北师大版高考数学一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及运算试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及运算试卷，共17页。试卷主要包含了1　导数的概念及运算，9t2＋8t，则他在0，1米/秒 B．6，5)＝－9等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图像，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.6.了解定积分的背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．
1．导数与导函数的概念
(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f (x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f (x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ eq \f(f x1－f x0,x1－x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f x0＋Δx－f x0,Δx).
(2)如果一个函数f (x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f x＋Δx－f x,Δx)，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f (x)的导函数，通常也简称为导数．
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f (x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f x,gx)))′＝eq \f(f′xgx－f xg′x,g2x)(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
6．定积分的性质
(1)ʃeq \\al(b,a)kf (x)dx＝kʃeq \\al(b,a)f (x)dx(k为常数)；
(2)ʃeq \\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃeq \\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq \\al(b,a)f2(x)dx；
(3)ʃeq \\al(b,a)f (x)dx＝ʃeq \\al(c,a)f (x)dx＋ʃeq \\al(b,c)f (x)dx(其中a7．微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃeq \\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．
微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．
2．函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？
提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点．
3．ʃeq \\al(b,a)f(x)dx的值是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？
提示 不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃeq \\al(b,a)f(x)dx的值才等于由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(3)函数f(x)的切线与f(x)的图像只有一个公共点．( × )
(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.( × )
题组二 教材改编
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
答案 －eq \f(1,e)
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，
∴a＝－eq \f(1,e).
4．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
题组三 易错自纠
5．已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝________.
答案 eq \f(2,2x－3)＋2e2x－3
解析 f′(x)＝eq \f(1,3－2x)·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′
＝eq \f(2,2x－3)＋2e2x－3.
6．＝________.
答案 2
解析 由题意得
＝
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2)－cs \f(π,2)))－(sin 0－cs 0)＝2.
题型一 导数的运算
1．下列求导运算：
①(sin a)′＝cs a(a为常数)；
②(sin 2x)′＝2cs 2x；
③(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))；
④(ex－ln x＋2x2)′＝ex－eq \f(1,x)＋4x.
其中正确的是________．
答案 ②③④
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故①错．由导数公式及运算法则知②③④正确．
2．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________.
答案 e2
解析 f′(x)＝eq \f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′
＝eq \f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
则a＝e2.
3．(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝________.
答案 －eq \f(7,4)
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋eq \f(1,x)，将x＝1代入，
得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝eq \f(5,4).
∴f(x)＝2x2－eq \f(15,4)x＋ln x，
∴f(1)＝2－eq \f(15,4)＝－eq \f(7,4).
思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
题型二 导数的几何意义
命题点1 导数与函数图像
例1 (1)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
答案 B
解析 由y＝f′(x)的图像是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
答案 0
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3).
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
命题点2 求切线方程
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点3 求参数的值(范围)
例3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))
(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 ∵直线2x－y＝0的斜率为k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．
跟踪训练 (1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 设切点P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq \f(1,2)，
∴f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－1＝2，
∴xeq \\al(2,0)＝1，
∴x0＝±1，
又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴y0＝xeq \\al(3,0)－x0＋3，
∴当x0＝1时，y0＝3；
当x0＝－1时，y0＝3.
∴切点P为(1,3)或(－1,3)．
(2)(2020·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) B．(3，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) D．(0,3)
答案 A
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
依题意知f′(x)＝3有两个实数解，
即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，
即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，
令t＝ex，
∴t>0，
∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，
∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图像有两个交点，
φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(7,2)，
∵t>0，∴φ(t)max＝φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
又φ(0)＝3，
故3题型三 定积分
命题点1 定积分的计算
例4 (1)定积分ʃeq \\al(1,－1)(x2＋sin x)dx＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 ʃeq \\al(1,－1)(x2＋sin x)dx＝ʃeq \\al(1,－1)x2dx＋ʃeq \\al(1,－1)sin xdx＝
(2)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈1，e]，))则ʃeq \\al(e,0)f(x)dx＝________.
答案 eq \f(5,2)
解析 ʃeq \\al(e,0)f(x)dx＝ʃeq \\al(1,0)(2－x)dx＋ʃeq \\al(e,1)eq \f(1,x)dx
＝＋ln x|eq \\al(e,1)＝2－eq \f(1,2)＋1＝eq \f(5,2).
命题点2 定积分的几何意义
例5 (1)计算ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2)dx＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 ∵y＝eq \r(1－x2)，∴x2＋y2＝1，y≥0.
∴ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2)dx的几何意义为圆x2＋y2＝1在第一像限内的面积．
∴ʃeq \\al(1,0)eq \r(1－x2)dx＝eq \f(π,4).
(2)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一像限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2) C．2 D．4
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝4x，,y＝x3，))解得x＝－2或x＝0或x＝2.
所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一像限内围成的封闭图形的面积应为S＝ʃeq \\al(2,0)(4x－x3)dx＝
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×22－\f(1,4)×24))－0＝4.
思维升华 (1)计算定积分可直接利用微积分基本定理，或将被积函数变形后利用微积分基本定理进行计算．
(2)利用定积分的几何意义可计算定积分或求平面图形的面积．
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若ʃeq \\al(1,－1)f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.
答案 －1或eq \f(1,3)
解析 ∵ʃeq \\al(1,－1)f(x)dx＝ʃeq \\al(1,－1)(3x2＋2x＋1)dx
＝(x3＋x2＋x)|eq \\al(1,－1)＝4＝2f(a)，
∴f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，
解得a＝－1或a＝eq \f(1,3).
