精讲05 三角函数（解析版）试卷

专题05三角函数

【专题综述与核心素养要求】

三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中，《课程标准（2017年版）把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体，同时提出通过三角函数内容的学习使学生“重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升”.因此，在教科书的编写中应遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容之间的有机衔接”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则，帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”以及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的定义、性质和应用等内容的学习，提升数学学科核心素养.

【重要知识点与题型快速预览】

【知识点精解精析】

基础知识点一：同角三角函数的基本关系

（1）同角三角函数的基本关系

温馨提示

①注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如成立，但是就不一定成立．

②是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．

③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而对成立．

基础知识点二：特殊角的三角函数值表

基础知识点三：三角函数的诱导公式

基础知识点四：正弦函数和余弦函数的图象与性质

基础知识点五：由的图象得到（其中，）的图象的过程

先画出函数的图象，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度，得到的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象．

这一过程的步骤如下：

．

应注意还有一种途径：

．

这两个途径的关键差别在“相位变换”这一步骤上，其实质是要看自变量的变化情况．对于第一种途径，在相位变换这一步中是由变到，故应为“将函数图象上所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度得到函数的图象”；对于第二种途径，在相位变换这一步中是由到，即，实质是变化到，故应为“将函数的图象上所有点向左（当时）或向右（当）平移个单位长度得到函数图象”．两者平移的方向相同，但平移的单位长度不同，这是很容易出错的地方．

温馨提示

①，决定“形变”，决定“位变”．

②第一种途径是先平移后伸缩，第二种途径是先伸缩后平移，且两种途径平移的方向相同，但平移的单位长度不同．特别注意，不论是相位变换（）还是周期变换（）都是针对自变量“”而言的，变换时要注意顺序．

基础知识点六：两角和与差的余弦公式

，简记作．

，简记作．

上述两个公式的记忆口诀：“余余正正，符号相反”．

基础知识点七：两角和与差的正弦公式

，简记作．

，简记作．

上述两个公式的记忆口诀：“正余余正，符号相同”．

基础知识点八：两角和与差的正切公式

，简记作．

，简记作．

基础知识点九：二倍角的正弦、余弦、正切公式

，     

， 

．      

基础知识点十：化简三角函数式时常用的变换技巧

（1）角的代换

将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．

常见的配角技巧：

；

；

；

；

；

．

（2）公式的逆用和变形

公式的顺用是常见的，但逆用和变形往往容易被忽视．公式的逆用和变形不仅能开拓思路，而且能培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形，才能熟练掌握公式的应用．

①逆用：．

②角变换后使用：

．

③移项使用：

；

．

④公式的变形：

i.．

ii.．

iii.．

iv.．

v.升幂公式：；．

vi.降幂公式：；．

⑤“1”的变形

，，

，．

（3）辅助角公式

对于形如的式子，可变形如下：

．

由于上式中的与的平方和为1，

故可记，，

则原式．

由此有如下结论：

，其中由，来确定．

通常称式子为辅助角公式，它可以将含多个三角式的函数问题转化为形如的函数问题．

特别地，．

【必知必会题型深度讲解】

必知必会题型一：利用诱导公式化简三角函数式

利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即

口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”．

【典型例题1】（1）求的值；

（2）化简

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1），

，

，

所以原式.

（2）原式

.

【典型例题2】化简下列各式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）－tanα；（2）－1.

【解析】

（1）原式＝

（2）原式＝

＝＝

＝

＝－1.

【典型例题3】已知.

（1）化简；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；（2）-2.

【解析】

（1);

（2)由，可得.

必知必会题型二：由部分图象确定函数解析式

确定的解析式的步骤：

（1）求，．先确定函数的最大值和最小值，则，．

（2）求．相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为，再根据确定．

（3）求．利用峰点、谷点或零点列出关于的方程，结合的范围解得的值，所列方程如下：

峰点：；谷点：．

利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点．

升零点（图象上升时与轴的交点）：；

降零点（图象下降时与轴的交点）：．

（以上）

【典型例题1】已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式________.

【答案】

【解析】

由函数图象知的最大值为，所以；

又，所以，则，

将代入得，解得：，

又，所以，故.

故答案为：

【典型例题2】如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：）在某天24小时内的变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为________．

【答案】

【解析】

由图设．

由图象可知，，所以，

所以

将代入函数的解析式得，

所以

所以．

所以函数关系式为．

故答案为：

【典型例题3】已知函数的一部分图像如图所示，如果，那么以下结论：①；②；③；④中，正确的是____________________.

【答案】③

【解析】

由图象可得函数的最大值、最小值分别为，

，所以①④不正确；

设函数的周期为，由图象上两点，

得，所以②不正确；

时函数取得最大值，，

，所以③正确.

故答案为：③

必知必会题型三：求三角函数的单调区间

求函数（或）的单调区间时，一般先将的系数化为正值（通过诱导公式转化），再把“”视为一个整体，结合函数（或）的单调性找到“”对应的条件，通过解不等式可得单调区间．

【典型例题1】已知函数最小正周期为，图象过点.

（1）求函数解析式

（2）求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知得，解得.

 将点代入解析式，，可知，

由可知，于是.

（2）令

解得，

于是函数的单调递增区间为.

【典型例题2】已知函数，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为，且函数图象的一个对称中心为.

