2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编08 计数原理

这是一份2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编08 计数原理，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·广东佛山市·石门中学模拟）(x2+2ax-a)5的展开式中各项的系数和为1024，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2021·广东茂名市·二模）的展开式中的系数为（ ）
A．15B．-15C．10D．-10
3．（2021·广东珠海市·二模）5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法
A．24B．48C．96D．12
4．（2021·广东广州市·三模）若的展开式中的系数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·广东汕头市·三模）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·广东广州市·二模）展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·广东模拟）的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·广东二模）某一次乒乓球赛的参赛队共有小组，每小组队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·广东湛江市·二模），则（ ）
A．49B．56C．59D．64
10．（2021·广东深圳市·一模）小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（ ）
A．6B．12C．24D．48
11．（2021·广东肇庆市·二模）二项式的展开式的常数项为60，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
12．（2021·广东广州市·一模）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30B．40C．44D．70
13．（2021·广东韶关市·一模）已知，则（ ）
A．B．10C．D．45
14．（2021·广东广州市·二模）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种B．60种C．72种D．96种
15．（2021·广东揭阳市·一模）中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·广东揭阳市·一模）某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．32种
17．（2021·广东汕头市·二模）根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ）
A．35种B．30种C．28种D．25种
二、多选题
18．（2021·广东茂名市·二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则（ ）
A．的展开式中的常数项是
B．的展开式中的各项系数之和为
C．的展开式中的二项式系数最大值是
D．，其中为虚数单位
19．（2021·广东梅州市·一模）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
A．此人有4种选课方式B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节D．自习可安排在4节课中的任一节
三、填空题
20．（2021·广东茂名市·二模）国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为_________________．
21．（2021·广东珠海市·二模）若的二项展开式中二项式系数最大项为，则___________.
22．（2021·广东佛山市·模拟）的展开式中的系数_______．
23．（2021·广东惠州市·一模）设为常数，若的展开式中所有项的系数和为1024，则___________.
24．（2021·广东深圳市·二模）设恒等式，则 ____________．
25．（2021·广东惠州市·二模）文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有______种.
26．（2021·广东梅州市·二模）二项式展开式中含项的系数为______________．
27．（2021·广东江门市·一模）已知展开式中，所有项的二项式系数之和为，则______________．（用数字作答）
28．（2021·广东潮州市·二模）根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为________.
29．（2021·广东湛江市·二模）现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______.
30．（2021·广东汕头市·二模）展开式的常数项为___________.
31．（2021·广东韶关市·一模）现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构，各负责一个产品，机构负责余下的三个产品，其中产品①不在机构测试的情况有___________种(结果用具体数字表示).
32．（2021·广东中山市·期末）二项式的展开式中的常数项为__________.
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编
08 计数原理（答案解析）
1．C
【分析】
赋值即可.
【解析】
赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数和为(a+1)5=1024，所以a=3.
故选：C
2．D
【分析】
根据二项展开式通项公式，解方程即可得解.
【解析】
，
令解得，
所以展开式中的系数为．
故选：D．
3．C
【分析】
先从4人中选1人与甲组成1组，再连同剩余3人分配到4个接种点即可求解.
【解析】
从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有种，
故共有
故选：C
4．B
【分析】
写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项可得出关于的等式，即可求得实数的值.
【解析】
，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
由可得，由题意可得，解得.
故选：B.
【小结】
方法小结：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解在相乘、求和即可.
5．C
【分析】
根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【解析】
解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
6．C
【分析】
由二项式定理可得展开式通项，分别令和求得的取值，代入即可得到展开式的常数项.
【解析】
展开式通项为：，
令，解得：；令，解得：，
展开式中的常数项为.
故选：C.
7．D
【分析】
根据二项式展开式的通项公式可求得选项.
【解析】
∵∴常数项是，
故选：D．
8．C
【分析】
利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数，再求出各小组的第一名单循环比赛次数即可求解.
【解析】
由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为，
各小组的第一名再进行单循环比赛次数为，
先后比赛的总次数为.
故选：C
9．C
【分析】
令，可得各项系数和.
【解析】
令，.
故选：C.
【小结】
求二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和问题关键是赋值法应用.若，则展开式中：
(1)各项系数之和为；
(2)；
(3).
10．B
【分析】
将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．
【解析】
将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，故所求的坐法种数为12，
故选：B．
11．C
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为60，列方程可求出的值
【解析】
，令，所以.
令，解得，
故选：C.
12．B
【分析】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.
【解析】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，
或是两偶一奇，共有，共有种方法.
故选：B
13．A
【分析】
由于，求出的通项，从而可求出的值
【解析】
，.
故选：A
14．A
【分析】
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【解析】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【小结】
思路小结：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
15．A
【分析】
依据古典概型的概念以及组合的知识简单计算可得结果.
