数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教学设计

这是一份数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教学设计，共9页。教案主要包含了学习目标，新课讲解等内容，欢迎下载使用。
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.
【新课讲解】
知识点1：传播问题与一元二次方程
1.解决这类传播问题的经验和方法
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤
3.传播问题实例探索
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
【例题1】某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
【答案】每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，
则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.
解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.
4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
【例题2】某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
【答案】见解析。
【解析】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
【例题3】新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【答案】每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患新冠病毒.
【解析】设每天平均一个人传染了x人，
1+x+x(1+x)=9，
即（1+x）2=9.
解得 x1=-4 (舍去），x2=2.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187
(1+x)7= (1+2)7=2187
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患新冠病毒.
传播问题与一元二次方程过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题5分，共30分）
1．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝242B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242D．（1+2x）2＝242
【答案】C
【解析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
依题意得：2（1+x）2＝242．
2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x+1)=1035B．x(x-1)=1035C．x(x+1)=1035D．x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
3．为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
依题意，得：1+n+n2＝111，
解得：n1＝10，n2＝﹣11．
4.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．5
【答案】D
【解析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x−1）场球，第二个球队和其他球队打（x−2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x−1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
设有x个球队参加比赛，
依题意得1＋2＋3＋…＋x−1＝15，
即 5
5．某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（ ）
A．6（1﹣2x）＝1B．6（1﹣x）2＝1C．6（1+2x）＝1D．6（1+x）2＝1
【答案】B
【解析】等量关系为：1月感染人数×（1﹣下降率）2＝3月感染人数，把相关数值代入计算即可．
设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意得：
6（1﹣x）2＝1
6.2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场B．11场C．12场D．13场
【答案】B
【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）=66，
整理，得：x2+x-132=0，
解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．
二、填空题（每空4分，共24分）
7．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【答案】12
【解析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【答案】10
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
9．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．
【答案】22
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.
【解析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
∴2（1+x）＝22．
10．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为 ．
【答案】x（x﹣1）＝21．
【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．
11．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为_____．
【答案】15．
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设参加酒会的人数为x人，
依题意，得：x（x﹣1）＝105，
整理，得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
12．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2017年的300万元增长到2019年的507万元，设平均每年销售额增长的百分率为x,则关于x的方程是____________.
【答案】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“从2017年的300万元增长到2019年的507万元”，即可得出方程．
【解析】设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，
根据题意，得：300（1+x）2=507，
【点睛】本题考查一元二次方程的应用.关于平均增长率问题，可设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
三、解答题（46分）
13.（8分）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
则依题意得：
整理,得：
解得:(不合题意舍去).
∴=8.
3轮感染后,被感染的电脑有.
14．（8分）岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．
【答案】20.
【解析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有421人参与，列出方程求解即可．
解：由题意，得，
n+n2+1=421，
解得：n1=﹣21（舍去），n2=20．
故n的值是20．
15．（10分）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．
【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
（2）256×（1+15）＝4096（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
16．（10分）电脑病毒是可以传播的；调查发现有一台电脑中了病毒，经过两轮传播后共有25台电脑中了病毒．
（1）试求每轮传播中平均一台电脑传播多少台电脑中了病毒 ？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传播后共有多少台电脑中了病毒？
【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒；（2）经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒．
【分析】（1）设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒，则第一轮后共有（1＋x）台被传播，第二轮新传播x（x+1）台，据此列方程即可求出x的值；
（2）用25台加上这25台新传播的电脑台数计算即可．
【解析】（1）设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝25，
整理得：x2+2x﹣24＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒；
（2）25+25×4＝125（台），
答：经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
17．（10分）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．
（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了11人；（2）小玲应该将售价定为5元．
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，解方程可得；
（2）设小玲应该将售价定为y元，（y﹣4）（80+10×）＝100，解方程可得；
【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10×）＝100，整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）．
答：小玲应该将售价定为5元．