专题三：函数中因动点产生的相似三角形问题

这是一份专题三：函数中因动点产生的相似三角形问题，共5页。
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．
专题三：函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
例1题图
图1
图2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1(福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状;
作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得
S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE,
再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.
解:(1)△BPQ是等边三角形,
当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,
∴BP=AB-AP=6-2=4,
即BQ=BP.又∵∠B=600,
∴△BPQ是等边三角形.
过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得
QE=2t·sin600=t,
由AP=t,得PB=6-t,
∴=×BP×QE
=(6-t)×t
=－t2+3t；
∵QR∥BA,
∴∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，
又∵∠C=600,
∴△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,
∴QR=RC=QC=6-2t.
∵BE=BQ·cs600=×2t=t,AP=t,
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
∴EP=QR,又EP∥QR,
∴四边形EPRQ是平行四边形,
∴PR=EQ=t,
由△APR∽△PRQ,得到,
即,解得t=,
∴当t=时, △APR∽△PRQ.
点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
例2(浙江温州)如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有
满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得
关于的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论.
解：（1），，，
．
点为中点，
．
，．
，，
∴
，
．
，
，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在.按腰相等分三种情况：
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
①当时，过点作于，则．
，，
．
，
，
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使为等腰三角形的的值,可假设为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.