精练03 基本不等式（解析版）试卷

精练03基本不等式

1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知，满足，则的最小值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【详解】

由知：，而，

∴，则

∴

故选：C

2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．4 B． C．8 D．9

【答案】C

【详解】

解：因为正数x，y满足，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为8，

故选：C

3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误；

对于B. ，

所以时，

即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.

对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；

对于D,，因为，

所以，

当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；

故选：D.

4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a，，且满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵，

∴．

即．

当且仅当时取等号．

∴的最小值为

故选：C

5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x＞0，y＞0，且，则xy有（    ）

A．最小值4 B．最大值4 C．最大值 D．最小值

【答案】A

【详解】

x＞0，y＞0，且，

又，即，，

即，当时取等号,

则xy有最小值4，

故选：A

6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．11 B．9 C．8 D．7

【答案】C

【详解】

解：因为正实数，，且，

所以

当且仅当即时，取等号.

所以的最小值为8.

故选：C.

7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

对于A，，，，

则，即，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，，所以，

当且仅当时取等号，故B错误；

对于C， 不妨设，时，，故B错误；

对于D，，当且仅当时取等号，故D错误.

故选：A

8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数当且仅当时取得最小值，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，等号成立当且仅当，

，解得：，

故选：C.

9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知，，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C． D．

【答案】C

【详解】

∵，，

∴， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.

 故选：C

10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是(  )

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【详解】

由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】

正实数x,y满足，

则，

当且仅当取得最小值2.

由有解,可得，

解得m>2或m<−1.

本题选择C选项.

12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知，，，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】

因为，，，所以，

则，

当且仅当且，即时取等号，

故选：B.

13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m，，，则的最小值为（    ）

A． B．7 C．8 D．4

【答案】A

【详解】

∵m，，，

∴，

当且仅当且，即，时取等号，

故的最小值.

故选：A.

14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．

【答案】B

【详解】

，，又，且，

，

当且仅当，解得，时等号成立，

故的最小值为10．

故选：B．

15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由正实数，，满足，

．

，

当且仅当时取等号，此时．

，当且仅当时取等号，

即的最大值是1．

故选：D

16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数的最小值为__.

【答案】3

【详解】

函数，

即

，

当且仅当，即时，取等号，

则函数的最小值为3，

故答案为：3.

17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知对任意实数恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【详解】

由于不等式对任意实数恒成立，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设，则函数的最小值为_____

【答案】8

【详解】

，

函数，当且仅当时取等号．

因此函数的最小值为8．

故选：．

19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知，，且，则的最小值为______.

【答案】4

【详解】

，，，

可得，当且仅当时取等号．

，

或（舍去），

．

故的最小值为4.

故答案为：4．

20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知，，，则的最小值为______．

【答案】

【详解】

依题意.

当且仅当时等号成立.

故答案为：

21．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若，则的取值范围是____________．

【答案】

【详解】

由基本不等式可得，

，解得.

所以，的取值范围是.

故答案为：.

22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x，，且，则的最小值________．

【答案】4

【详解】

因为x，，且，

所以

当且仅当，,即时，取等号，

所以的最小值为4，

故答案为：4

23．【山西省2019-2020学年高一期末】已知，，，则的最小值为__________.

【答案】25

【详解】

当且仅当，即， 时取等号.

故答案为：25

24．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设，，则当____________时，取得最小值.

【答案】

【详解】

由已知有：

，

当且仅当，时，等号成立.

即.

故答案为：.

25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，则a+b+c的最小值为_____．

【答案】10

【详解】

（当且仅当时，取等号）

故答案为：10

26．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.

【答案】处，最小值为8万元..

【详解】

解：设仓库建在距离车站处时，两项费用之和为万元.

根据题意可设，.

由题可知，当时，，，则，.

所以.

根据均值不等式可得，

当且仅当，即时，上式取等号.

故这家公司应该把仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.

27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数．

（1）解不等式：f（x）＞；

（2）求函数f（x）的最小值．

【答案】（1）或；（2）

【详解】

（1），

或.

 （2），

当且仅当，即时函数取得最小值.

28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知，且．

（Ⅰ）求的最大值及此时a，b的值；

（Ⅱ）求的最小值及此时a，b的值．

【答案】（Ⅰ）时，取得最大值为；（Ⅱ），，最小值为；

【详解】

解：（Ⅰ），

当且仅当且，即时取等号，

即最大值为，

（Ⅱ），

，

当且仅当且，即，时取等号，

29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知，.

（1）求证：；

（2）若，求ab的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【详解】

证明：（1）∵，

∴.

（2）∵，，

∴，即，

∴，∴.

当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.

和分析法来一起证明，属于中档题.

30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．

（1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围；

（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．

【答案】（1），；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为．

【详解】

解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为米，则另一边长为米，

因此种植蔬菜的区域面积可表示，

由得：；

（2）

，

当且仅当，即时等号成立．

因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为．