2020-2021学年12.2 证明课后练习题

12.2证明限时作业（3）2020～2021年苏科版

数学七年级下册(含解析）

一、选择题

1．如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是 (　　)

A.110°           B.120°         C.130°           D.140°

2．一副分别含有30°和45°角的三角尺，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，

则∠BFD的度数是(　　)

A．15°    B．25°    C．30°     D．10°

3．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°

4．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为              (　　)

A.20°         B.25°         C.35°         D.40°

5．如图，△ABC中，∠C＝40°，点D在BA的延长线上，∠CAD＝110°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．60° C．70° D．80°

6．（2016•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　）

A．35° B．95° C．85° D．75°

7．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（　　）

A．117° B．120° C．132° D．107°

8．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

9．如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE等于（　　）

A．20° B．18° C．45° D．30°

二、填空题

10．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数=　          ．

11．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B′处，设∠B′EC＝∠1，∠B′DA＝∠2．若∠B＝25°，则∠2﹣∠1＝　              　°．

12．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=110°，则∠A=　       　°．

13．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝145°，则∠B+∠C＝　               °．

14．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虛线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　       　．

15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是　      　．

16．如图，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，则∠AGC＝　             °．

17．如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　   　．

三、解答题

18．△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

初探：

（1）如图1，若点P在线段AB上运动，

①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　                　°；

②∠α、∠1、∠2之间的关系为：　                   　．

再探：

（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

拓展：

（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：　                       ．

19．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，试说明2∠A=∠1+∠2；

（2）如图②，若把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠A与∠1、∠2之间的等量关系是　           　（无需说明理由）；

（3）如图③，若把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．

【参考答案】

一、选择题

1．A

解析： [解析] ∵∠A=50°,

∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,

∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=130°-30°-40°=60°,

∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=120°.

故选B.

2．A

解析： [答案] A　

[解析] 在△DCE中，∠C＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDC＝60°.又∵∠B＝45°，∴∠BFD＝60°－45°＝15°.

3．D

解析：运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．

【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，

∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，

∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，

∴∠CDE＝∠CBE＝45°，

∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°

故选：D．

4．A

解析： [解析] ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.

∵△B'DC是由△BDC翻折得到的,∴∠CB'D=∠B.

∵∠CB'D=∠A+∠ADB'=∠A+20°,∴∠B=∠A+20°,

∴∠A+∠A+20°+90°=180°,解得∠A=35°.

故选C.

5．B

解析：【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠B＝∠CAD﹣∠C＝70°，

故选：C．

6．A

解析：根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．

【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，

∴∠ACD=2∠ACE=120°，

∵∠ACD=∠B+∠A，

∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

7．B

解析：先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝97°，进而利用三角形的外角的性质即可得出结论

【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，

∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，

∵∠ABE＝20°，

∴∠BFC＝∠BDC+∠ABE＝117°，

故选：A．

8．D

解析：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，代入计算即可．

【解答】解：延长DC，与AB交于点E．

∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，

∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．

∵∠AEC是△BDE的外角，

∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，

∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，

整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．

设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，

∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，

即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．

故选：C．

9．B

解析：根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．

【解答】解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，

∴∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，

∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，

∴∠DAE＝34°﹣14°＝20°．

故选：A．

二、填空题

10．多边形内角与外角；三角形内角和定理【分析】连接CD根据三角形的内角和定理即可证得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BDC+∠ACD+∠ACF+∠BDE+∠E+∠F

解析：多边形内角与外角；三角形内角和定理．

【分析】连接CD，根据三角形的内角和定理即可证得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BDC+∠ACD+∠ACF+∠BDE+∠E+∠F=∠EDC+∠FCD+∠E+∠F，根据四边形的内角和定理即可求解．

【解答】解：连接CD．

∵在△CDM和△ABM中，∠DMC=∠BMA，

∴∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BDC+∠ACD+∠ACF+∠BDE+∠E+∠F=∠EDC+∠FCD+∠E+∠F=360°

故答案为：360°

11．由折叠性质求得∠B′由三角的外角性质用∠1表示∠2进而求得∠2﹣∠1解：∵∠B＝25°∴∠B′＝∠B＝25°∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°∴∠2﹣∠1＝5

