北师大版高考数学一轮复习第四章 强化训练3　三角函数中的综合问题试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第四章 强化训练3　三角函数中的综合问题试卷，共9页。
强化训练3　三角函数中的综合问题1．(2020·北京东城区模拟)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步≈1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　　)A．135平方米   B．270平方米C．540平方米   D．1 080平方米答案　B解析　根据扇形的面积公式，S＝lr＝×45×＝270(平方米)．2．(2020·日照联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)A．sin α＋cos α   B．sin α－cos αC．sin αcos α   D.答案　D解析　由题意知sin α<0，cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，A不成立；sin α－cos α<0，B不成立；sin αcos α<0，C不成立；tan α<0，>0，D成立．3．(2020·张家口质检)已知锐角α满足3cos 2α＝1＋sin 2α，则cos α等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　3cos 2α＝1＋sin 2α可化简为3(cos2α－sin2α)＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α，即3(cos α－sin α)(sin α＋cos α)＝(sin α＋cos α)2，因为α为锐角，所以3(cos α－sin α)＝sin α＋cos α，化简得到cos α＝2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝.4．(2020·东三省四市模拟)已知直线y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的递增区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z答案　B解析　∵y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，则f(x)＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的递增区间为，k∈Z.5．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是(　　)答案　D解析　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝结合选项中图形知，D正确．6．(2020·宁德模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且将图像向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则f(x)的图像(　　)A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．在上是增加的D．在上是减少的答案　C解析　∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π，得ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将图像向右平移个单位长度后得到y＝sin＝sin，若函数为偶函数，则φ－＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝－，则f(x)＝sin，则f ＝sin＝sin ＝1，故f(x)不关于点对称，故A错误；f ＝sin＝sin 0＝0，故f(x)不关于直线x＝对称，故B错误；当－≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)为增函数，故C正确；当≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)不单调，故D错误．7．(2020·咸阳模拟)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝      .答案　解析　因为β＝(α＋β)－α，且tan α＝，tan(α＋β)＝，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，所以tan β＝.8．(2020·咸阳质检)已知cos2x－sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则A＝        ，b＝        .答案　　解析　cos2x－sin 2x＝－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＋＝cos(2x＋θ)＋＝sin＋(其中tan θ＝2)，∴A＝，b＝.9．(2020·邯郸模拟)已知α为锐角，且tan α＝m，cos 2α＝－，则sin2＝        .答案　＋解析　∵cos 2α＝＝＝＝－，解得m2＝2，∴cos 2α＝－，∵0<α<，∴0<2α<π，∴sin 2α＝＝，∴sin2＝＝＋＝＋.10．(2020·枣庄训练)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥f 恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上是减少的，则a的最大值为        ．答案　　解析　因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，又对任意的x，都使得f(x)≥f ，所以函数f(x)在x＝处取得最小值，则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝cos，令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，则函数y＝f(x)在上是减少的，故a的最大值是.11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin·sin－.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若f(α)＝，且α∈，求cos 2α的值．解　(1)f(x)＝·＋sin·sin－＝cos 2x＋×2cossin＝cos 2x＋sin＝cos 2x＋＝＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.由2x＋＝kπ，k∈Z得x＝－，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z.(2)由f(α)＝得sin＝，因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－＝－＝－，所以cos 2α＝cos＝cos·cos ＋sin·sin ＝－·＋·＝.12．设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求函数f(x)的递增区间；(2)把函数y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值．解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin＋－1.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图像，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到y＝2sin x＋－1的图像，即g(x)＝2sin x＋－1.所以g ＝2sin ＋－1＝.13．(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围是(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　f(x)＝sin＋cos ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，因为x∈[0，π]，所以ωx＋∈，因为f(x)在[0，π]上的值域为，所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.14．(2020·湖北七市联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0，a>0)对任意x1，x2∈R，f(x1)＋f(x2)的最大值为4，若f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　因为对任意x1，x2∈R，f(x1)＋f(x2)的最大值为4，所以f(x)的最大值为2，所以＝2，又a>0，所以a＝1，所以f(x)＝2sin，所以f′(x)＝2ωcos，因为f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，所以f′(x)＝2ωcos＝0，即cos＝0在(0，π)上恰有两个零点，设t＝ωx＋，则t∈，所以cos t＝0在上恰有两个零点，所以函数y＝cos t的图像与t轴恰有两个交点，所以<ωπ＋≤，解得<ω≤.15．(2020·安庆模拟)已知函数f(x)＝2(|cos x|＋cos x)·sin x，给出下列五个命题：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图像关于直线x＝对称；③f(x)在区间上是增加的；④f(x)的值域为[－2,2]；⑤f(x)在区间[－2π，2π]上有6个零点．其中所有正确的编号是(　　)A．②④  B．①④⑤  C．③④  D．②③⑤答案　C解析　f(x)＝2(|cos x|＋cos x)sin x＝2|cos x|sin x＋sin 2x，函数f ＝，f ＝0，∴f ≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故①错误；由于f＝2·sin＝2(|sin x|＋sin x)·cos x≠f(x)，故f(x)的图像不关于直线x＝对称，故②错误；在区间上，2x∈，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x是增加的，故③正确；当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确；当cos x≤0时，f(x)＝0，在区间[－2π，2π]上有无数个零点，故⑤错误．16.如图所示，四边形ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点．设∠TAP＝θ，长方形PQCR的面积为S平方米．(1)求S关于θ的函数解析式；(2)求S的最大值．解　(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F(图略)，由四边形ABCD是正方形，四边形PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，由∠TAP＝θ，可得EP＝6sin θ，FP＝6cos θ，∴PR＝7－6sin θ，PQ＝7－6cos θ，∴S＝PR·PQ＝(7－6sin θ)(7－6cos θ)＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ，故S关于θ的函数解析式为S＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ.(2)令sin θ＋cos θ＝t，可得t2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即sin θcos θ＝，∴S＝49－42t＋18(t2－1)＝18t2－42t＋31.又由0≤θ≤，可得≤θ＋≤，故t＝sin θ＋cos θ＝sin∈[1，]，∴S关于t的表达式为S＝18t2－42t＋31(t∈[1，])，又由S＝182＋，t∈[1，]，可知当t＝时，S取最大值，最大值为(67－42)平方米．