北师大版高考数学一轮复习第十章 §10.2　排列、组合

这是一份北师大版高考数学一轮复习第十章 §10.2　排列、组合，共11页。试卷主要包含了排列数与组合数等内容，欢迎下载使用。

1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
微思考
1．排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
提示 (1)排列数与组合数之间的联系为Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)＝Aeq \\al(m,n).
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
(3)若组合数公式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立．( × )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ )
题组二 教材改编
2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
答案 B
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，
则不同的分配方法种数为Aeq \\al(3,4)＝24.
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24.
4．Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(4,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)的值为________．(用数字作答)
答案 210
解析 原式＝Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(6,10)＝Ceq \\al(4,10)＝210.
题组三 易错自纠
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有Aeq \\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，
有4Aeq \\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有120＋96＝216(种)排法．
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
答案 30
解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)种不同的选法．
所以不同的选法共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)＝18＋12＝30(种).
题型一 排列问题
1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．
2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800
答案 A
解析 除甲、乙外，其余5个人排列为Aeq \\al(5,5)种排法，再用甲乙去插6个空位有Aeq \\al(2,6)种，不同的排法种数是Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(2,6)＝3 600(种)．
3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
答案 B
解析 根据题意，按甲班位置分3种情况讨论：
(1)甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4Aeq \\al(2,2)＝8(种)，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，此时有8×6＝48(种)安排方案；
(2)甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有3Aeq \\al(2,2)＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)安排方案；
(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3Aeq \\al(2,2)＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)安排方案．
由分类加法计数原理可知共有48＋36＋36＝120(种)方案．
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
题型二 组合问题
1．(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案 C
解析 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq \\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有Ceq \\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq \\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．
2．为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)种，甲、乙都不裁的方案有Ceq \\al(4,8)种，故不同的裁员方案共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(4,8)＝182(种)．
3．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)种，有2位女生参加有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)种．故所求选法共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)＝2×6＋4＝16(种)．
方法二 间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有Ceq \\al(3,6)种情况，没有女生参加的情况有Ceq \\al(3,4)种，故所求选法共有Ceq \\al(3,6)－Ceq \\al(3,4)＝20－4＝16(种)．
思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则
①按元素(位置)的性质进行分类．
②按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
(2)两类含有附加条件的组合问题的方法
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解．
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
答案 C
解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴共有12×4＝48(种)不同排法．
命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,4)＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．
命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式．
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类．
(2)按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
跟踪训练 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
答案 36
解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种方法．于是符合题意的摆法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
(2)数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)种 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34种
C.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43种 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43种
答案 B
解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有Aeq \\al(4,4)种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))·Aeq \\al(4,4)·34＝Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34(种)，故选B.
方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有Ceq \\al(3,12)种分法，第二组分3名同学有Ceq \\al(3,9)种分法，第三组分3名同学有Ceq \\al(3,6)种分法，第四组分3名同学有Ceq \\al(3,3)种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)34种，故选B.
课时精练
1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(5,5)＝600(种)，故选C.
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 末位数字排法有Aeq \\al(1,2)种，其他位置排法有Aeq \\al(3,4)种，共有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(3,4)＝48(种)．
3．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
答案 B
解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．
4．不等式Aeq \\al(x,8)