解析：由折叠性质求得∠B′，由三角的外角性质，用∠1表示∠2，进而求得∠2﹣∠1．

解：∵∠B＝25°，

∴∠B′＝∠B＝25°，

∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°，

∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°，

∴∠2﹣∠1＝50°，

故答案为50．

12．三角形内角和定理【分析】先利用三角形的内角和求出∠OBC+∠OCB再用角平分线的意义整体代换求出∠ABC+∠ACB最后再用三角形的内角和即可【解答】解：在△BOC中∠OBC+∠OCB=180°﹣∠B

解析：三角形内角和定理．

【分析】先利用三角形的内角和求出∠OBC+∠OCB，再用角平分线的意义，整体代换求出∠ABC+∠ACB，最后再用三角形的内角和即可．

【解答】解：在△BOC中，∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC=180°﹣110°=70°，

∵点O是△ABC的两条角平分线的交点，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2×70°=140°，

在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，

故答案为40°

13．先根据∠1+∠2＝145°得出∠AMN+∠DNM的度数再由四边形内角和定理即可得出结论【解答】解：∵∠1+∠2＝245°∴∠AMN+∠DNM＝＝1075°∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360

解析：先根据∠1+∠2＝145°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：∵∠1+∠2＝245°，

∴∠AMN+∠DNM＝＝107.5°，

∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，

∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝107.5°，

故答案为：107.5°．

14．解：∵△ABC中∠C＝50°∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°故答案为：230°

解析：解：∵△ABC中，∠C＝50°，

∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，

∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，

故答案为：230°．

15．【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°再利用角平分线得出∠DBC＝35°进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数解：∵在△ABC中∠A＝50°∠ABC＝70°∴∠C＝60°∵BD平分∠ABC∴∠DB

解析：【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．

解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，

∴∠C＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝35°，

∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．

故答案为：85°．

16．过G作GM∥AB过E作EN∥AB∵AB∥CD∴AB∥CD∥GMEN∥AB∥CD∴∠BAG＝∠AGM∠MGC＝∠DCG∠BAE＝∠AEN∠DCE＝∠NEC∵∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠F

解析：过G作GM∥AB，过E作EN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GM，EN∥AB∥CD，

∴∠BAG＝∠AGM，∠MGC＝∠DCG，∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠NEC，

∵∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，

∴设∠GAF＝x°，∠FAE＝2x°，∠EAB＝4x°，∠GCF＝x°，∠FCE＝2x°，∠ECD＝4x°，

∴∠BAG＝7x°，∠GCD＝7x°，∠AEN＝4x°，∠NEC＝4x°，

∴∠AGM＝7x°，∠MGC＝7x°，∠AEC＝8x°，

∵∠AEC＝80°，

∴8x＝80，

∴x＝10，

∴∠AGC＝14x°＝140°，

故答案为：140．

17．连接BE根据三角形的内角和定理即可证得∠C+∠D＝∠MBE+∠BEM则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F＝∠A+∠F+∠ABE+∠BEF根据四边形的内角和

解析：连接BE，根据三角形的内角和定理即可证得∠C+∠D＝∠MBE+∠BEM，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F＝∠A+∠F+∠ABE+∠BEF，根据四边形的内角和定理即可求解．

【解答】解：连接BE．

∵△CDM和△BEM中，∠DMC＝∠BME，

∴∠C+∠D＝∠MBE+∠BEM，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F＝∠A+∠F+∠ABE+∠BEF＝360°．

故答案为：360°．

三、解答题

18．【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可．

②利用①中结论解决问题．

（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．

（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）①如图1中，连接PC．

∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，

∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，

∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，

∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．

②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，

故答案为130，70°+∠α．

（2）结论：∠1＝70°+∠2+∠α．

理由：如图2中，

∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，

∴∠1＝70°+∠2+∠α．

（3）结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．

理由：如图3中，

∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，

∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，

∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．

故答案为∠1+∠2＝430°﹣∠α．

19．三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；

（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；

（3）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），

∵∠A+∠3+∠4=180°，

∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=180°，

整理得，2∠A=∠1+∠2；

（2）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180+∠2），

∵∠A+∠3+∠4=180°，

∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）=180°，

整理得，2∠A=∠1﹣∠2；

（3）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），

∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，

∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=360°，

整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．