北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.2　第3课时　函数性质的综合问题试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.2　第3课时　函数性质的综合问题试卷，共12页。试卷主要包含了函数的单调性与奇偶性，函数的奇偶性与周期性，函数的奇偶性与对称性，函数的周期性与对称性等内容，欢迎下载使用。

题型一 函数的单调性与奇偶性
例1 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(lg23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案 C
解析 当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，
∴f(x)的图像关于y轴对称，且在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，a＝f(－π)＝f(π)，
又π>3>lg23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(lg23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)(2020·新高考全国Ⅰ改编)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上是减少的，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上是减少，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图像如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图像如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
[高考改编题]若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上是增加的，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是______，满足eq \f(fx,x)<0的x的取值范围是______．
答案 [－1,1]∪[3，＋∞) (－2,0)∪(0,2)
解析 由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图像如图所示，
∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2，
解得－1≤x≤1或x≥3.
当eq \f(fx,x)<0时，xf(x)<0，即f(x)的图像在二、四象限，
即－2思维升华 解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)跟踪训练1 (1)已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
答案 C
解析 由①知f(x)在(0，＋∞)上是减少的，由②知f(x)为奇函数．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足 f(2x－1)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
解析 依题意有f(x)在[0，＋∞)上是增加的，在(－∞，0]上是减少的，∴|2x－1|即－eq \f(1,3)<2x－1题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 (1)(2020·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 023)等于( )
A．2 0192 B．1 C．0 D．－1
答案 D
解析 根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)，又函数y＝f(x)为奇函数，且x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2 023)＝－1.
(2)(2021·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增加的，则( )
A．f(2 019)＝f(2 017) B．f(2 019)＝f(2 020)
C．f(2 020)>f(2 019) D．f(2 020)>f(2 018)
答案 A
解析 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，
所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2 020)＝f(4)＝－f(0)＝0，
又因为f(x)在[0,2]上是增加的，
所以f(2)>f(1)>f(0)＝0，即f(2 019)＝f(2 017)，f(2 020)思维升华 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
跟踪训练2 (1)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 020)＋f(2 021)＝________.
答案 0
解析 依题意f(x)为奇函数，且周期为2，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)，
∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①
又周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②
由①②解得f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝0.
(2)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 ∵f(x)为偶函数，且周期为3，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，∴f(5)＝2a－3<1，
即a<2.
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4－x)＝－f(x)，则f(x)的周期为( )
A．－4 B．2 C．4 D．6
答案 C
解析 ∵f(4－x)＝－f(x)，
∴f(x)的图像关于点(2,0)对称，
∴f(－x)＝－f(x＋4)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)．
∴T＝4.
(2)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
答案 4
解析 因为函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称，
所以函数y＝f(x)的图像关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2)
＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
思维升华 由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图像判断周期性．
跟踪训练3 函数f(x)满足f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期为8；
②f(x)关于点(－1,0)对称；
③f(x)为偶函数；
④f(x＋7)为奇函数．
答案 ①②④
解析 ∵f(x－1)为奇函数，∴f(x－1)的图像关于(0,0)对称，∴f(x)的图像关于点(－1,0)对称，
又f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴f(x)的图像关于点(－1,0)和直线x＝1对称，
∴f(x)的周期为8，
∴①②正确，③不正确．
∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，
又f(x－1)为奇函数，∴f(x＋7)为奇函数，
故④正确．
题型四 函数的周期性与对称性
例4 已知f(x)的定义域为R，其函数图像关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是________．(填序号)
①f(x)为偶函数；
②f(x)在[－6，－3]上是减少的；
③f(x)关于直线x＝3对称；
④f(100)＝5.
答案 ①③④
解析 f(x)的图像关于直线x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故①正确；
当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1是增加的，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也是增加的，故②不正确；
f(x)关于直线x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于直线x＝3对称，故③正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故④正确．
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练4 函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________．
答案 f(－25)解析 依题意，f(x)的周期为8，且f(x)是奇函数，其图像关于x＝2对称，当x∈(0,2]时，f(x) 是增加的，
∴f(x)在[－2,0),(0,2]上是增加的，
又f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，
且f(－1)<0，f(0)＝0，f(1)>0,
∴f(－1)即f(－25)课时精练
1．函数f(x)＝x＋eq \f(9,x)(x≠0)是( )
A．奇函数，且在(0,3)上是增函数
B．奇函数，且在(0,3)上是减函数
C．偶函数，且在(0,3)上是增函数
D．偶函数，且在(0,3)上是减函数
答案 B
解析 因为f(－x)＝－x＋eq \f(9,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋eq \f(9,x)为奇函数．
又f′(x)＝1－eq \f(9,x2)，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，
所以f(x)在(0,3)上是减函数．
2．f(x)为R上的奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，0))时，f(x)＝2x－1，则f(16)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
答案 A
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)，∴T＝5，
∴f(16)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝eq \f(1,2).
3.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，若f(ln x)A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
答案 D
解析 根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增加的，则f(ln x)ln x<2，解得e－24．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝eq \f(13,fx)且f(2)＝2，则f(2 020)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(2,13) D.eq \f(13,2)
答案 D
解析 ∵f(x＋2)＝eq \f(13,fx)，
∴f(x＋4)＝eq \f(13,fx＋2)＝eq \f(13,\f(13,fx))＝f(x)，
∴T＝4，f(2 020)＝f(4)＝eq \f(13,f2)＝eq \f(13,2).
