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专题02 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版
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专题2 因动点产生的等腰三角形问题
【类型综述】
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。
在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.
【方法揭秘】
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？[来源:Z.X.X.K]
2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
【典例分析】
例1 ．如图，抛物线y=ax2-2ax+b经过点C（0，-），且与x轴交于点A、点B，若tanACO=．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），MPQ=45，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．
思路点拨
（2）由y=x2-x-=(x-1)2-2，可得M(-1,-2)，令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，从而可得B(3,0)，如图，作MH⊥OB于点H，则MH=BH=2，可推导得出△MPQ∽△MBP，从而可得当△MPQ为等腰三角形时，△MBP也为等腰三角形，然后分情况进行讨论即可得.
满分解答
（1）∵C（0，），∴OC=.
∵tanACO=，∴OA=1.∴A(-1，0).
∵点A,C在抛物线y=ax2-2ax+b上，
∴，解得，
∴此抛物线的解析式为y=x2-x-；
∴P(3-,0)，
综上所述，当△MPQ为等腰三角形时，点P的坐标为(1，0)或(3-,0).
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此时点M的坐标为(1,)或(1,)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由，得抛物线的顶点为．
因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．
例5 如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF．
（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
思路点拨
1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．
2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．
满分解答
图3 图4 图5
（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．
由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．
因此FM＝，△ACM是等边三角形．
又因为AE＝，所以FM＝EA．
又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．
所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．
所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．
图6 图7
如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．
图8 图9 图10 图11[来源:Zxxk.Com]
例6如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（，结果保留一位小数）
图1
思路点拨
1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值．
2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上．
3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．
满分解答
图2 图3 图4
（2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15．
由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．
②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24．
因为S△CQP＝＝＝，
所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．
（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成为等腰三角形．
当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t．
如图2，由QP//BD，得，即．所以．
如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝，AH＝．
在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．
图5 图6 图7
考点伸展
第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：
① 如图8，当点Q在AB上时，PQ＝＝＝．
当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．
②如图9，当点Q在BC上时，PQ＝＝＝．
当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．
综上所述，PQ的最大值为．[来源:ZXXK]
图8 图9
【变式训练】
1．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A﹒2个 B﹒3个 C﹒4个 D﹒5个
【答案】C
【解析】试题解析：如图，（1）AP1=AO；（2）AP2=AO；（3）OA=OP3；（4）AP4=OP4.
因此，满足条件的点P共有4个.
故选C.
3．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
类推论：当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为50°，130°；当AM=AB，以A为圆心，AB为半径交⊙O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为50°；同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个．
解：△ABM为等腰三角形，当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，
这时两个等腰三角形的顶角分别为50°，130°，如图；
4．如图，等腰三角形的面积是16，且底边长为4，腰的垂直平分线分别交边于点.若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
连接AD，
故选C.
5．如图， 是⊙的直径， 是弦， ， ．若点是直径上一动点，当 是等腰三角形时， __________ ．
【答案】、或
【解析】解：①为顶点即时，
，
，
．
③为顶点即时， 与重合，
∴．
综上为， 或．
故答案为： ， 或．
6．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
【答案】30°或75°或120°
【解析】试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_____．
【答案】（1+，3）或（1﹣，3）
【解析】
抛物线与y轴交于点C，
C(0,4),且D(0,2)，
E点坐标为(0,3)，
M点纵坐标为3，
在中,令,可得,解得，
M点坐标为或，
故答案为：或.
8．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .
【答案】16或4.
【解析】
（3）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或．故答案为：16或．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．分类讨论．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点p坐标为______________．
【答案】（2．5，4），（3，4），（2，4）．
【解析】
考点：1．矩形的性质；2．坐标与图形性质；3．等腰三角形的性质；4．勾股定理．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边，（）的长分别是方程的两个根，是边上的一动点（不与A、B重合）.
（1）填空：AB= ，OA= ．
（2）若动点D满足△BOC与△AOD相似，求直线的解析式.
（3）若动点D满足，且点为射线上的一个动点，当△PAD是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）8,3;(2) ; (3) 点的坐标为(0,0)，，，．
【解析】
②若△BOC∽△ODA，可得AD=8（与题意不符，舍去），
设直线解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）∵AD+DB=AB=8， ，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
根据△PAD是等腰三角形，分以下4种情况讨论：
①如下图所示，
当时，点的坐标为；
③如下图所示，当时，，
∴△ADP3是等腰直角三角形，
∴，
∴，[来源:]
过作轴的垂线，垂足为，则△OP3F是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为；
④如下图所示，当时，，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，点的坐标为，，，．
11．如图，直线：交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足.
