人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（共两篇）



22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质一点就通

【知识回顾】

1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是________，对称轴是________，当a________时，开口向上，此时二次函数有最________值，当x________时，y随x的增大而增大，当x________时，y随x的增大而减小；当a________时，开口向下，此时二次函数有最________值，当x________时，y随x的增大而增大，当x________时，y随x的增大而减小．

2．用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则h＝________，k＝________.则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是________________，对称轴是________，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a________时，函数y有最________值，当a________时，函数y有最________值．

【夯实基础】

1.若二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(   )

A．－3     B．－1  C．2       D．3

2.关于抛物线y＝x2－4x＋1，下列说法错误的是(   )

A．开口向上

B．与x轴有两个不同的交点

C．对称轴是直线x＝2

D．当x>2时，y随x的增大而减小

3.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（    ）

A.x=﹣4     

B.x=4       C.x=﹣2      D.x=2

4．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第______象限．

5.二次函数y＝4x2－mx＋2，当x____时，y随x的增大而减小；当x____时，y随x的增大而增大，则当x______时，y的______值为．

6.抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________．当x＝________时，函数y有最________值，其值为________．

7.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右平移3个单位，则所得抛物线的解析式是________．   

8.二次函数y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为________．   

9.已知抛物线y＝x2＋x－.

(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；

(2)函数有最大值或最小值？求最大或最小值；

(3)x取何值时，y随x的增大而减小？

(4)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴的交点为C，求S△ABC.

【提优特训】

1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是(   )

A．a<0        B．b>0         C．c>0      D．ac>0

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为(   )

A．0           B．－1          C．1          D．2

3.若A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（   ）

A.y1＜y2＜y3      B.y2＜y1＜y3       C.y3＜y2＜y1         D.y3＜y1＜y2

4.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过(   )

A.一、二、三象限     B.二、三、四象限  

C.一、三、四象限     D.一、二、三、四象限

5.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（   ）

A.a=5         B.a≥5         C.a＝3        D.a≥3

6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图K13－1所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是(   )

图K13－1

7.如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是_____．

1. 定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有________(填上所有正确答案的序号)．

①y＝2x；②y＝－x＋1；③y＝x2(x＞0)；④y＝－.

9.已知二次函数y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
 

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．   

【中考链接】

1.【兰州】点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(   )

A．y3>y2>y1       B．y3>y1＝y2

C．y1>y2>y3       D．y1＝y2>y3

2.(枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(   )

A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，0)

B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方

D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大

3.(菏泽)一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(   )

【参考答案】

【夯实基础答案】

1、D

2、D

3、C

4、四

5、<－2     >－2     ＝1   小   22

6、向下   x＝2    (2，－3)     2    大   －3

7、y=x2-10x+18． 

8、﹣1 

9、解：(1)∵y＝x2＋x－＝(x2＋2x)－＝(x2＋2x＋1－1)－＝(x2＋2x＋1)－－＝(x＋1)2－3，∴抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．

(2)当x＝－1时，y有最小值－3.

(3)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，

∴当x＜－1时，y随x的增大而减小．

(4)令y＝0，即x2＋x－＝0，

解得x1＝－1，x2＝－－1，∴AB＝2，

易知C点坐标为(0，－)，

∴S△ABC＝×2 ×＝.

【提优特训答案】

1、D

2、A

3、C

4、D

5、B

6、C（提示：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b＋c＞0，反比例函数图象在第一、三象限；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，即b＋c＜－a，因为a＞0，所以b＋c＜0，所以正比例函数图象过第二、四象限，故选C.）

7、－1

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）
（3）解：根据函数图象可知：x＜0或x＞3 

【中考链接答案】

1、D     2、D      3、A



知识点：

1、二次函数的对称轴为         ，顶点坐标为          ，它的最高（低）点在    点，当       时，它有最大（小）值，值为          。

2、在抛物线中，为抛物线与        交点的纵坐标。

当时，图象开口       ，有最     点，且      时，随的增大而增大，

      时，随的增大而减小；

当时，图象开口       ，有最     点，且      时，随的增大而增大，

      时，随的增大而减小；

3、抛物线可由抛物线进行左（右）、上（下）平移得到。

一、选择题：

1、抛物线的顶点坐标为（   ）

A、（－2,3）         B、（2,11）       C、（－2,7）       D、（2，－3）

2、若抛物线与轴交于点（0，－3），则下列说法不正确的是（   ）

A、抛物线开口方向向上               B、抛物线的对称轴是直线

C、当时，的最大值为－4       D、抛物线与轴的交点为（－1,0），（3,0）

3、要得到二次函数的图象，需将的图象（   ）

A、向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B、向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C、向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D、向右平移1个单位，再向下平移1个单位

4、在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（   ）

A、（－2,3）       B、（－1,4）         C、（1,4）         D、（4,3）

5、抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则、的值为（   ）

A、 B、 C、  D、

6、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（－1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（   ）

A．0＜t＜1     B．0＜t＜2     C．1＜t＜2        D．－1＜t＜1

7、已知二次函数的图象如图所示对称轴为x=．下列    结论中，正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

8、二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（    ）

二、填空题：

1、抛物线的开口方向向     ，对称轴是          ，最高点的坐标是

         ，函数值得最大值是       。

2、抛物线变为的形式，则=       。

3、抛物线的最高点为（－1，－3），则            。

4、若二次函数的图象经过点（－1,0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是             。

5、把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为，则=     。

6、在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2－4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是            。

7、抛物线（）的对称轴为直线,且经过点（—1，），（2，）

则试比较与的大小：     （填“>”“<”或“=”）。

8、已知二次函数y=x2－7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是             （用“<”连接）。

9、二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_________________。

10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（－1，0），（3，0）．对于下列命题：①b－2a=0；②abc＜0；③a－2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有                。

三、解答题：

1、已知抛物线的对称轴为，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。

2、如图，抛物线与轴交于点A、B，与轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3。（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求的面积。

3、如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；                                                                （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

4、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(－ 3，0)两点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

5、如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．

（1）求点与点的坐标；

（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．