苏科版七年级下册9.4 乘法公式课后复习题

这是一份苏科版七年级下册9.4 乘法公式课后复习题，共15页。试卷主要包含了4乘法公式，已知按从小到大顺序构成如下列，0分），3×9，【答案】D，【答案】A，【答案】b2，【答案】a2−3b2等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
下列运算正确的是( )
A. a2⋅a2=2a2B. a2+a2=a4
C. (1+2a)2=1+2a+4a2D. (−a+1)(a+1)=1−a2
若a2−b2=14，a−b=12，则a+b的值为 ( )
A. −12B. 12C. 1D. 2
下列各乘法中，不能用平方差公式的是( )
A. (−a−b)(a+b)B. (−m−n)(−m+n)
C. (a2−ab)(a2+ab)D. (−2x−y)(y−2x)
如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. a(a−b)=a2−ab
C. (a−b)2=a2−b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=(a+b)2−4abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
为了书写简便，数学家欧拉引进了求和符号“∑”.如记 k=1nk=1+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)+nk=3n(x+k)=(x+3)+(x+4)+⋅⋅⋅+(x+n)，已知k=2n(x+k)(x−k+1)=4x2+4x+m，则m的值是( )
A. −50B. −70C. −40D. −20
二、填空题
计算：a2+(b−a)(b+a)=______．
化简(a+b)(a−b)−2b2的结果为________．
已知a+b=3，a−b=2，则a2−b2=_____________．
化简：(a−1)(−a−1)=______．
计算x+y=8，x−y=−2，x2−y2=______．
计算：(a+1)(a−1)−(a−2)2=
(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1=_________
若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3=22−12，16=52−32).已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，….则第2013个“智慧数”是______．
将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：______ ．
三、计算题
化简：(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)．
计算：
(1)(x+3)(x−2)−(x−2)2 (2)(a+1)(a−1)−(a−2)2
先化简，再求值：x+yx−y+x−y2−x2−3xy，其中x=2 , y=12.
先化简，再求值：(2a−b)2−(2a+b)(b−2a)，其中a=1，b=2．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
乘法公式的探究及应用．
(1)如上图1可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；
(2)如上图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式)；
(3)比较如上图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式 ；(用式子表达)
(4)运用你所得到的公式，计算下列各①②题：
①2m+n−p2m−n+p；
②10.3×9.7．
数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．
【探究一】
如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是________；
用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式________．

【探究二】
如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？
方法1：一路往右数，不回头数．
以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1An，共有(n−1)条；
以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2An，共有(n−2)条；
以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3An，共有(n−3)条；
⋅⋅⋅
以An−1为端点的线段有An−1An，共有1条；图中线段的总条数是________；
方法2：每一个点都能和除它以外的(n−1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n−1)条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是________；
用两种不同的方法数线段，可以得到等式________．
【应用】运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．
计算：992−982+972−962+952−942+⋯+32−22+12．
【迁移】某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有________种不同的选择方案．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．
【解答】
解：A、a2⋅a2=a4，此选项错误；
B、a2+a2=2a2，此选项错误；
C、(1+2a)2=1+4a+4a2，此选项错误；
D、(−a+1)(a+1)=1−a2，此选项正确；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式特征是解题关键．
根据a2−b2=(a+b)(a−b)，把相关条件代入即可求得答案．
【解答】
解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)，且a2−b2=14，a−b=12，
∴12a+b=14，
∴a+b=12．
故选B．
3.【答案】A
【解析】[分析]
本题考查了平方差公式，能熟练掌握公式是解此题的关键，注意：平方差公式为(a+b)(a−b)=a2−b2.根据平方差公式的特点逐个判断即可．
[详解]
解：A.原式=−(a+b)(a+b)=−(a+b)2，故A不能用平方差公式，故本选项符合题意；
B.(−m−n)(−m+n)=(−m)2−n2，能用平方差公式，故本选项不符合题意；
C.(a2−ab)(a2+ab)=(a2)2−(ab)2，能用平方差公式，故本选项不符合题意；
D.原式=(−2x−y)(−2x+y)=(−2x)2−y2，能用平方差公式，故本选项不符合题意；
故选A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】
解：第一个图形阴影部分的面积是a2−b2，
第二个图形的面积是(a+b)(a−b)．
则a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景．表示出图形阴影部分面积是解题的关键．对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式：矩形的面积=正方形的面积−空白部分的面积．
【分析】
解：如图所示，矩形的面积=正方形的面积−空白部分的面积，则
(a+b)(a−b)=a2−b2．
故选D．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，读懂题目信息，理解求和符号的定义并判断出n=5是解题的关键．由x2项的系数可知n=5，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答．
【解答】
解：∵x2项的系数是4，
∴n=5，
∴(x+2)(x−1)+(x+3)(x−2)+(x+4)(x−3)+(x+5)(x−4)
=(x2+x−2)+(x2+x−6)+(x2+x−12)+(x2+x−20)
=4x2+4x−40
∵k=2nx+kx−k+1=4x2+4x+m，
∴m=−40
故选C．
7.【答案】b2
