贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题

思南中学2020-2021学年度第二学期期中考试

高二年级数学理科试题

命题人：

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，

第Ⅰ卷(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、一质点的位移与时间的关系为，则该质点在t=1处的瞬时速度为（   ）

A、8     B、-8     C、-9      D、9

2、设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ）

A、      B、      C、-1     D、

3、下列各式中正确的是（    ）

A．                   B．

C．               D．

4、已知点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（    ）

A、      B、   C、    D、

5、设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）

A．1                B．      C．         D．

6、将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)

A  y＝sin 2x   B．y＝3sin 2x    C  y＝3sin x    D  y＝3sinx

7、已知的图象如图所示，则与的大小关系是（    ）

A．             B．

  C．             D．不能确定

8、极坐标系中，直线2ρsin(θ＋)＝2＋，与圆ρ＝2sin θ的位置关系为(　　)

A．相离    B．相切     C．相交    D．以上都有可能

9、若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10、函数 的大致图象为（   )

             A                   B                  C                 D

11、定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数，则满足

的x的集合为(　　)

A．{x |－1< x <1}    B．{x | x<1}    C．{x|x<－1或x>1}   D．{x | x>1}

12、已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷 (非选择题  共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13、=______________；

14、已知复数：，复数满足，则复数        

15、设，则f2020(x)＝             16、把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

 17、(本题满分10分)已知函数f (x)＝x2－8lnx，

(1)求函数f (x)在点( 1，f (1) )处的切线方程；

(2)求函数f (x)的最小值。

18、(本题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

19、（本题满分12分）已知

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若存在使得成立，求的取值范围。

20、(本小题满分12分)在直角坐标系 中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为

(1) 求的极坐标方程

(2) 在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求的最大值

21、(本小题满分12分)已知数列的前和为，其中且

(1)求

(2)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

22、(本小题满分12分).已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设，求证：。

思南中学2020-2021学年度第二学期期中考试

高二年级数学理科试题

参考答案

一、选择题

二、填空题：

13、             14、               15、               16、1028

三、解答题

17、

解：（1）          

切线的方程为：   即

（2）

故单调递减，在上单调递增

 所以   

18、

(1)由曲线C：得x2＋y2＝16.

∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)将代入x2＋y2＝16，

整理，得t2＋3t－9＝0.

设A，B对应的参数为t1，t2，则

t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.

|AB|＝|t1－t2|＝＝3.

19、   

解：（1） 

    故的单调增区间为，无减区间

所以 

（2）     由（1）知 

所以

存在使得成立  

所以

20、

解：（1）

即的极坐标方程为

（2）

所以

所以的最大值为

21、

解：（1）        ①

当时       ②

①--②得  

整理得    

（2）   

证明： ① 当时 

②假设当 时    成立

那么 

即当 时也成立

由①②可知对任意的都有

22、.

解：（1）当k＝2时，f（x）＝2x﹣xlnx，，

由，解得0＜x＜e；

由，解得x＞e，

因此函数f（x）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

(2)  f（x）＝kx﹣xlnx，故

当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k﹣1≥0≥lnx，因此f’（x）≥0恒成立，

即f（x）在（0，1]上单调递增，所以f（x）≤f（1）＝k恒成立，

当k＜1时，令，解得x＝ek﹣1∈（0，1），

当x∈（0，ek﹣1），f’（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（ek﹣1，1），f’（x）＜0，f（x）单调递减，

于是f（ek﹣1）＞f（1）＝k，与f（x）≤k恒成立相矛盾，

综上，k的取值范围为[1，+∞）．

（3）证明：令,由（2）知，当0＜x≤1时，x﹣xlnx≤1．

令x＝（n∈N*），

则，即 2lnn≤n2﹣1，因此，

所以．