5．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)是减少的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(π)C．f(eq \r(2))答案 C
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，
∴y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π)．
∵0<4－π<1当x∈[－2,2]时，f(x)是减少的，
∴f(4－π)>f(1)>f(eq \r(2))，
∴f(eq \r(2))6．给出下列函数：
①f(x)＝sin x；②f(x)＝tan x；③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1；))④f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,－2－x，x<0.))则它们共同具有的性质是( )
A．具有周期性 B．为偶函数
C．为奇函数 D．无最大值
答案 C
解析 f(x)＝sin x为奇函数，周期为2π且有最大值；
f(x)＝tan x为奇函数且周期为π，但无最大值；
作出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；
作出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,－2－x，x<0))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．
所以这些函数共同具有的性质是奇函数．
7．偶函数f(x)在区间[1,3]上是减少的，且f(x)∈[－2,4]，那么，当x∈[－3，－1]时，f(－3)＝________，f(x)max＝________.
答案 －2 4
解析 偶函数的图像关于y轴对称，
∴f(－3)＝f(3)＝－2，
∴f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝4.
8．f(x)为R上的奇函数，在(0，＋∞)上是减少的，且f(1)＝0，则不等式xf(－x)<0的解集为________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 不等式xf(－x)<0可化为
xf(x)>0，
画出f(x)的图像如图所示，
∴xf(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
9．已知f(x)的定义域为R，其函数图像关于直线x＝－1对称，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈
[－4，－1]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 216
解析 由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．
故f(x)是周期为6的函数．
所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
因为f(x)的图像关于直线x＝－1对称，
所以f(1)＝f(－3)．
又x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，
所以f(－3)＝6－(－3)＝216.
从而f(1)＝216，故f(919)＝216.
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
答案 0
解析 因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)
＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.
11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝lg2(x＋1)，求：
(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；
(2)f(2 021)＋f(－2 022)的值．
解 (1)f(0)＝lg21＝0，f(2)＝－f(0)＝0，
f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－lg2(1＋1)＝－1.
(2)依题意得，当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即当x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．
因此，f(2 021)＋f(－2 022)＝f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)．
而f(2)＝0，f(1)＝lg2(1＋1)＝1，
故f(2 021)＋f(－2 022)＝1.
12．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值．
解 因为g(x)－h(x)＝2x，①
所以g(－x)－h(－x)＝2－x.
又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，
所以g(x)＋h(x)＝2－x，②
联立①②，得g(x)＝eq \f(2x＋2－x,2)，h(x)＝eq \f(2－x－2x,2).
由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(4x－1,4x＋1)＝1－eq \f(2,4x＋1).
因为y＝1－eq \f(2,4x＋1)为增函数，所以当x∈[－1,1]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,4x＋1)))max＝1－eq \f(2,4＋1)＝eq \f(3,5)，所以m≤eq \f(3,5)，即实数m的最大值为eq \f(3,5).
13．(2020·全国Ⅲ改编)已知函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，则( )
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线x＝π对称
D．f(x)的图像关于直线x＝eq \f(π,2)对称
答案 D
解析 ∵当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，f(x)<0，
∴f(x)min<0，故A错误；
∵f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin－x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；
∵f(π－x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，f(π＋x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)，
∴f(π－x)≠f(π＋x)，
∴f(x)的图像不关于直线x＝π对称，故C错误；
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，
∴f(x)的图像关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故D正确．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－2，x≤0，,fx－2＋1，x>0，)) 则f(2 021)＝________.
答案 1 011
解析 当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011,
而f(－1)＝0，故f(2 021)＝1 011.
15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增加的．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 －8
解析 因为定义在R上的奇函数满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，所以函数图像关于直线x＝2对称，且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数的周期为8.又因为f(x)在区间[0,2]上是增加的，所以函数在区间[－2,0]上也是增加的，作出函数f(x)的大致图像如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x116．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．
(1)求证：[0,2]是函数f(x)＝eq \f(1,2)x2的一个“优美区间”；
(2)求证：函数g(x)＝4＋eq \f(6,x)不存在“优美区间”；
(3)已知函数y＝h(x)＝eq \f(a2＋ax－1,a2x)(a∈R，a≠0)有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值．
(1)证明 f(x)＝eq \f(1,2)x2在区间[0,2]上是增加的，
又f(0)＝0，f(2)＝2，
∴f(x)＝eq \f(1,2)x2的值域为[0,2]，
∴区间[0,2]是f(x)＝eq \f(1,2)x2的一个“优美区间”．
(2)证明 设[m，n]是已知函数g(x)的定义域的子集．
由x≠0，可得[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，
∴函数g(x)＝4＋eq \f(6,x)在[m，n]上是减少的．
假设[m，n]是已知函数的“优美区间”，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋\f(6,m)＝n，,4＋\f(6,n)＝m，))两式相减得，eq \f(6,m)－eq \f(6,n)＝n－m，
则eq \f(6n－m,mn)＝n－m，
∵n>m，∴mn＝6，∴n＝eq \f(6,m)，
则4＋eq \f(6,m)＝eq \f(6,m)，显然等式不成立，
∴函数g(x)＝4＋eq \f(6,x)不存在“优美区间”．
(3)解 设[m，n]是已知函数定义域的子集．
由x≠0，则[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，
而函数y＝h(x)＝eq \f(a2＋ax－1,a2x)＝eq \f(a＋1,a)－eq \f(1,a2x)在[m，n]上是增加的．
若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(hm＝m，,hn＝n，))
∴m，n是方程eq \f(a＋1,a)－eq \f(1,a2x)＝x，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的两个同号且不相等的实数根，
∴m＋n＝eq \f(a2＋a,a2)，
∵mn＝eq \f(1,a2)>0，
∴m，n同号，只需Δ＝(a2＋a)2－4a2＝a2(a＋3)(a－1)>0，解得a>1或a<－3，
∵n－m＝eq \r(n＋m2－4mn)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋a,a2)))2－\f(4,a2))＝eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,3)))2＋\f(4,3))，
∴当a＝3时，n－m取得最大值eq \f(2\r(3),3).