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初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试综合训练题
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这是一份初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试综合训练题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对
2．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边
B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．相等的角是对顶角
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
6．下列命题正确的个数是（ ）
①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．
③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．
A．1B．2C．3D．4
7．下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1个B．2个C．3个D．4个
8．图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（ ）
A．18B．20C．25D．27
9．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
②若a＞0，则＝a；
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒
二、填空题（共7小题）
12．命题“相等的角是对顶角”是 命题（填“真”或“假”）．
13．设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
14．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 ．
15．命题“对顶角相等”的“条件”是 ．
16．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是 ，破译“正做数学”的真实意思是 ．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
18．有下列4个命题：
①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，若点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1．
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是 ．
三、解答题（共2小题）
19．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
20．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
答案
一、选择题（共11小题）
1．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
2．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据三角形的面积，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，圆与圆的位置关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2），正确；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1≤d≤7，故本小题错误．
综上所述，正确的是①③．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据位似图形的定义、等腰梯形的性质、正方形的判定、两直线的位置关系分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确；
B、等腰梯形既是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；
C、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相垂直，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边
B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．相等的角是对顶角
【考点】O1：命题与定理．
【分析】利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；
B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；
D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可．
【解答】解：A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；
B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；
C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键．
6．下列命题正确的个数是（ ）
①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．
③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．
A．1B．2C．3D．4
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
【解答】解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．
③根据反比例函数（m为常数）的增减性得出m＜0，故一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
，此选项正确；
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有y＝3，y＝x2是偶函数，原命题正确，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
7．下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
【解答】解：①对顶角相等正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等正确，是真命题；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形应该是相似，而不是全等，原命题错误，是假命题；
④有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
8．图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（ ）
A．18B．20C．25D．27
【考点】O2：推理与论证．
【分析】根据洗牌的规则得出洗牌的变化规律，进而根据各选项分析得出即可．
【解答】解：设5张牌分别为：1，2，3，A，B；第1次洗牌后变为：1，A，2，B，3；
第2次洗牌后变为：1，B，A，3，2；
第3次洗牌后变为：1，3，B，2，A；
第4次洗牌后变为：1，2，3，A，B；
故每洗牌4次，其颜色顺序会再次与图（①）相同，
故洗牌次数可能的数为4的倍数，选项中只有20符合要求．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出洗牌的变化规律是解题关键．
9．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据三角形的内切圆的定义、多边形内角和公式、菱形的性质和平行四边形的性质，对每一项分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确；
（2）根据题意得：（n﹣2）•180＝360，
解得n＝4．
则四边形的内角和与外角和相等正确；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
②若a＞0，则＝a；
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据矩形的判定以及圆周角定理、不等式的性质和二次根式的性质分别判断得出即可．
【解答】解：①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；原命题与逆命题都是真命题；
②若a＞0，则＝a；逆命题：若＝a，则a＞0，是假命题，故此选项错误；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；原命题是假命题，故此选项错误；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，逆命题：相等的圆心角所对的弧相等，是假命题，故此选项错误，
故原命题与逆命题均为真命题的个数是1个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形、圆周角定理、二次根式、不等式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
11．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间，得出符合题意答案．
【解答】解：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，
∴两车的速度为：＝（m/s），
∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：＝96（s），＝120（s），＝168（s），
∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵＝1，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A错误；
∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵＝3，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B错误；
∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵＝5，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C错误；
∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵＝2，＝6，＝10，＝4，＝8，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D正确；
则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．
故选：D．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而由选项分析是解题关键．
二、填空题（共7小题）
12．命题“相等的角是对顶角”是 假 命题（填“真”或“假”）．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
【解答】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
13．设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【考点】K3：三角形的面积；K5：三角形的重心；O1：命题与定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】对于结论①②，根据图形周长、面积的连续性变化，判定其为真命题；
对于结论③，举出反例判定其为假命题；
对于结论④，构造一个满足条件的点Q出来，判定其为真命题．
【解答】解：结论①正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的周长分别为C1，C2（C1，C2中不含线段DE）．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，周长由C1＜C2（或C1＞C2）的情形，逐渐变为C1＞C2（或C1＜C2）的情形．在此过程中，一定存在C1＝C2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的周长．故结论①正确；
结论②正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的面积分别为S1，S2．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形．在此过程中，一定存在S1＝S2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的面积．故结论②正确；
结论③错误．理由如下：
如答图2所示，AD、BE、CF为三边的中线，则AD、BE、CF分别平分△ABC的面积，而三条中线交于重心G，则经过重心G至多有三条直线可以平分△ABC的面积．故结论③错误；
结论④正确．理由如下：
如答图3所示，AD为△ABC的中线，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，且＝，MN与AD交于点Q．
