初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教案

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第二十四章 圆
正多边形和圆
教学目的
了解正多边形的有关概念和圆内正多边形
教学重点
解决圆内正多边形的有关的问题
教学内容
知识要点
1．正多边形
定 义：各 边 相等、各 角 也相等的多边形叫做正多边形．
2．正多边形与圆的关系
规 律：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正n边形．
3．正多边形的有关概念
中 心：正多边形的外接圆(或内切圆)的 圆心 叫做正多边形的中心．
半 径：正多边形的 外接圆 的半径叫做正多边形的半径．
中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角．
边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的 距离 叫做正多边形的边心距．
对应练习
1． 如图 ，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是( )
A．4π－16 B．8π－16
C．16π－32 D．32π－16
2．在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．一个正n边形的中心角是它的一个内角的eq \f(1,5)，则n的值为( )
A．12 B．11
C．10 D．8
4．如图 所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))
D．∠BAC＝30°
5．如图 ，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．60°
6．正六边形的边心距与边长之比为( )
A.eq \r(3)∶3 B.eq \r(3)∶2 C．1∶2 D.eq \r(2)∶2
7．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( )
A．36° B．60° C．72° D．108°
8．若正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为eq \r(3)∶2，则这个正多边形为( )
A．正十二边形 B．正六边形
C．正方形 D．正三角形
9．如图所示，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为( )
A．60° B．65° C．72° D．75°
10．已知正六边形的边长为a，则它的内切圆的面积为________．
11．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为________．

12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在eq \(AD,\s\up8(︵))上．若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，∠DAE的度数为________．
13．如图所示，⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))＝eq \(FA,\s\up8(︵)).求证：六边形ABCDEF是正六边形．
14．如图所示，已知等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r及面积S.
课堂总结
注意正多边形的的概念对应圆中的概念
课后练习
1．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )
A．6，3eq \r(2) B．3eq \r(2)，3
C．6，3 D．6eq \r(2)，3eq \r(2)
2.边长为1的正六边形的外接圆半径是 ．
3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于 ．
4．若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．(结果保留根号)
5．下面给出五个命题：
①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角an＝eq \f(360°,n)，且与每一个外角相等．
其中真命题有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
6．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( )
A．4R＝5r B．3R＝4r
C．2R＝3r D．R＝2r
7．正六边形的边心距为eq \r(3)，则该正六边形的边长是( )
A.eq \r(3) B．2
C．3 D．2eq \r(3)
8．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是 ．
9．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.
(1)求证：△ABM≌△BCN；
(2)求∠APN的度数．
10．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：
(1)AC∥DE；
(2)ME＝AE.
练习答案
1.
[解析] B 连结OA，OB，如图．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB＝90°.设OA＝OB＝r，则r2＋r2＝42，解得r＝2 eq \r(2).
∴S阴影＝S⊙O－S正方形ABCD＝π×(2 eq \r(2))2－42＝8π－16.
故选B.
2．[答案] A
3．[答案] A
4．[解析] D 因为OA＝OB＝AB，所以△OAB是等边三角形．又因为OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，所以A，B，C正确，D不正确．
5．[答案] A
6．[解析] B 如图，设正六边形的边长是a，则其半径长也是a.
过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，连结OA，OB，则AC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)a，
∴OC＝eq \r(OA2－AC2)＝eq \f(\r(3),2)a，
∴正六边形的边心距与边长之比为eq \f(\r(3),2)a∶a＝eq \r(3)∶2.故选B.
7．[答案] C
8．[解析] B 正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为eq \r(3)∶2，则半径之比为eq \r(3)∶2.
如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于点C，OC＝eq \r(3)k，则OA＝OB＝2k，
在Rt△AOC中，
eq \f(OC,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
则正多边形的边数是eq \f(360°,60°)＝6.故选B.
9．[解析] D 因为圆心角与它所对弧的度数相等，所以求出eq \(AQ,\s\up8(︵))的度数就求出了∠AOQ的大小，而eq \(AQ,\s\up8(︵))＝eq \(PQ,\s\up8(︵))－eq \(AP,\s\up8(︵)).根据题意，得eq \(PQ,\s\up8(︵))所对的圆心角为120°，eq \(AP,\s\up8(︵))所对的圆心角为eq \f(1,8)×360°＝45°，所以eq \(AQ,\s\up8(︵)) 所对的圆心角为120°－45°＝75°，所以∠AOQ＝75°.
10．[答案] eq \f(3πa2,4)
11．[答案] 18
[解析] 由题意可得，正六边形的边长AB就是扇形的半径，正六边形的边长BC，CD，DE，EF的和就是扇形的弧长，所以扇形AFB的半径AB＝3，弧BDF的长为12，
所以扇形AFB(阴影部分)的面积为S＝eq \f(1,2)rl＝eq \f(1,2)×3×12＝18.故答案为18.
12．[答案] 42°
[解析] 连结BD，OA，OE，OD，如图所示．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠C＝180°.
∵∠C＝120°，∴∠BAD＝60°.
又∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∴∠AOD＝2∠ABD＝120°.
∵AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠AOE＝360°÷10＝36°，
∴∠DOE＝120°－36°＝84°，∴∠DAE＝42°.
13．[解析] 由弧相等得到弦相等，从而证得该六边形的六条边相等，由弧相等也可以证得该六边形的六个内角相等．
证明：∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))＝eq \(FA,\s\up8(︵))，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA(等弧所对的弦相等)．
∵eq \(BCF,\s\up8(︵))＝eq \(CEA,\s\up8(︵))＝eq \(BED,\s\up8(︵))＝eq \(CAE,\s\up8(︵))＝eq \(DAF,\s\up8(︵))＝eq \(ACE,\s\up8(︵))，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F(等弧所对的圆周角相等)，
∴六边形ABCDEF是正六边形．
14．解：如图，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，则OB＝R，∠OBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴OD＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(1,2)R，
∴a＝2·eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R))\s\up12(2))＝2·eq \f(\r(3),2)R＝eq \r(3)R，
P＝3a＝3eq \r(3)R，
r＝OD＝eq \f(1,2)R，
S＝3·eq \f(1,2)ar＝3×eq \f(1,2)×eq \r(3)R×eq \f(1,2)R＝eq \f(3\r(3),4)R2.
作业答案
1. B
2. 1．

3. 2π．
4.
解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D.∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形．
∵正六边形的周长为24，∴AB＝4.
∵OD⊥AB，∴∠AOD＝30°，AD＝2.
在Rt△AOD中，根据勾股定理得OD＝2eq \r(3).
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
∴S正六边形＝6×4eq \r(3)＝24eq \r(3).
5. A
6.D
7.B
8. 2eq \r(3)．
9.
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.
在△ABM和△BCN中，
AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN(SAS)．
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠MBP＝∠BAP.
∵∠MBP＋∠BMP＋∠BPM＝180°，∠BAP＋∠BMA＋∠MBA＝180°，
∴∠BPM＝∠MBA.
∵∠BPM＝∠APN，
∴∠APN＝∠MBA＝eq \f(（5－2）×180°,5)＝eq \f(3×180°,5)＝108°.
10.
证明：(1)由题意得∠EDC＝eq \f(1,2)×3×eq \f(360°,5)＝108°，∠DCA＝eq \f(1,2)×2×eq \f(360°,5)＝72°.
∴∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°.
∴AC∥DE.
(2)由题意得
∠DEB＝∠EAC＝eq \f(1,2)×2×eq \f(360°,5)＝72°.
∵AC∥DE，∴∠AME＝∠DEB＝72°.
∴∠AME＝∠EAC.∴ME＝AE.