专题15 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版

专题15 新定义与创新型综合探究问题

【类型综述】

阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.

【方法揭秘】

阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。

解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有分析法，比较法等．

【典例分析】

例1．定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝．请解答下列问题：

已知：在△ABC中，∠C＝30°．

（1）若∠A＝45°，求thi A的值；

（2）若thi A＝，则∠A＝    °；

（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．

例2．定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如： ， ．

（1）求;

（2）已知, 求实数的取值范围;

（3）当时， ．直接写出实数的取值范围．

例3．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．

（）如图，四边形中， 平分， ．求证：四边形为等邻边四边形．

（）如图， 中， ， ， ，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．

（）如图，在等邻边四边形中， ， ， 和为四边形对角线， 为等边三角形，试探究和的数量关系．

例4．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1） 概念理解：

如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件：        ．

（2） 问题探究：[来源:]

如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？

（3） 应用拓展：

如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探究、、的数量关系．

例5．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O．

（1）“距离坐标”为（1，0）点有       个；

（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；

（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，），且∠AOB=30°，求OM的长．

【变式训练】

1．定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

2．定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则的值为（）

A．0    B．1    C．2    D．与m有关

3．对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（  ）

A．    B．    C．    D．

4．将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为（        ）

A．    B．    C．    D．

5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（　　）

A．或    B．0或2    C．1或    D．或

6．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a≤b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4，则min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是（　　）

A．﹣1    B．﹣2    C．1    D．0

7．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）

A．1    B．4    C．2018    D．42018

8．对于实数x，y，定义一种运算“×”如下，x×y＝ax－by2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×()2＝________；

9．对于实数，，定义运算“﹡”：﹡．例如﹡，因为，所以﹡．若，是一元二次方程的两个根，则﹡________．

10．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，

即：当为非负整数时，如果，则．

如：，，，

试解决下列问题：

①__________；②__________；[来源:]

③

__________．

11．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=－1，－1的差倒数是=．已知a1=－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，，以此类推，则a2016=____________ ．

12．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2=0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a﹣b|．

①线段AB的长|AB|=3；

②设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|=2时，x=0.5；

③若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变；

④在③的条件下，|PN|﹣|PM|的值不变．

以上①②③④结论中正确的是_______（填上所有正确结论的序号）

13．阅读材料：

①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）；

②两条平行线，，直线上任意一点到直线的距离，叫做这两条平行线，之间的距离，记作d（，）；

③若直线，相交，则定义d（，）=0；

④若直线，重合，我们定义d（，）=0，

对于两点，和两条直线，，定义两点，的“，相关距离”如下：

d（，|，）=d（，）+d（，）+d（，）

设（4，0），（0，3），：y=x，：y=，：y=kx，解决以下问题：

（1）d（，|，）=       ；

（2）①若k＞0，则当d（，|，）最大时，k=         ；

②若k＜0，试确定k的值，使得d（，|，）最大，请说明理由．

14．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

(1)can30°＝________；

(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．

15．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．

定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．

例如：因为，所以；因为，所以．

根据“对数”运算的定义，回答下列问题：

（1）填空：          ，          ．

（2）如果，求m的值．

（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

16．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．[来源:ZXXK]

（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．

17．在平面坐标坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为．

已知点，点，点．

（）点的变换点的坐标是__________．

点的变换点为，连接，，则__________．

（）点的变换点为，随着的变化，点会运动起来，请在备用图（）中画出点的运动路径．

（）若是等腰三角形，请直接写出此时的值：__________．

18．对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为、和，若、、满足，我们定义这个三角形为美好三角形．

（1）△中，若， ，则△       （填“是”或“不是” ）美好三角形；

（2）如图，锐角△是⊙O的内接三角形， ， ， ⊙O的直径是， 求证：△是美好三角形;

（3）当△ABC是美好三角形，且，则∠C为           .

19.平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．

（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．

①当a=1、d=﹣1时，求k的值；

②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；

（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；

（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．

20.如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：[来源:Z|xx|k.Com]

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．