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝，即MN平分△ABC的面积．
又∵AD为中线，
∴过点Q的两条直线AD、MN将△ABC的面积四等分．
故结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题真假的判断，难度很大．解题关键是正确理解题干各命题中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，对于结论①②，我们只需要判定其存在性的真假即可，不需要严格作出几何图形来验证（结论①②的几何作图超出了新课标的范围，仅供学有余力的同学研究）．
14．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 BABBA ．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．
【解答】解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．
第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；
第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；
则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．
总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．
故答案是：BABBA．
【点评】本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．
15．命题“对顶角相等”的“条件”是 两个角是对顶角 ．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角，结论是这两个角相等．
【解答】解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角．
故答案为：两个角是对顶角．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设与结论组成，两个互换题设与结论的命题称为互逆命题．
16．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是 x+1，y+2 ，破译“正做数学”的真实意思是 祝你成功 ．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据坐标中文字位置得出“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），进而得出密码钥匙，即可得出“正做数学”的真实意思．
【解答】解：∵已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．
“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），
∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，
∴“正”的位置为（4，2）对应字母位置是（5，4）即为“祝”，
“做”的位置为（5，6）对应字母位置是（6，8）即为“你”，
“数”的位置为（7，2）对应字母位置是（8，4）即为“成”，
“学”的位置为（2，4）对应字母位置是（3，6）即为“功”，
∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．
故答案为：x+1，y+2；祝你成功．
【点评】此题主要考查了推理论证，根据已知得出“今”对应文字位置是：（x+1，y+2）进而得出密码钥匙是解题关键．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
18．有下列4个命题：
①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，若点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1．
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是 ①②③④ ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，进而得出xy＝k的值，即可得出答案；
④根据1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，即x＝1，x＝﹣1时得出y的取值范围，画出图象即可得出较大的实数根的取值范围．
【解答】解：①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和，此命题正确；
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
由题意得出：CD 2＝AD×BD，故此命题正确；
③∵点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，
∴（x+1）2+（y﹣1）2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
∴xy＝﹣1，
故点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1此命题正确；
④∵实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，
∴y＝x2+bx+c的图象如图所示，
∴关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1，故此选项正确．
故答案为：①②③④．
【点评】此题主要考查了射影定理即二次函数图象与一元二次方程以及一元二次方程的解法和反比例函数的性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．
三、解答题（共2小题）
19．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
【考点】O2：推理与论证．
【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
20．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【考点】O2：推理与论证．
【分析】根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A队可能的得分情况是关键．题号
答案
选手
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
题号
答案
选手
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
1．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对
2．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边
B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．相等的角是对顶角
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
6．下列命题正确的个数是（ ）
①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．
③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．
A．1B．2C．3D．4
7．下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1个B．2个C．3个D．4个
8．图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（ ）
A．18B．20C．25D．27
9．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
②若a＞0，则＝a；
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒
二、填空题（共7小题）
12．命题“相等的角是对顶角”是 命题（填“真”或“假”）．
13．设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
14．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 ．
15．命题“对顶角相等”的“条件”是 ．
16．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是 ，破译“正做数学”的真实意思是 ．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
18．有下列4个命题：
①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，若点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1．
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是 ．
三、解答题（共2小题）
19．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
20．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
答案
一、选择题（共11小题）
1．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
2．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据三角形的面积，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，圆与圆的位置关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；
③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2），正确；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1≤d≤7，故本小题错误．
综上所述，正确的是①③．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据位似图形的定义、等腰梯形的性质、正方形的判定、两直线的位置关系分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确；
B、等腰梯形既是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；
C、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相垂直，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边
B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．相等的角是对顶角
【考点】O1：命题与定理．
【分析】利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；
B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；
D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可．
【解答】解：A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；
B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；
C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键．
6．下列命题正确的个数是（ ）
①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．
③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．
A．1B．2C．3D．4
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
【解答】解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．
③根据反比例函数（m为常数）的增减性得出m＜0，故一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
，此选项正确；
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有y＝3，y＝x2是偶函数，原命题正确，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
7．下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
【解答】解：①对顶角相等正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等正确，是真命题；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形应该是相似，而不是全等，原命题错误，是假命题；