【解析】解：a2+(b−a)(b+a)
=a2+b2−a2
=b2．
故答案为：b2．
直接利用平方差公式计算，再合并同类项得出答案．
此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键．
8.【答案】a2−3b2
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式第一项利用平方差公式化简，然后合并同类项，即可求解．
【解答】
解：原式=a2−b2−2b2
=a2−3b2．
故答案为：a2−3b2．
9.【答案】6
【解析】
【分析】
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．根据平方差公式解答即可．
【解答】
解：∵a+b=3，a−b=2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=3×2=6，
故答案为6．
10.【答案】1−a2
【解析】解：(a−1)(−a−1)=1−a2．
观察发现，本题是两个二项式相乘，其中−1是相同的项，互为相反的项是a与−a，符合平方差公式的结构特征，故可以直接利用平方差公式得出结果．
本题主要考查平方差公式，准确找出相同项和相反项是求解的关键．
11.【答案】−16
【解析】解：∵x+y=8，x−y=−2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=8×(−2)=−16，
故答案为：−16．
根据平方差公式计算即可．
此题主要考查了平方差公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(a+b)(a−b)=a2−b2．
12.【答案】4a−5
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，先利用平方差公式及完全平方公式进行乘法，乘方运算，再合并同类项即可求解．
【解答】
解：(a+1)(a−1)−(a−2)2=a2−1−(a2−4a+4)=a2−1−a2+4a−4=4a−5．
13.【答案】264
【解析】
【分析】
本题主要考查平方差公式，观察本题，在原式的前一项上乘以(2−1)，恰好能连续运用平方差公式，然后计算即可．
【解答】
解：原式=2−12+122+124+1…232+1+1，
=22−122+124+…232+1+1
……
=264−1+1，
=264．
故答案为264．
14.【答案】2687
【解析】解：观察数字变化规律，可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
归纳可得，第n组的第一个数为4n(n≥2)．
因为2013÷3=671，
所以第2013个智慧数是第671组中的第3个数，
即为4×671+3=2687．
故答案为：2687
根据规律可知，全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，归纳可得第n组的第一个数为4n(n≥2)，据此判断即可．
本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，此题难度较大．
15.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：∵甲图中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，
∴S甲阴影=a2−b2．
∵乙图中的阴影部分面积是长为(a+b)，宽为(a−b)的矩形，
∴S乙阴影=(a+b)(a−b)．
∵S甲阴影=S乙阴影，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)．
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
甲图中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，乙图中的阴影部分面积是长为(a+b)，宽为(a−b)的矩形，由于两个图形的阴影部分面积相等，结论可得．
本题主要考查了平方差公式的几何背景．利用两个图形中的阴影部分面积相等进而得到结论是解题的关键．
16.【答案】解：原式=y2−4−(y2+5y−y−5)
=y2−4−y2−5y+y+5
=−4y+1．
【解析】本题考查了整式的加减运算以及平方差公式的运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并同类项得到最简结果即可．
17.【答案】解：(1)原式=x2−2x+3x−6−x2+4x−4=5x−10；
(2)原式=a2−1−a2+4a−4=4a−5．
【解析】(1)原式利用多项式乘以多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
(2)原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=x2−y2+x2−2xy+y2−x2−3xy
=x2−y2+x2−2xy+y2−x2+3xy
=x2+xy，
当x=2 , y=12时，代入得，
原式=22+2×12
=5．
【解析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键，首先根据平方差公式、完全平方公式将原式进行化简，再进行合并同类项化为最简形式，再代入x、y的值进行运算即可．
19.【答案】解：原式=4a2−4ab+b2−b2+4a2=8a2−4ab，
当a=1，b=2时，原式=8−8=0．
【解析】原式利用完全平方公式，平方出根是化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)a2−b2；
(2)a−b，a+b，a+ba−b；
(3)a+ba−b = a2−b2；
(4)①2m+n−p2m−n+p
=[2m+(n−p)][2m−(n−p)] =(2m)2−(n−p)2
=4m2−n2+2np−p2
②10.3×9.7
=(10+0.3)×(10−0.3)
=102−0.32
=100−0.09
=99.91．
【解析】
【分析】
本题主要考查了乘法公式中的完全平方公式、平方差公式及其应用、列代数式等知识点的应用．
【解答】
解：(1)利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积= a2−b2；
故答案为：a2−b2；
(2)由图可知矩形的宽是a−b，长是a+b，所以面积是a+ba−b；
故答案为：a−b，a+b，a+ba−b；
(3)a+ba−b = a2−b2；
故答案为：a+ba−b = a2−b2；
(4)见答案．
21.【答案】解：【探究一】
a2−b2;
(a+b)(a−b);
a2−b2=(a+b)(a−b)；
【探究二】
(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1;
n(n−1)2;
(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1=n(n−1)2；
【应用】
992−982+972−962+952−942+⋯+32−22+12，
=(99+98)×(99−98)+(97+96)×(97−96)+(95+94)×(95−94)+⋯+(3+2)×(3−2)+1，
=99+98+97+96+95+94+⋯+3+2+1，
=99×(99+1)2，
=4950．
【迁移】
56
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的加法、平方差公式的几何背景以及平方差公式的应用等知识．
【探究一】用两种算法算阴影面积得出平方差公式；
【探究二】主要考查用两种算法算线段总条数推出1开始的连续几个自然数求和公式；
【应用】依次运用探究一、探究二中得到的等式变形计算；
【迁移】先选1名，再选第二名，再选第三名，算出总数，但是有重复情况，所以最后除以6才是本题答案．
【解答】
解：【探究一】
方法一：阴影面积=a2−b2;
方法二：阴影面积=(a+b)(a−b)÷2×2=(a+b)(a−b);
故答案：a2−b2=(a+b)(a−b)
【探究二】
方法一：(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1;
方法二：n(n−1)2;
故答案：(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1=n(n−1)2，
【应用】
见答案；
【迁移】
先选1名8种，再选第二名7种，再选第三名6种，
总数：8×7×6=336(种)，
考虑到3名队员不分先后，
∴336÷(3×2×1)=56(种)
故答案：56．