(2)曲线y＝eq \f(2,x)与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________．
答案 2ln 2－eq \f(1,2)
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,x)，,y＝x－1，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))则曲线y＝eq \f(2,x)与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，
所求的面积S＝eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－x＋1))dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ln x－\f(1,2)x2＋x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,1))
＝(2ln 2－2＋2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)＋1))＝2ln 2－eq \f(1,2).
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
例1 已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
答案 8
解析 方法一 因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋eq \f(1,x)，k＝2.
所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
方法二 同方法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，axeq \\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．因为y′＝2ax＋
(a＋2)，
所以k＝2ax0＋(a＋2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))
例2 (2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________________．
答案 y＝ex或y＝x＋1
解析 设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝，
f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝，
∴切点为(x1，)，
切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(x－x1)，
即y＝·x－＋，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
g′(x)＝eq \f(1,x)，
∴g′(x2)＝eq \f(1,x2)，
切点为(x2，ln x2＋2)，
切线斜率k＝eq \f(1,x2)，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，
即y＝eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1，②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④有－x1＋＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
例3 已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．
解 设切线与f(x)＝ln x＋1相切于点P(x0，ln x0＋1)，
f′(x0)＝eq \f(1,x0)，
∴切线方程为y－(ln x0＋1)＝eq \f(1,x0)(x－x0)，
即y＝eq \f(1,x0)x＋ln x0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x0)x＋ln x0，,y＝x2－x＋a，))得x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))x＋a－ln x0＝0，
∴Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))2－4(a－ln x0)＝0，
即eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1－4a＋4ln x0＝0，
即4a＝eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1＋4ln x0有解，
令φ(x)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＋1＋4ln x(x>0)，
φ′(x)＝－eq \f(2,x3)－eq \f(2,x2)＋eq \f(4,x)
＝eq \f(4x2－2x－2,x3)
＝eq \f(22x＋1x－1,x3)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，
又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
故φ(x)的值域为[4，＋∞)，
所以4a≥4，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
课时精练
1．下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(5x)′＝5xlg5x D．(x2cs x)′＝－2xsin x
答案 B
解析 (lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)，故B正确．
2．(2020·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2exsin x在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝0 B．y＝2x
C．y＝x D．y＝－2x
答案 B
解析 ∵f(x)＝2exsin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sin x＋cs x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.
3．(2020·广元模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x，则其导函数f′(x)的图像大致是( )
答案 A
解析 f′(x)＝eq \f(1,2)x－sin x，
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
又f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π,12)－sin eq \f(π,6)＝eq \f(π,12)－eq \f(1,2)<0，
故选A.
4．设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))
答案 C
解析 y′＝3x2－eq \r(3)，
∴y′≥－eq \r(3)，
∴tan α≥－eq \r(3)，
又α∈[0，π)，
故α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).
5．等于( )
A．0 B.eq \f(π,4)－eq \f(1,2)
C.eq \f(π,4)－eq \f(1,4) D.eq \f(π,2)－1
答案 B
解析
6.已知函数f(x)的图像如图，f′(x)是f(x)的导函数，设a＝f(3)－f(2)，则下列结论正确的是( )
A．f′(2)B．f′(2)C．f′(3)D．a答案 C
解析 a＝f(3)－f(2)＝eq \f(f3－f2,3－2)，
∴a表示曲线上两点A(2，f(2))，B(3，f(3))连线的斜率，
由图知，曲线切线的斜率越来越小，
∴f′(3)7．已知函数y＝f(x)的图像在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝________.
答案 10
解析 切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.
8．已知函数f(x)＝eq \f(1,ax－1)＋excs x，若f′(0)＝－1，则a＝________.
答案 2
解析 f′(x)＝eq \f(－ax－1′,ax－12)＋excs x－exsin x
＝eq \f(－a,ax－12)＋excs x－exsin x，
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
9．设a>0，若曲线y＝eq \r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案 eq \f(4,9)
解析 封闭图形如图中阴影部分所示，
则解得a＝eq \f(4,9).
10．(2020·山东省实验中学四校联考)曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________．
答案 eq \r(2)
解析 设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
则
∴x0＝1，y0＝1，则P(1,1)，
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq \r(2).
11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
12．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解 (1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.
所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率
k＝f′(2)＝13，
所以要求的切线方程为y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
所以直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又直线l过点(0,0)，则(3xeq \\al(2,0)＋1)(0－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16＝0，
整理得xeq \\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
13．(2020·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2 022(x)等于( )
A．－sin x－cs x B．sin x－cs x
C．－sin x＋cs x D．sin x＋cs x
答案 C
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cs x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，
∵2 022＝4×505＋2，
∴f2 022(x)＝f2(x)＝cs x－sin x.
故选C.
14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq \f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
答案
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∴f′(0)＝a，
又f(0)＝eq \f(1,4)，
∴f(x)在x＝0处的切线方程为y－eq \f(1,4)＝a(x－0)，
即y＝ax＋eq \f(1,4)，
故y＝ax＋eq \f(1,4)与g(x)＝－ln x相切，
设切点坐标为(x0，y0)，
又g′(x)＝－eq \f(1,x)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,x0)，,y0＝－ln x0，,y0＝ax0＋\f(1,4)，))解得
15．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.
答案 ①③
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故①符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故②不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝eq \f(1,x)，令ln x＝eq \f(1,x)，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝eq \f(1,x)的图像(作图略)，可得两函数的图像有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故③符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(1,cs2x)，令tan x＝eq \f(1,cs2x)，化简得sin xcs x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故④不符合要求．
16．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－eq \r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．基本初等函数
导数
f (x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f (x)＝xα(α是实数)
f′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f (x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f (x)＝ex
f′(x)＝ex
f (x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln a
f (x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f (x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)