专题 五以圆为载体的动点问题

这是一份专题 五以圆为载体的动点问题，共7页。试卷主要包含了以圆为载体的动点问题等内容，欢迎下载使用。
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．
专题五、以圆为载体的动点问题

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

例1. 在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。

解： 以CQ为直径做半圆D。
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则
DM⊥AB，且AC＝AM＝5
∴
设，则
在中，，即

解得：，∴
即当且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形。
③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。
∴，当时，△CPQ可能为直角三角形。
例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？

分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。

解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E
∠B＝∠A＝90°
∴AD、BC为⊙O的切线
即AD＝DE，BC＝CE
∴AD＋BC＝CD
而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，
点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，
和是直径AB所对的圆周角，都为90°，
∴交点即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。

例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。

分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。
（1）当点P在△ABC外接圆外时，
如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC
又∠BDC＝∠BAC，
∴∠BPC＜∠BAC；
（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等，
∠BPC＝∠BAC；
（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，
又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。
综上，知当点P在△ABC外接圆外时，
∠BPC＜∠BAC；
当点P在△ABC外接圆上时，
∠BPC＝∠BAC；
当点P在△ABC外接圆内时，
∠BPC＞∠BAC。
专题六、中考数学热点专题突破训练――动点问题
动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.
例1 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.
（1）求S关于t的函数关系式；
（2）求S的最大值.
1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.
由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.
略解：由AP=2 ，∠A=60°得AE=1，EP= . 因此.

2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：
（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.
②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.

⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.
AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),
FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.
②当6＜t≤8时，
S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.
易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.
而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.
∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8
⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.
略解：由于所以t=6时，S最大＝；
由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.
综上所述, 当t=8时，S最大=6.
例2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
1.求A、B两点的坐标；
2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；
3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.
解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.
∴A(2, )，B（6, ）.
2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.
直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：

①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).
②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).
③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).

略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.
②S=ON·MN=t·2=t.
③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t,
∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.
方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=
- t2+3t.
方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=,
=4×2=8,=·2·(t-2)= t-2,
=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,
∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.
3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.
略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2；
当2＜t≤4时，=4；
当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，
∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是.
但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是.
而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4. 综上所述，当t=4秒时，=4.