④有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
8．图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（ ）
A．18B．20C．25D．27
【考点】O2：推理与论证．
【分析】根据洗牌的规则得出洗牌的变化规律，进而根据各选项分析得出即可．
【解答】解：设5张牌分别为：1，2，3，A，B；第1次洗牌后变为：1，A，2，B，3；
第2次洗牌后变为：1，B，A，3，2；
第3次洗牌后变为：1，3，B，2，A；
第4次洗牌后变为：1，2，3，A，B；
故每洗牌4次，其颜色顺序会再次与图（①）相同，
故洗牌次数可能的数为4的倍数，选项中只有20符合要求．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出洗牌的变化规律是解题关键．
9．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据三角形的内切圆的定义、多边形内角和公式、菱形的性质和平行四边形的性质，对每一项分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确；
（2）根据题意得：（n﹣2）•180＝360，
解得n＝4．
则四边形的内角和与外角和相等正确；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
②若a＞0，则＝a；
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据矩形的判定以及圆周角定理、不等式的性质和二次根式的性质分别判断得出即可．
【解答】解：①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；原命题与逆命题都是真命题；
②若a＞0，则＝a；逆命题：若＝a，则a＞0，是假命题，故此选项错误；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；原命题是假命题，故此选项错误；
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，逆命题：相等的圆心角所对的弧相等，是假命题，故此选项错误，
故原命题与逆命题均为真命题的个数是1个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形、圆周角定理、二次根式、不等式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
11．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间，得出符合题意答案．
【解答】解：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，
∴两车的速度为：＝（m/s），
∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：＝96（s），＝120（s），＝168（s），
∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵＝1，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A错误；
∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵＝3，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B错误；
∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵＝5，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C错误；
∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵＝2，＝6，＝10，＝4，＝8，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D正确；
则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．
故选：D．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而由选项分析是解题关键．
二、填空题（共7小题）
12．命题“相等的角是对顶角”是 假 命题（填“真”或“假”）．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
【解答】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
13．设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【考点】K3：三角形的面积；K5：三角形的重心；O1：命题与定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】对于结论①②，根据图形周长、面积的连续性变化，判定其为真命题；
对于结论③，举出反例判定其为假命题；
对于结论④，构造一个满足条件的点Q出来，判定其为真命题．
【解答】解：结论①正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的周长分别为C1，C2（C1，C2中不含线段DE）．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，周长由C1＜C2（或C1＞C2）的情形，逐渐变为C1＞C2（或C1＜C2）的情形．在此过程中，一定存在C1＝C2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的周长．故结论①正确；
结论②正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的面积分别为S1，S2．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形．在此过程中，一定存在S1＝S2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的面积．故结论②正确；
结论③错误．理由如下：
如答图2所示，AD、BE、CF为三边的中线，则AD、BE、CF分别平分△ABC的面积，而三条中线交于重心G，则经过重心G至多有三条直线可以平分△ABC的面积．故结论③错误；
结论④正确．理由如下：
如答图3所示，AD为△ABC的中线，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，且＝，MN与AD交于点Q．
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝，即MN平分△ABC的面积．
又∵AD为中线，
∴过点Q的两条直线AD、MN将△ABC的面积四等分．
故结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题真假的判断，难度很大．解题关键是正确理解题干各命题中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，对于结论①②，我们只需要判定其存在性的真假即可，不需要严格作出几何图形来验证（结论①②的几何作图超出了新课标的范围，仅供学有余力的同学研究）．
14．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 BABBA ．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．
【解答】解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．
第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；
第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；
则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．
总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．
故答案是：BABBA．
【点评】本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．
15．命题“对顶角相等”的“条件”是 两个角是对顶角 ．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角，结论是这两个角相等．
【解答】解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角．
故答案为：两个角是对顶角．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设与结论组成，两个互换题设与结论的命题称为互逆命题．
16．如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是 x+1，y+2 ，破译“正做数学”的真实意思是 祝你成功 ．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据坐标中文字位置得出“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），进而得出密码钥匙，即可得出“正做数学”的真实意思．
【解答】解：∵已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．
“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），
∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，
∴“正”的位置为（4，2）对应字母位置是（5，4）即为“祝”，
“做”的位置为（5，6）对应字母位置是（6，8）即为“你”，
“数”的位置为（7，2）对应字母位置是（8，4）即为“成”，
“学”的位置为（2，4）对应字母位置是（3，6）即为“功”，
∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．
故答案为：x+1，y+2；祝你成功．
【点评】此题主要考查了推理论证，根据已知得出“今”对应文字位置是：（x+1，y+2）进而得出密码钥匙是解题关键．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【考点】O2：推理与论证．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
18．有下列4个命题：
①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，若点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1．
④若实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，则关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1．
上述4个命题中，真命题的序号是 ①②③④ ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，进而得出xy＝k的值，即可得出答案；
④根据1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，即x＝1，x＝﹣1时得出y的取值范围，画出图象即可得出较大的实数根的取值范围．
【解答】解：①方程x2﹣（+）x+＝0的根是和，此命题正确；
②在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝4，BD＝，则CD＝3．
由题意得出：CD 2＝AD×BD，故此命题正确；
③∵点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2＝0，
∴（x+1）2+（y﹣1）2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
∴xy＝﹣1，
故点P也在y＝的图象上，则k＝﹣1此命题正确；
④∵实数b、c满足1+b+c＞0，1﹣b+c＜0，
∴y＝x2+bx+c的图象如图所示，
∴关于x的方程x2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x0满足﹣1＜x0＜1，故此选项正确．
故答案为：①②③④．
【点评】此题主要考查了射影定理即二次函数图象与一元二次方程以及一元二次方程的解法和反比例函数的性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．
三、解答题（共2小题）
19．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
【考点】O2：推理与论证．
【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
20．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【考点】O2：推理与论证．
【分析】根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A队可能的得分情况是关键．题号
答案
选手
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
题号
答案
选手
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
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