（1）点坐标是 ， ．
（2）当点在什么位置时，，说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1），10；（2）当的坐标是时，；（3）当为等腰三角形时，点的坐标是或．
【解析】
解：（1）∵，∴当时，，当时，，即的坐标是，的坐标是，∵点与点关于轴对称，∴的坐标是，∴，，，
由勾股定理得：，故答案为：，10．
（2）当的坐标是时，，理由是：∵，，∴，∵，，，∴，
∵和关于轴对称，∴，
在和中，，∴，∴当的坐标是时，．
12．如图，已知抛物线（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）．
【解析】
（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x==1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：
=，==，=10；
①若MA=MC，则，得：=，解得：m=﹣1；
②若MA=AC，则，得：=10，得：m=；
③若MC=AC，则，得：=10，得：，；
当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，）（1，﹣1）（1，0）．
考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．
13．在中，，，，⊙的半径长为1，⊙交边于点，
点是边上的动点．
（1）如图1，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系；（4分）
（2）如图2，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5分）
（3）如图3，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域．（5分）．
【答案】（1）⊙与直线相离（2）或．（3），定义域为：＜＜
【解析】
∴＞（1分）
∴⊙与直线相离． （1分）
解：（2）分三种情况：
∵＞，
∴＞； （1分）
当时，易得，
∴，
∴，
∴； （2分）
当时，过点作，垂足为．
∴，
∴，
∴． （2分）
综合，当是等腰三角形时，的长为或．
即；
∴； （2分）
定义域为：＜＜．
14．如图，已知一次函数的图像与x轴交于A（-6,0）与y轴相交于点B，动点P从A出发，沿x轴向x轴的正方向运动.
（1）求b的值，并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标；
（2）在点P出发的同时，动点Q也从点A出发，以每秒个单位的速度，沿射线AB运动，运动时间为t（s）；
①点Q的坐标（用含t的表达式表示）；
②若点P的运动速度为每秒k个单位，请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.
【答案】（1）解：当为等腰三角形时点 的坐标为：或或；（2）① ，②的值分别为：、6、．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把点A坐标代入一次函数解析式，即可求出b的值；若，需分、、三种情况分类讨论；
（2）①设Q点横坐标为a,因为Q点在射线AB上，所以横坐标为，即，作 轴于点 ，则 ，，所以，又因为，所以，解得，表示出．②AP=tk,分AP=AQ,AP=PQ,AQ=AP三种情况即可解答,
【详解】
∴；
综上，当为等腰三角形时点 的坐标为：或或．
（2）①解：设，作 轴于点 ，
15．如图，抛物线经过点，且与轴交于点、点，若．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，点是线段上一动点（不与点重合），，射线与线段交于点，当△为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）由和求出点的坐标，从而根据曲线上点的坐标与方程的关系，列方程组求出，得到此抛物线的解析式.
（2）分，，三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵，∴.
∵，∴.∴.
∵点在抛物线上，
∴，解得.
∴此抛物线的解析式为.
③当时，，
∴.
综上所述，当△为等腰三角形时，点的坐标为或.
考点：1.锐角三角函数定义；2. 曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4. 等腰三角形的性质；5.分类思想的应用.
16．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【解析】
解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B的坐标为（1，0）．
连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．
（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，
∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．
（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：
综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
17.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．
求该抛物线的解析式；
抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标；
点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）；（4）的坐标为：或或或．
【解析】
由可求得抛物线顶点为，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，
设直线的解析式为，
把、点坐标代入可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点的坐标为；
设点，过点作轴于点，如图，
∴．
又∵，
∴当时，有最大值，此时；
存在．在中，
若，过点作轴于点．
由等腰三角形的性质得：，
∴．
∴在等腰直角中，．
∴．
由，得，．
此时，点的坐标为：或；
综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或．
18．如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.
(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.
【解析】
（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；
②当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
19．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.[来源:Z*X*X*K]
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P3（，）.
【解析】
（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
20．如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．
【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+4x；（2）存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；（3）．
【解析】
（1）∵A，B两点在直线y=﹣x﹣4上，且横坐标分别为﹣1、﹣4，
∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∵抛物线过原点，
∴c=0，
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2+4x；
②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），
则有AB=3，BC=|x+4|，
∴|x+4|=3，解得x=﹣4+3或x=﹣4﹣3，
∴C（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）；
当点C在y轴上，设C（0，y），则BC=，
∴=3，解得y=或y=﹣，
∴C（0， ）或（0，﹣）；
③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，
∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），
设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，
∴﹣=﹣+d，解得d=1，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，
令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，
∴C（﹣1，0）或（0，1）；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；
（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴GE=GF+4PQ，
∵S△BGF=3S△EFP，
∴GF2=3××4PQ2，
∴GF=2 PQ，
∴．
专题2 因动点产生的等腰三角形问题
【类型综述】
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。
在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.
