北师大版高考数学一轮复习第九章 §9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

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1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up7(消元))一元二次方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0⇒相交,Δ＝0⇒内切或外切,Δ2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，
即|3－2k|＝2eq \r(k2＋1)，∴k＝eq \f(5,12)，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(eq \r(2)＋1，＋∞) B．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
C．(0，eq \r(2)－1) D．(0，eq \r(2)＋1)
答案 A
解析 计算得圆心到直线l的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)>1，如图．
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离eq \r(2)＋1.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练1 (1)已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
答案 B
解析 圆C的方程可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(b,2)))2＝eq \f(a2＋b2,4)，圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))，半径r＝eq \f(\r(a2＋b2),2)，圆心到直线ax＋by＝0的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)×a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))×b)),\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(a2＋b2),2)＝r，所以直线与圆相切．
(2)在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
答案 A
解析 因为asin A＋bsin B－csin C＝0，
所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.
故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.
题型二 圆的切线、弦长问题
命题点1 切线问题
例2 (1)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2 eq \r(5)
解析 方法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝eq \r(－2－02＋－1＋22)＝eq \r(5).
方法二 因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq \f(m＋1,0－－2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq \r(－2－02＋－1＋22)＝eq \r(5).
(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案 D
解析 ⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，
∴S四边形PAMB＝eq \f(1,2)|PM|·|AB|
＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
＝4eq \r(|PM|2－4).
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
故直线PM的方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))∴P(－1,0)．
又∵点M到直线x＝－1的距离为2，PA与⊙M相切，且A为切点，
∴直线PA即为直线x＝－1，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，
将A(－1,1)代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
命题点2 弦长问题
例3 (1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
答案 D
解析 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|c|,\r(2)|c|)＝eq \f(\r(2),2)，由勾股定理得，弦长的一半就等于eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，所以弦长为eq \r(2).
(2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为________．
答案 x＝0或3x＋4y－8＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标分别为(0，eq \r(3))，(0，－eq \r(3))，所以弦长|AB|＝2eq \r(3)，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，
则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，
|AD|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(3)，
故|CD|＝eq \r(|AC|2－|AD|2)＝eq \r(4－3)＝1，
即eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练2 (1)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，eq \r(2))，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，eq \r(2))，所以|CD|＝eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，所以|AB|＝2eq \r(4－3)＝2.
(2)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A.eq \r(19) B．2eq \r(5) C.eq \r(21) D.eq \f(\r(55),5)
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝eq \f(|2×2＋3＋3|,\r(5))＝2eq \r(5)，故切线长的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(19).
(3)(2020·全国Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，
故圆心的坐标为C(3,0)，半径r＝3.
如图，记点M(1,2)，
则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，
此时|MC|＝2eq \r(2)，
弦的长度l＝2eq \r(r2－|MC|2)＝2eq \r(9－8)＝2.
题型三 圆与圆的位置关系
例4 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝________.
答案 ±2
解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,a)－a)).
∵公共弦长为2eq \r(3)，∴a2＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,a)－a))2，
∴a2＝4，a＝±2.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－m,0)，B(m,0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得eq \r(x＋m2＋y2)＝λeq \r(x－m2＋y2)，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq \f(4λ2m2,λ2－12)，轨迹为以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2λm,λ2－1)))为半径的圆．
例1 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝eq \r(2)|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1]
解析 设P(x，y)，则eq \r(x－12＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(x－32＋y2)，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，2eq \r(2)为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2eq \r(2).故实数a的取值范围是[－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1]．
例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
圆心C到切线的距离
d＝eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝r＝1，得k＝0或k＝－eq \f(3,4).
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．
故1≤|CD|≤3，其中|CD|＝eq \r(a2＋2a－32).
解得0≤a≤eq \f(12,5).
即圆心C的横坐标a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
课时精练
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))0)，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r－1|≤eq \r(2)≤r＋1，所以r∈[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．
15．已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为eq \r(14)，点M，N在圆Ω上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(3)] B．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
C．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(3)] D．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]
答案 D
解析 由题意得，2eq \r(r2－\f(1,2))＝eq \r(14)，解得r＝2，
因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，
故P(1,1)；设MN的中点为Q(x，y)，
则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，
即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，
化简可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(3,2)，
所以点Q的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq \f(\r(6),2)为半径的圆，
P到圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))的距离为eq \f(\r(2),2)，
所以|PQ|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，
|MN|的取值范围为[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]．
16．已知圆C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)①请问eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋4－b2＝r2，,1－a2＋3－b2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))为定值．
过点A(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T，
易得|AT|2＝7，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝|eq \(AM,\s\up6(→))|·|eq \(AN,\s\up6(→))|cs 0°＝|AT|2＝7，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)，
∴eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，即eq \f(4k1＋k,1＋k2)＝4，解得k＝1，
又当k＝1时，Δ>0，∴k＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dr
代数法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δr1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|