高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时练习
展开一、单选题
1.若,下列不等式中成立的是( )
A.B.C.D.
2.函数在区间上递减,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3.若,则下列四个数中最小的数是( )
A.B.C.D.
4.已知是方程的两根,则( )
A.2B.3C.4D.5
5.某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力,他带的钱会差8元,如果购买5块方形和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力,则他会剩下多少钱( )
A.8元B.16元C.24元D.32元
6.若关于x的不等式的解集为R,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.若则函数的最大值为( )
A.1B.2C.4D.5
8.不等式的解集为( )
A.或B.
C.或D.
9.若一元二次不等式对一切实数x都成立,则k的取值范围是( )
A.B.C.D.
10.已知,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
11.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是( )
A.或B.
C.D.或
12.已知非零实数满足:,下列不等式中一定成立的有( )
①;
②;
③.
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
13.若,,则的最小值为______.
14.若关于x的不等式的解集是,则a=______.
15.设,且,则的最大值为_________.
16.已知,且,则的最大值为_____.
三、解答题
17.求下列不等式的解集:
(1)
(2)
18.已知不等式的解集为或.
(1)求;
(2)解不等式.
19.已知一元二次函数
(1)指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到;
(2)指出它的图象的对称轴,试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
20.设.
(1)当时,比较的大小;
(2)当时,比较的大小.
21.已知函数,.
(1)若函数在定义域内是单调函数,求的取值范围;
(2)求函数的最小值的表达式.
22.已知函数.
(1)求关于的不等式的解集;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案
1.C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若,
对于A,,所以,故A不成立;
对于B,,所以,故B不成立;
对于C,因为,,,故C成立;
对于D,由,所以,即,故D成立.
故选:C.
2.B
【分析】
根据二次函数的单调性列式可得结果.
【详解】
因为函数在区间上递减,
所以,即.
故选:B
【点睛】
关键点点睛:掌握二次函数的单调性是解题关键.
3.D
【分析】
根据可以推出、、都大于1,,故可得答案.
【详解】
因为,
所以,,,
,
所以四个数中最小的数是.
故选:D
【点睛】
关键点点睛:利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.
4.D
【分析】
由韦达定理的,,再根据即可求出.
【详解】
是方程的两根,
,,
故选:D.
5.D
【分析】
设方形巧克力每块x元,圆形巧克力每块y元,小明带了a元钱,根据题意得,解得8x=a-32,由此得解.
【详解】
设方形巧克力每块x元,圆形巧克力每块y元,小明带了a元钱,
则,
两式相加得8x+8y=2a,∴x+y=a,
∵5x+3y=a-8,∴2x+(3x+3y)=a-8,
∴2x+3×a=a-8,∴2x=a-8,∴8x=a-32,
即他只购买8块方形巧克力,则他会剩下32元,
故选:D.
6.D
【分析】
分别对和的情况进行讨论即可.
【详解】
当时,恒成立,符合题意;
当时,需满足且,得,
综上,.
故选:D.
7.A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为,所以,,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
故选:A
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
8.D
【分析】
先求对应方程的实数解,再写出不等式的解集.
【详解】
∵方程的实数解为、;
∴不等式的解集为.
故选:D.
9.A
【分析】
由解得结果即可得解.
【详解】
因为一元二次不等式对一切实数x都成立,
所以,解得.
故选:A
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题,属于基础题.
10.A
【分析】
由不等式的性质,推导出的取值范围.
【详解】
因为,
可得,
所以,
即;
故选:A.
11.A
【分析】
先利用一元不等式的解得到,再化简不等式得,即解得结果.
【详解】
不等式的解集是,故,则关于的不等式即,即,故解集是或.
故选:A.
12.B
【分析】
由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解.
【详解】
对于①,若,,则,故①错误;
对于②,由可得,故②正确;
对于③,因为,若,则,故③错误.
故选:B.
13.7
【分析】
根据题中条件,由,结合基本不等式,即可求出结果.
【详解】
因为,
所以,
当且仅当,即时,等号成立.
故答案为:7.
【点睛】
易错点睛:
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方
14.6
【分析】
由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根的关系,结合韦达定理即可求a的值.
【详解】
由题意知:的两个根分别为2,3,
∴,
故答案为:6.
【点睛】
本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数,属于基础题.
15.
【分析】
由基本不等式可得,验证等号成立即可得解.
【详解】
因为,且,
所以,
当且仅当即时,等号成立,
又,所以的最大值为.
故答案为:.
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1) “一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
16.
【分析】
将化为后,根据基本不等式可求得结果.
【详解】
因为,且,
所以,即,
当且仅当时,等号成立.
所以的最大值为.
故答案为:
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
17.(1);(2)
【分析】
(1)利用绝对值不等式的解法即可求解.
(2)利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】
(1)或,
解得或,所以不等式的解集为.
(2),
解得或,
所以不等式的解集为.
18.(1)a=1;(2)当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为
【分析】
(1)由已知可知或是方程的根,把根代入方程中可求出的值;
(2)由(1)可知不等不等式化为,然后分,和求解即可
【详解】
解:(1)因为不等式的解集为或,
所以或是方程的根,
所以,解得
(2)由(1)可知不等式化为,
即
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数,考查一元二次不等式的解法,属于基础题
19.(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【分析】
(1)利用左加右减的平移原则,即可得答案;
(2)由(1)可得对称轴及函数图象的变化趋势,及根据开口方向,可得函数的最值;
【详解】
(1)配方,得
所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度而得到.
(2)由(1)可知:该函数的图象开口向上,对称轴为直线;
在区间(,-2]上,函数值y随自变量x的增大而减小,
在区间上,函数值y随自变量x的增大而增大;
函数值y在处取得最小值3,即.
【点睛】
本题考查配方法求函数的对称轴、平移变换、最值,考查运算求解能力,属于基础题.
20.(1);(2)见解析
【分析】
(1)利用作差法比较的大小;(2),再对分类讨论得解.
【详解】
(1)当时,,
则,
所以.
(2),
①当时,,则;
②当时,,则;
③当时,,则.
【点睛】
本题主要考查比较实数大小,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21.(1) 或;(2) .
【分析】
(1)先求得函数对称轴,再根据在定义域内是单调函数求解.
(2)分,和三种情况讨论求解.
【详解】
(1)由题意知,函数对称轴为,
因为在定义域内是单调函数,
所以或.
(2)当时,此时函数在上单调递增,
当时,;
当时,此时函数在上先减再增,
则当时,;
当时,此时函数在上单调递减,
则当时,,
综上所述,.
22.(1)答案见解析;(2).
【分析】
(1)即,讨论和的大小即可求解集;
(2)不等式在区间有解,即,当时,不等式为不成立;当时,,求的最小值即可.
【详解】
(1)由得:,所以,
当时,解得;
当时,解得;
当时,解得;
综上所述,
当时,不等式的解集;
当时,不等式的解集;
当时,不等式的解集;
(2)存在,成立,
即当,成立,
当时,不等式为不成立,所以.
当时,,
即
当,
,
当且仅当即时,等号成立,
所以.
综上所述:
【点睛】
思路点睛:不等式有解问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式(是实参数)有解,将转化为或有解,进而转化为或,求的最值即可.
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