【方法揭秘】
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？[来源:Z.X.X.K]
2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
【典例分析】
例1 ．如图，抛物线y=ax2-2ax+b经过点C（0，-），且与x轴交于点A、点B，若tanACO=．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），MPQ=45，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．
思路点拨
（2）由y=x2-x-=(x-1)2-2，可得M(-1,-2)，令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，从而可得B(3,0)，如图，作MH⊥OB于点H，则MH=BH=2，可推导得出△MPQ∽△MBP，从而可得当△MPQ为等腰三角形时，△MBP也为等腰三角形，然后分情况进行讨论即可得.
满分解答
（1）∵C（0，），∴OC=.
∵tanACO=，∴OA=1.∴A(-1，0).
∵点A,C在抛物线y=ax2-2ax+b上，
∴，解得，
∴此抛物线的解析式为y=x2-x-；
∴P(3-,0)，
综上所述，当△MPQ为等腰三角形时，点P的坐标为(1，0)或(3-,0).
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此时点M的坐标为(1,)或(1,)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由，得抛物线的顶点为．
因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．
例5 如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF．
（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
思路点拨
1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．
2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．
满分解答
图3 图4 图5
（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．
由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．
因此FM＝，△ACM是等边三角形．
又因为AE＝，所以FM＝EA．
又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．
所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．
所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．
图6 图7
如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．
图8 图9 图10 图11[来源:Zxxk.Com]
例6如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（，结果保留一位小数）
图1
思路点拨
1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值．
2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上．
3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．
满分解答
图2 图3 图4
（2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15．
由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．
②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24．
因为S△CQP＝＝＝，
所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．
（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成为等腰三角形．
当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t．
如图2，由QP//BD，得，即．所以．
如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝，AH＝．
在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．
图5 图6 图7
考点伸展
第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：
① 如图8，当点Q在AB上时，PQ＝＝＝．
当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．
②如图9，当点Q在BC上时，PQ＝＝＝．
当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．
综上所述，PQ的最大值为．[来源:ZXXK]
图8 图9
【变式训练】
1．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A﹒2个 B﹒3个 C﹒4个 D﹒5个
【答案】C
【解析】试题解析：如图，（1）AP1=AO；（2）AP2=AO；（3）OA=OP3；（4）AP4=OP4.
因此，满足条件的点P共有4个.
故选C.
3．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
类推论：当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为50°，130°；当AM=AB，以A为圆心，AB为半径交⊙O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为50°；同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个．
解：△ABM为等腰三角形，当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，
这时两个等腰三角形的顶角分别为50°，130°，如图；
4．如图，等腰三角形的面积是16，且底边长为4，腰的垂直平分线分别交边于点.若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
连接AD，
故选C.
5．如图， 是⊙的直径， 是弦， ， ．若点是直径上一动点，当 是等腰三角形时， __________ ．
【答案】、或
【解析】解：①为顶点即时，
，
，
．
③为顶点即时， 与重合，
∴．
综上为， 或．
故答案为： ， 或．
6．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
【答案】30°或75°或120°
【解析】试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_____．
【答案】（1+，3）或（1﹣，3）
【解析】
抛物线与y轴交于点C，
C(0,4),且D(0,2)，
E点坐标为(0,3)，
M点纵坐标为3，
在中,令,可得,解得，
M点坐标为或，
故答案为：或.
8．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .
【答案】16或4.
【解析】
（3）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或．故答案为：16或．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．分类讨论．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点p坐标为______________．
【答案】（2．5，4），（3，4），（2，4）．
【解析】
考点：1．矩形的性质；2．坐标与图形性质；3．等腰三角形的性质；4．勾股定理．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边，（）的长分别是方程的两个根，是边上的一动点（不与A、B重合）.
（1）填空：AB= ，OA= ．
（2）若动点D满足△BOC与△AOD相似，求直线的解析式.
（3）若动点D满足，且点为射线上的一个动点，当△PAD是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）8,3;(2) ; (3) 点的坐标为(0,0)，，，．
【解析】
②若△BOC∽△ODA，可得AD=8（与题意不符，舍去），
设直线解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）∵AD+DB=AB=8， ，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
根据△PAD是等腰三角形，分以下4种情况讨论：
①如下图所示，
当时，点的坐标为；
③如下图所示，当时，，
∴△ADP3是等腰直角三角形，
∴，
∴，[来源:]
过作轴的垂线，垂足为，则△OP3F是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为；
④如下图所示，当时，，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，点的坐标为，，，．
11．如图，直线：交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足.