（1）求的解析式；

（2）确定在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设函数的周期为，由题设得，

又∵为图像的一个对称中心，

∴，

又∵，∴，故；

（2）由，，

∴在上递增，

当时，在递增，由，

∴在上的单调递增区间为．

【典型例题3】已知函数．

（1）求的最大值及取得最大值时的值；

（2）求的单调递减区间．

【答案】（1）1；；（2），

【解析】

（1）令，即时，

取最大值1．

（2）由

得的减区间为，

必知必会题型四：函数的图象的对称问题

（1）函数的图象关于直线（其中满足，）对称，也就是说，过波峰或波谷处且与轴垂直的直线为其对称轴．

（2）函数的图象关于点（其中满足，）中心对称，也就是说，函数图象与轴的交点（平衡位置点）是其对称中心．

【典型例题1】求函数的对称轴和对称中心.

【答案】对称轴为；对称中心为

【解析】

由，得，

所以对称轴为.

由，得，

所以对称中心为.

【典型例题2】已知函数（其中），．它的最小正周期为，，且的最大值为2．

（1）求的解析式；

（2）写出函数的单调递减区间、对称轴和对称中心．

【答案】（1）；（2）递减区间；对称轴为直线；对称中心

【解析】

解：（1），其中为辅助角，且，

，

，，即

的最大值为2，，解得，

所以

（2）由（1）得，

令，，解得，

函数的单调递减区间；

令，，解得

函数的对称中心为；

令，，解得，

对称轴方程为

【典型例题3】已知函数.

（1）求函数的对称轴；

（2）当时，求函数的最大值与最小值.

【答案】（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.

【解析】

（1）函数.

令()，解得()，

所以函数的对称轴方程为：().

（2）由于，

所以，

故.

则：

故当时，函数的最小值为.

当时，函数的最大值为2.

必知必会题型五：三角函数在实际问题中的应用

将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：

①审题：把问题提供的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”；

②可通过描点画图寻找适合的数学模型；

③准确求出函数解析式．

【典型例题1】如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

【答案】（1）;（2） 当A在弧MN的四等分点处时，．

【解析】

（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

，

，

（2）设

则，

，

即时，

，此时A在弧MN的四等分点处

答：当A在弧MN的四等分点处时，

【典型例题2】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.

【解析】

由题意可得，，，由于 ，，

所以，，

，

即，

设，则，由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．

【典型例题3】运动员小王在一个如图所示的半圆形水域为圆心，AB是半圆的直径进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束.已知，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为，，，设弧度.

（1）试将小王本次训练的时间t表示为的函数，并写出的范围；

（2）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由.

（参考公式：弧长，其中r为扇形半径，为扇形圆心角.）

【答案】（1）；（2）不能超过40分钟，理由见解析.

【解析】

（1）在中，，

在扇形OPB中，，

又，

所以小王本次训练的总时间：

 .

，．

（2）由（1）得，

令，得，，

列表如下，

从上表可知，当时，取得极大值，且是最大值，

的最大值是 ，

，，

．

，

小王本次训练时间不能超过40分钟．

必知必会题型六：三角函数式的化简

（1）化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．

在化简三角函数式的过程中，要注意以下问题：

①化简要遵循“三看”原则：

a.一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式．

b.二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．

c.三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”．

②根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负．

③对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：

a.化为特殊角的三角函数值．

b.化为正、负相消的项，消去求值．

c.化成分子、分母出现公约数，进行约分求值．

（2）化简的要求

①能求出值的应求出值．

②尽量使三角函数种数最少．

③尽量使项数最少．

④尽量使分母不含三角函数．

【典型例题1】化简：．

【答案】1

【解析】

，

，

，

，

，

原式

．

【典型例题2】设，求的值.

【答案】.

【解析】

∴.

【典型例题3】化简

（1）

（2）.

（3）若,化简

【答案】(1)(2)(3)0

【解析】

（1），

（2）

（3）因为，

所以，

必知必会题型七：三角函数的给值求值与给值求角问题

解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

（2）当“已知角”有一个时，应关注“所求角”与“已知角”的和或差，进而应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

（3）解给值求角问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角．

（4）通过求角的某个三角函数值求角时，选取函数应遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数．

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．

【典型例题1】已知，为锐角，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）∵，为锐角，，∴

∴=

（2）∵为锐角，∴，

由得，

∴

=

【典型例题2】已知，求的值．

【答案】.

【解析】

解：由题意可得，

，

解得，， 

此两式子相除可得，

故答案为：．

【典型例题3】已知，求角的值.

【答案】

【解析】

由于，所以.

所以，

，

.

由于，所以.

必知必会题型八：三角恒等式的证明

恒等式包括有条件恒等式和无条件恒等式两种．

（1）无条件恒等式的证明

从角度和函数名称出发，认真分析等式两边三角函数式的特点和关系，找出差异，寻找证明的突破口．

（2）有条件恒等式的证明

一般可用消去法及基本量法．消去法即用代入、加减、平方等方法消去某些量；基本量法就是适当地选择题中可以独立取值的量作为基本量，将其他的量都用基本量表示，从而转化为研究基本量的问题．

【典型例题1】求证：＝.

【答案】证明见解析.

【解析】

证明：左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边.

所以原等式成立.

【典型例题2】求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

.

.

所以

【典型例题3】求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

证明：要证原式，可以证明.

左边

，

右边，

左边右边，

原式得证.

必知必会题型九：可转化为的函数问题

当求与三角函数有关的函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要将函数转化为的形式．

若函数的解析式通过三角恒等变换可转化为的形式，则函数的解析式可化为（其中满足，）的形式．

【典型例题1】已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）

，

∴.

（2）∵，，，

∴.

【典型例题2】已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的值域.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）

，

,

即的最小正周期为；

（2），，

，

，

的值域为.

【典型例题3】已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为

【解析】

（I）.

由，得

，即，

所以的单调递增区间为.

（II）由于，所以，

所以，，

.

所以在区间上的最大值为，最小值.