初中数学苏科版七年级下册12.2 证明练习

12.2证明限时作业（2）2020～2021年苏科版

数学七年级下册(含解析）

一、选择题

1．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（　　）

A．70° B．68° C．60° D．72°

2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 

C．∠B+BCD＝180° D．∠B＝∠5

3．如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

4．如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　）

A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠2

5．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°

6．如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（　　）

A．由∠1＝∠5，可以推出AD∥BC 

B．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC 

C．由∠1+∠4＝90°，可以推出AB∥CD 

D．由∠ABC+∠BCD＝180°，可以推出AD∥BC

7．如图，，，则，，之间的关系是（    ）

A．        B．

C．    D．

二、填空题

8．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　   　．

9．AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数为　   　．

10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝35°，则∠2的度数为　   　°．

11．如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，

能判定AB∥CD的条件个数有　　个．

12．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，

则图③中的∠CFE的度数是　     　．

三、解答题

13．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明DF∥BC．

14．在解答一道课本习题时，两位同学呈现了不同的做法．

题目：如图，AB∥CD，要使∠ABE＝∠DCF，还需要添加什么条件？证明你的结论．

（1）小明添加的条件是“CF∥BE”．根据这一条件完成以下分析过程．

（2）小刚添加的条件是“CF平分∠DCB，BE平分∠ABC”，根据这一条件请你完成证明过程．

15．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．

求证：（1）EH∥AD；

（2）∠BAD＝∠H．

16．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F．EG∥AB，交BC于点G．

（1）∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？

（2）若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．

17．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

18．【基本模型】：如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝∠A；

【变式应用】：

（1）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；

（2）在（1）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．

19．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

（1）如图①，已知∠ABE＝50°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝　      °；

（2）如图②，若∠BEC＝140°，求∠BE1C的度数；

（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC＝　            　°．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠C，根据角平分线的定义可得∠ABE＝2∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BED＝∠ABE．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠C＝35°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABE＝2∠ABC＝2×35°＝70°，

∵AB∥CD，

∴∠BED＝∠ABE＝70°．

故选：A．

2．A

解析：【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本选项正确；

B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；

C∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误；

D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误．

故选：A．

3．A

解析：∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，

∵直线AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝55°，

故选：B．

4．E

解析：∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；

∠AFE＝∠ACD，∠1＝∠2是EF和BC被AC和EC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；

∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．

故选：C．

5．A

解析：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，

∴∠3＝∠2＝＝65°，

∵矩形对边AD∥BC，

∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．

故选：B．

6．A

解析：【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

【解析】A、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；

B、∵∠2＝∠6，∴AD∥BC，故本选项正确；

C、由∠1+∠4＝90°无法证明AB∥CD，故本选项错误；

D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误．

故选：B．

7．C

解析：

C

【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．

【解析】如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

∵，∴，

∴，，，

∴，

又∵，∴，∴，即，

故选C．

二、填空题

8．∵AB∥CD∠1＝130°∴∠CFB＝∠1＝130°∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°∵DG⊥BF∴∠DGF＝90°∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°故答案为4

解析：∵AB∥CD，∠1＝130°，∴∠CFB＝∠1＝130°，

∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，

∵DG⊥BF，∴∠DGF＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，

故答案为40°．

9．∵AB∥CD∠1＝58°∴∠EFD＝∠1＝58°∵FG平分∠EFD∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°∵AB∥CD∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°故答案为151°

解析：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠EFD＝∠1＝58°，

∵FG平分∠EFD，∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，

∵AB∥CD，∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．

故答案为151°．

10．解：如图所示∵∠4＝∠1+∠3∴∠4＝30°+35°＝65°∵AB∥CD∴∠2＝∠4＝65°故答案为：65°

解析：解：如图所示，

∵∠4＝∠1+∠3，

∴∠4＝30°+35°＝65°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠4＝65°，

故答案为：65°．

11．【分析】根据平行线的判定定理即可判断【解析】（1）∠B+∠BCD＝180°则AB∥CD；（2）∠1＝∠2则AD∥BC；（3）∠3＝∠4则AB∥CD；（4）∠B＝∠5则AB∥CD故能判定AB∥CD的条