（1）点坐标是 ， ．
（2）当点在什么位置时，，说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1），10；（2）当的坐标是时，；（3）当为等腰三角形时，点的坐标是或．
【解析】
解：（1）∵，∴当时，，当时，，即的坐标是，的坐标是，∵点与点关于轴对称，∴的坐标是，∴，，，
由勾股定理得：，故答案为：，10．
（2）当的坐标是时，，理由是：∵，，∴，∵，，，∴，
∵和关于轴对称，∴，
在和中，，∴，∴当的坐标是时，．
12．如图，已知抛物线（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）．
【解析】
（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x==1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：
=，==，=10；
①若MA=MC，则，得：=，解得：m=﹣1；
②若MA=AC，则，得：=10，得：m=；
③若MC=AC，则，得：=10，得：，；
当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，）（1，﹣1）（1，0）．
考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．
13．在中，，，，⊙的半径长为1，⊙交边于点，
点是边上的动点．
（1）如图1，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系；（4分）
（2）如图2，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5分）
（3）如图3，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域．（5分）．
【答案】（1）⊙与直线相离（2）或．（3），定义域为：＜＜
【解析】
∴＞（1分）
∴⊙与直线相离． （1分）
解：（2）分三种情况：
∵＞，
∴＞； （1分）
当时，易得，
∴，
∴，
∴； （2分）
当时，过点作，垂足为．
∴，
∴，
∴． （2分）
综合，当是等腰三角形时，的长为或．
即；
∴； （2分）
定义域为：＜＜．
14．如图，已知一次函数的图像与x轴交于A（-6,0）与y轴相交于点B，动点P从A出发，沿x轴向x轴的正方向运动.
（1）求b的值，并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标；
（2）在点P出发的同时，动点Q也从点A出发，以每秒个单位的速度，沿射线AB运动，运动时间为t（s）；
①点Q的坐标（用含t的表达式表示）；
②若点P的运动速度为每秒k个单位，请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.
【答案】（1）解：当为等腰三角形时点 的坐标为：或或；（2）① ，②的值分别为：、6、．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把点A坐标代入一次函数解析式，即可求出b的值；若，需分、、三种情况分类讨论；
（2）①设Q点横坐标为a,因为Q点在射线AB上，所以横坐标为，即，作 轴于点 ，则 ，，所以，又因为，所以，解得，表示出．②AP=tk,分AP=AQ,AP=PQ,AQ=AP三种情况即可解答,
【详解】
∴；
综上，当为等腰三角形时点 的坐标为：或或．
（2）①解：设，作 轴于点 ，
15．如图，抛物线经过点，且与轴交于点、点，若．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，点是线段上一动点（不与点重合），，射线与线段交于点，当△为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）由和求出点的坐标，从而根据曲线上点的坐标与方程的关系，列方程组求出，得到此抛物线的解析式.
（2）分，，三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵，∴.
∵，∴.∴.
∵点在抛物线上，
∴，解得.
∴此抛物线的解析式为.
③当时，，
∴.
综上所述，当△为等腰三角形时，点的坐标为或.
考点：1.锐角三角函数定义；2. 曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4. 等腰三角形的性质；5.分类思想的应用.
16．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【解析】
解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B的坐标为（1，0）．
连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．
（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，
∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．
（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：
综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
17.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．
求该抛物线的解析式；
抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标；
点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）；（4）的坐标为：或或或．
【解析】
由可求得抛物线顶点为，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，
设直线的解析式为，
把、点坐标代入可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点的坐标为；
设点，过点作轴于点，如图，
∴．
又∵，
∴当时，有最大值，此时；
存在．在中，
若，过点作轴于点．
由等腰三角形的性质得：，
∴．
∴在等腰直角中，．
∴．
由，得，．
此时，点的坐标为：或；
综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或．
18．如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.
(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.
【解析】
（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；
②当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
19．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.[来源:Z*X*X*K]
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P3（，）.
【解析】
（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
20．如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．
【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+4x；（2）存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；（3）．
【解析】
（1）∵A，B两点在直线y=﹣x﹣4上，且横坐标分别为﹣1、﹣4，
∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∵抛物线过原点，
∴c=0，
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2+4x；
②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），
则有AB=3，BC=|x+4|，
∴|x+4|=3，解得x=﹣4+3或x=﹣4﹣3，
∴C（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）；
当点C在y轴上，设C（0，y），则BC=，
∴=3，解得y=或y=﹣，
∴C（0， ）或（0，﹣）；
③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，
∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），
设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，
∴﹣=﹣+d，解得d=1，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，
令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，
∴C（﹣1，0）或（0，1）；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；
（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴GE=GF+4PQ，
∵S△BGF=3S△EFP，
∴GF2=3××4PQ2，
∴GF=2 PQ，
∴．
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