江苏省昆山市柏庐高级中学、周市高级中学2020-2021学年高二下学期第二次阶段检测数学试题+答案

昆山市柏庐高级中学2020-2021学年度第二学期高二年级

第二次阶段检测

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ）

A． B．

C． D．

答案：A

2. 展开式的常数项为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果．

【详解】展开式的通项公式为，

当，即时，常数项为：，

故答案选D．

3. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为(　　)

A.0.7   B.0.4   C.0.6   D.0.3

答案　C

4. 已知函数f（x）＝4x﹣3ln|x|，则f（x）的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

答案：A

5. 某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（    ）

A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1

【答案】D

6．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A．， B．， C． D．

答案：D

7. 定义在R上的函数满足及,且在上有,则                                        (　　)

A.               B.               C.         D.

答案：D

解析: (1)因为函数f(x)的定义域是R,,所以函数f(x)是奇函数.又,所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x),所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x),故函数f(x)是以4为周期的奇函数,所以.因为在上有,所以,故,  故选D.

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为　　

A． B．， C．，， D．，0，

答案：C

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分）

9. 已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有

A.             B.
C. 若，则          D. 若，，则

【答案】AD

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 对于独立性检验，的观测值越大，判定“两变量有关系”的把握越大

B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1

C. 随机变量，若，，则

D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，

【答案】AD

11．下列函数中，是奇函数或者增函数的是　　

A． B． 

C． D．

答案：

解：根据题意，依次分析选项：

对于，，，其定义域为，不是奇函数，

设，则，在区间上，为增函数，且，在区间，为减函数，

则在区间上是减函数，不符合题意；

对于，，在区间上是增函数，符合题意，

对于，，其定义域为，，是偶函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意，

对于，，有，解可得或，函数的定义域为或，

有，函数为奇函数，符合题意，

故选：．

12．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（    ）

A．  B．  C．  D．

答案 CD

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知，则________.

答案：

14. 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有_______种涂法

【答案】72

先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，然后给、面；给面，分与相同色、与不同色，利用乘法原理可得结论．

【详解】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，

然后给面涂色，有3种；给面涂色，有2种；

给面，若与相同色，则面可以涂2种；若与不同色，则面可以涂1种，

所以共有．

故答案为：72．

15. 已知，得______.若，则______.

【答案】    (1). 1    (2).

利用赋值法解决即可.

【详解】令可得

令可得

令可得

因为

所以，，结合可解得

故答案为：1；.

16. 函数的递增区间为            ；若，则函数零点的取值范围是             .

答案       

四、解答题本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.  已知．
解不等式；       求的最小值．

【答案】 解：由可得，
故可得，，
即，解得或，         ___________2分
又，或，         ___________4分
故的解集；         ___________5分
由可得，                 
由基本不等式可得，，_____7分
，
当且仅当，即时取等号，          __________9分
因此函数取得最小值8．                  __________10分
 

18. 已知的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行

(1)求a的值；  

（2）若关于x的方程在[1，3]上有两个不相等的实数根，求m的范围．

解：（1）由f（x）＝ln（x+1）﹣ax，得，       __________1分

∵函数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行，

∴，                                  
 

∴．          __________4分

（2）由（1）知，f（x）＝ln（x+1）﹣x，

∴由，得m＝3ln（x+1）﹣x，      __________5分

令 g（x）＝3ln（x+1）﹣x，则 ，

∴当1≤x＜2时，g'（x）＞0；

当2＜x≤3时，g'（x）＜0，又g'（2）＝0，        

∴g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，

∴g（x）max＝g（2）＝3ln3﹣2，                __________8分

∵g（1）＝3ln2﹣1，g（3）＝3ln4﹣3，         __________9分

∴g（1）﹣g（3）＝（3ln2﹣1）﹣（3ln4﹣3）＝2﹣3ln2，

由，得g（1）﹣g（3）＜0，g（1）＜g（3），_______11分

∴m的取值范围为[3ln4﹣3，3ln3﹣2）．     __________12分
 

19. 已知函数，且的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）解关于x的不等式，；

（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.

解析： （1）因为的解集为，

所以的根为，2，

所以，，即，；

所以；                       __________2分
 

（2），化简有，整理，

所以当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，__________6分
综上总结：                                 __________7分

（3）因为时，

根据二次函数的图像性质，有，

则有，所以，，  __________9分

因为对于任意的都有，

即求，转化为，_______10分

而，，   

所以此时可得，                   __________11分

所以M的最小值为.                  __________12分

20．（2020·江苏常州市·高二期中）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本）

（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【详解】

（1）              当时，

； _____2分
 

当时，

；_____4分
 

所以.     __________5分

（2）当时，，

当时，；      __________7分
 

当时，.

（当且仅当即时，“＝”成立）         __________10分

因为

所以，当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，

且最大利润为1600万元.                     __________11分

答：（1）2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为.

（2）              当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，

且最大利润为1600万元.                                     ______12分

21. 某大学为了解数学专业研究生招生情况，对近五年的报考人数进行统计，得到如下数据：

（1）求y关于x的线性回归方程，并预测2020年（按x＝6计算）的报考人数；

（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（μ，σ2）.根据往年统计数据，μ＝385，σ2＝225. 录取总分在400分以上的人，请预测2020年该专业录取的-人数（最后结果四舍五入，保留整数）．

参考公式：，其中．

参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，

P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544， P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．

解：（1）                ————1分

               ————2分

，                ________3分

         ________4分
 

       ________5分

∴y关于x 的线性回归方程为．       ________7分

当2020年即时，人

即预测2020年的报考人数为208人；                   ________8分

（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布N（385，152），

则                            ________9分

P（X＞400）＝．                  ________11分

直接录取人数为208×0.1587＝33.01≈33人．       ________12分

22. 已知函数．

（1）证明: 递增；      

（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的范围．

解：（1）∵

∴           ————1分

令

则                      ————3分

当时，，在上单调递增，

且．                                      

∴当时，，即．           ————5分

∴在上单调递增；

（2）∵λ＞0，x＞1时，lnx＞0，

∴不等式f（）lnx≥x2﹣1可化为f（）≥，即f（）≥f（x）.

∵∈（1，+∞），由（1）知，f（x）在（1，+∞）上单调递增，

故只需≥x在（1，+∞）上恒成立．                        ————6分

两边同时取自然对数，得λx≥lnx，即恒成立．

令（x＞1），                                  

则，                                       ————9分

当x∈（1，e）时，，单调递增，

当x∈（e，+∞）时，，单调递减．

∴最大值为，                                     ————11分

故λ的取值范围是[，+∞）．                           ————12分