解析：【分析】根据平行线的判定定理即可判断．

【解析】（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；

（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；

（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；

（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，

故能判定AB∥CD的条件个数有3个．

故答案为：3．

12．【分析】由AD∥BC利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE的度数再结合∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE及∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE即可找出∠CFE的度数【解答】解：∵AD∥BC∴∠BFE＝∠DEF＝

解析：【分析】由AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE的度数，再结合∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE及∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE，即可找出∠CFE的度数．

【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，

∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，

∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．

故答案为：180°﹣3α．

三、解答题

13．【分析】由∠3＝∠4，根据内错角相等两直线平行，可得：GH∥AB，然后根据两直线平行同位角相等可得：∠2＝∠B，然后由∠1＝∠2，根据等量代换可得：∠1＝∠B，然后由同位角相等两直线平行可得：DF∥BC．

【解答】证明：∵∠3＝∠4，

∴GH∥AB，

∴∠2＝∠B，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠B，

∴DF∥BC．

14．【考点】JA：平行线的性质．

【专题】14：证明题；551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．

（1）由题图和推理过程，分析得结论．

（2）由平行线的性质和角平分线的性质，推理证明即可．

【解答】解：（1）由CF∥BE，得到∠FCB＝∠EBC，

依据的是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

故答案为：两直线平行，内错角相等；∠FCB＝∠EBC，

（2）∵AB∥CD，

∴∠DCB＝∠ABC．

∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，

∴∠DCB＝2∠DCF，∠ABC＝2∠ABE．

∴∠ABE＝∠DCF．

15．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，

∴DG∥AB，

∴∠1＝∠BAD，

∵∠1+∠FEA＝180°，

∴∠BAD+∠FEA＝180°，

∴EH∥AD；

（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，

∴∠1＝∠H，

∴∠BAD＝∠H．

16．【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2＝90°；

（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．

【解答】解：（1）∠1与∠2互余．

∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，

∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，

∴，，

∵EG∥AB，

∴∠2＝∠ABE，

∴∠1+∠2＝，

即∠1与∠2互余．

（2）∵∠A＝100°，∠1＝42°，

∴∠C＝80°，∠2＝48°，

∴∠ABE＝∠CBE＝48°，

∴∠BEC＝180°﹣48°﹣80°＝52°，

∴∠CEG＝52°﹣48°＝4°．

17．

已知：，, 求证：

证明：,又,, ,  

又, 

, 

18．【解答】【基本模型】

证明：∵∠OCD＝∠OBC+∠BOC，∠ACD＝∠ABC+∠A，

∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，

又∵CO平分∠ACD，BO平分∠ABC，

∴∠OCD＝∠ACD，∠OBC＝∠ABC，

∴∠OCD﹣∠OBC＝（∠ACD﹣∠ABC），

∴∠BOC＝∠A；

【变式应用】

（1）∠F的大小不变；理由如下：

∵PQ⊥MN，

∴∠PON＝90°，

∵OE是∠PON的平分线，

∴∠AOB＝∠PON＝45°，

∵∠BAC＝∠ABF+∠F，∠BAE＝∠ABO+∠AOB，

∴∠F＝∠BAC﹣∠ABF，∠AOB＝∠BAE﹣∠ABO，

∵AC、BF分别平分∠BAE、∠ABO，

∴∠BAC＝∠BAE，∠ABF＝∠ABO，

∴∠BAC﹣∠ABF＝（∠BAE﹣∠ABO），

∴∠F＝∠AOB＝22.5°；

（2）AB⊥OE，理由如下：

∵FC∥MN，

∴∠FBO＝∠F＝22.5°，

∵BF平分∠ABO，

∴∠ABO＝2∠FBO＝45°，

∴∠OAB＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO＝90°，

∴AB⊥OE．

19．【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；

（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；

（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C＝∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C＝∠BEC；…据此得到规律∠En＝∠BEC，最后求得∠BEnC的度数．

解：（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，

∵∠BEC＝∠1+∠2，

∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由（1）可得，

∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；

（3）如图2，

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由（1）可得，

∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；

∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；

…

以此类推，∠En＝∠BEC，

∴当∠BEC＝α度时，∠BEnC等于（）°．

故答案为：75°；（）．