【解析】
记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.
依题意得.
故选: A
.
16．D
【分析】
先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.
【解析】
因为学生只能从东门或西门进入校园，
所以3名学生进入校园的方式共种.
因为教师只可以从南门或北门进入校园，
所以2名教师进入校园的方式共有种.
所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有种情况.
故选：D
17．B
【分析】
首先算出名党员选名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况.
【解析】
从名党员选名去甲村共有种情况，名全是男性党员共有种情况，
名全是女性党员共有种情况，
名既有男性，又有女性共有种情况.
故选：B
【小结】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
18．BC
【分析】
设内切球的半径为，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得，进而得到；
对于A，利用二项式定理得到展开式通项，令可求得，代入得到常数项，知A错误；
对于B，采用赋值法，令可得各项系数和，知B正确；
对于C，由二项式系数性质知最大值为，知C正确；
对于D，根据复数的运算可知D错误.
【解析】
设内切球的半径为，则圆柱的高为，
，，则，；
对于A，展开式通项公式为：，
令，解得：，展开式的常数项为，A错误；
对于B，，即展开式的各项系数之和为，B正确；
对于C，展开式中二项式系数最大值为，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
【小结】
关键点小结：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解题关键是能够利用球和圆柱的表面积及体积公式确定二项展开式的表达式.
19．BD
【分析】
根据表格分类讨论即可得到结果.
【解析】
由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，
则地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，
则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
故选：BD.
20．540
【分析】
根据分步计数，计算安排A项目、B项目、C项目的选派方法数，应用乘法公式求总选派方法数.
【解析】
1、A项目选派方法数有种，
2、B项目选派方法数有种，
3、C项目选派方法数有种，
不同的选派方法种数为．
故答案为：
21．3
【分析】
先由二项式系数性质得出二项式系数最大项是第5项，再由通项写出第5项，比较可得.
【解析】
因为的二项展开式共有9项，所以二项式系数最大项是第5项.
，所以，又，所以.
故答案为：3.
22．
【分析】
写出展开式通项公式后确定所在项数，然后可得系数．
【解析】
展开式通项公式为，
令，得，
所以所求系数为．
故答案为：．
23．或3
【分析】
赋值方法，令，即可求解出的值.
【解析】
令，展开式中所有项的系数之和为，而
所以，，解得或.
故答案为：或.
24．
【分析】
利用的展开式进行求解即可；
【解析】
的展开式为：；
，的对应项为：；
，的对应项为：；
则有
故答案为：
【小结】
关键小结：先得出的展开式为：，然后找出和所对应的项；主要考察二项式的定理
25．185
【分析】
先求出从上述12个景区中选3个景区的总数，再求出全部不是传统红色旅游景区的选法的总数，即得解.
【解析】
由题得从上述12个景区中选3个景区，共有个结果，
由题得从上述12个景区中选3个景区，全部不是传统红色旅游景区的选法有，
所以至少含有1个传统红色旅游景区的选法有220-35=185种.
故答案为：185
【小结】
方法小结：排列组合的应用问题，常用的解法有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
26．540
【分析】
写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数.
【解析】
由题意，，，
展开式中的项的系数，
故答案为：540.
27．
【分析】
利用二项展开式系数和为可求得的值，令，利用赋值法可得的值.
【解析】
由已知条件可知二项式系数和为，可得，
令，则.
故答案为：.
28．36
【分析】
依题意可得只有1、1、2这种情况，再按照分步乘法计数原理计算可得；
【解析】
解：先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆绑后的专家分别派到3个县区，共有种分法，故总共有种派法.
故答案为：36
29．
【分析】
3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，求得总数，然后再求甲分到2个名额的数目即可.
【解析】
3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，则分配的总数为，
甲班恰好分配到两个名额，则余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，
所以甲班恰好分配到两个名额的概率为
故答案为：
30．
【分析】
根据二项式定理，对照其展开式，找到常数项即可.
【解析】
方法一：
当时，，其展开式的通项为，当时，其为常数项，即；当时，，同理可得常数项为.
方法二：
，
要得到常数项有以下方式：（1）5个式子都取相乘得；（2）5个式子取1个，余下的取1个，再余下的都取得；（3）5个式子取2个，余下的取2个，再余下的都取得，
所求常数项为.
故答案为：-252.
31．16
【分析】
分两类完成：产品1在B机构检测和产品1在C机构检测，利用分类加法原理求解.
【解析】
（1）若产品1在机构，则情况数为；
（2）若产品1在机构则情况数为，
由分类加法计数原理知总共种情况.
故答案为：16
32．15
【分析】
由该二项式的通项公式即可得出.
【解析】
由题意可得，通项为，令，得，
所以常数项为，
故答案为：.