】如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面积为cm2

【解析】：（1）设正方形的边长为cm，

则．

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

则与的函数关系式为：

．

即．

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，

长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．

若按图1所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：

即．

当时，．

若按图2所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

【典例7】某中学为初一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)

 【答案】解：根据题意，得y＝20x(－x)，整理得

y＝－20x2＋1800x＝－20(x2－90x＋2025)＋40500＝－20(x－45)2＝40500.

∵－20＜0，∴当x＝45时，函数有最大值，y最大值＝40500，

即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3.

【典例8】 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？

(参考公式：当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最小(大)值)

【答案】解: (1)S＝x·(40－x)＝－x2＋20x；

(2)S＝－x2＋20x＝－(x2－40x)＝－[x2－40x＋(－20)2－(－20)2]＝－[(x－20)2－400]＝－(x－20)2＋200.∵a＝－＜0，∴抛物线的开口向下，

∴当x＝20时，S最大值＝200，

即当x＝20时，这个三角形的面积S最大，最大面积为200cm2.

【典例9】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．

(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

【答案】解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，∴当x＝25时，占地面积最大，即饲养室长x为25m时，占地面积y最大；

(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积最大，即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．

【典例10】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.

(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；

(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

【答案】解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.又∵AD＝8－2x，AB＝8，

AE＝y，AC＝6，∴＝，∴y＝－x＋6，自变量x的取值范围为0≤x≤4；　

(2)S＝BD·AE＝·2x·y＝－x2＋6x；

(3)S＝－x2＋6x＝－(x－2)2＋6.∴当x＝2时，S有最大值，且最大值为6.

【典例11】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．

设点P的纵坐标为m．

①当在内部时，求m的取值范围；

②是否存在点P，使,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】；（2）①；②存在，满足m的值为或．

【解析】

【分析】

（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值．

【详解】

解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE，

∴△AOD≌△BOE，

∴AD=BE，OD=OE，

∵顶点A为（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴点B的坐标为（3，），

设抛物线的解析式为，

把点B代入，得

，

∴，

∴抛物线的解析式为，

即；

（2）①∵P是线段AC上一动点，

∴，

∵当在内部时，

当点恰好与点C重合时，如图：

∵点B为（3，），

∴直线OB的解析式为，

令，则，

∴点C的坐标为（1，），

∴AC=，

∵P为AC的中点，

∴AP=，

∴，

∴m的取值范围是；

②当点M在线段OA上，点N在AB上时，如图：

∵点P在线段AC上，则点P为（1，m），

∵点与点A关于MN对称，则点的坐标为（1，2m3），

∴，，

设直接OA为，直线AB为，

分别把点A，点B代入计算，得

直接OA为；直线AB为，

令，

则点M的横坐标为，点N的横坐标为，

∴；

∵；

；

又∵，

∴，

解得：或（舍去）；

当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图：

把代入，则，

∴，，

∴，

，

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

综合上述，m的值为：或．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．