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北师大版必修28面积公式和体积公式的简单应用教学演示ppt课件
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这是一份北师大版必修28面积公式和体积公式的简单应用教学演示ppt课件，共49页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，激趣诱思，知识点拨，答案42，答案C等内容，欢迎下载使用。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系有哪些?
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
名师点析应用分类加法计数原理一定要明确分类标准,而应用分步乘法计数原理一定明确分步的依据,注意区分两者的不同之处
微练习1若把10个苹果分成3份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有( )A.5种 B.6种 C.4种 D.3种答案 C解析 由于分成3份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.所以不同的分法种数共有1+2+1=4.
微练习2若在登录某网站时弹出一个4位的验证码:XXXX(如2a8t).第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个,第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码的个数共有 . 答案 67 600解析 要完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有10种方法;第二步,确定验证码的第二位,共有26种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有10种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26种方法.由分步乘法计数原理可得,这样的验证码的个数共有10×26×10×26=67 600.
二、两个计数原理的区别与联系
名师点析分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同.分步时,首先确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同.
微练习1袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,则不同的取法有( )A.336种 B.21种C.104种 D.146种答案 D解析 分三类:当取出一红一白时,有8×7种不同的取法;当取出一红一黄时,有8×6种不同的取法;当取出一白一黄时,有7×6种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146种不同的取法.
微练习2从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种答案 B解析 由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B.
例1用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三位数的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除且无重复数字的三位数?
解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125种排法.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100种排法.(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
延伸探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×2=36(个).
反思感悟 对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
变式训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答) (2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013),则“六合数”中首位是2的有 个.
答案 (1)14 (2)15解析 (1)因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24-2=14(个).(2)设满足题意的“六合数”为“2abc”,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情况:①一个为4,两个为0,共3种;②一个为3,一个为1,一个为0,共有3×2×1=6(种);③两个为2,一个为0,共有3种;④一个为2,两个为1,共有3种.则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.
例23个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?
解 (方法一)(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得总方法数N=5×4×3=60.
(方法二)(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类:第一类:空盒子标号为(1,2),放小球的方法有3×2×1=6(种);第二类:空盒子标号为(1,3),放小球的方法有3×2×1=6(种);第三类:空盒子标号为(1,4):放小球的方法有3×2×1=6(种);分类还有以下几种情况:空盒子的标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),每一类都有6种方法.共有10类,根据分类加法计数原理得总方法数N=6×10=60.
反思感悟 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行;②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
变式训练2将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A,B两家医院(每人去一家,每家医院至少安排1人),且甲医生不安排在A医院,则共有 种分配方案. 答案 7解析 根据题意,甲医生不安排在A医院,则甲只能去B医院,则分3类:①甲单独在B医院,则剩下3人去A医院,有1种安排方法;②甲和其中1人在B医院,则剩下2人去A医院,有3种安排方法;③甲和其中2人在B医院,则剩下1人去A医院,有3种安排方法,则一共有1+3+3=7种分配方案.
例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180种不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.
延伸探究本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则共有多少种不同的涂法?
解 依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色.第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第二步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第三步涂③与第四步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120(种).第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂①④,有5种涂法;第二步涂②,有4种涂法;第三步涂③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).
反思感悟 (1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形很不规则,往往从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理;如果图形具有一定的对称性,那么先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步.(2)把涂色问题转化为两个计数原理的综合应用,体现了数学抽象的核心素养.
变式训练3如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,现有5种颜色可供使用,求不同的染色方法.
解 设5种颜色的编号为①②③④⑤,先涂S,A,B,共有5×4×3=60种涂法,然后涂C和D,如图,当S涂①,A涂②,B涂③时,分三类,当C涂②时,D可涂③④⑤,有3种涂法,当C涂④时,D可涂③⑤,有2种涂法,当C涂⑤时,D可涂③④,有2种涂法,所以共有60×(3+2+2)=420种涂法.
例4(2020江苏无锡期中)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有 种.
解析 分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c:
第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法.
(2)若第三块田放a:
第四块有b或c两种方法,①若第四块放c:
第五块有2种方法;②若第四块放b:
第五块只能放c,共1种方法.综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42种方法.
反思感悟 按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.
变式训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.解 (方法一)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6种不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3=18(种).(方法二)从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上,有4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有3×2×1=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).
思想方法——分类讨论在计数原理中的应用对于计数问题,分类讨论的数学思想贯穿始终.正确的分类一般是解决问题的切入点,考虑这个问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.
典例1高三年级的3个班到甲、乙、丙、丁4个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每个班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案的种数是( )A.16B.18C.37D.48思路分析第一种方法是先分成有一个班级去甲工厂,有两个班级去甲工厂和有三个班级去甲工厂共三类,再分别用分步乘法原理用直接法求解,最后再将每类的种数相加即可;第二种方法是先求出没有“甲工厂必须有班级去”这个限制条件的分配方案的种数,然后求出甲工厂没有班级去的情况的种数,最后作差即可.
解析 (方法一)以甲工厂分配班级的情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外一个工厂,其分配方案共有3×3=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种).(方法二)先计算三个班级自由选择去哪个工厂的方案总数,再扣除甲工厂没有班级去的方案总数,即有4×4×4-3×3×3=37种方案.
反思感悟 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.
典例2如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.84B.72C.64D.56思路分析每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不相同,然后分A,C不同色与A,C同色两类研究.
解析 分两种情况:(1)当A,C不同色时,先涂A,有4种方法,则涂C有3种方法,由于B不能与A,C同色,所以涂B有2种方法,由于B,D不相邻,所以涂D也有2种方法,则有4×3×2×2=48种涂色方法.(2)当A,C同色时,涂A,C,有4种方法,涂B有3种方法,涂D也有3种方法,则有4×3×3=36种涂色方法.共有84种.答案 A
反思感悟 涂色(种植)问题一般是综合应用两个计数原理求解,但也有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.其中,涂色问题中有关空间几何体的,将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.
1.某小组有8名男生、6名女生,从中任选男生、女生各一人去参加座谈会,则不同的选法有( )A.48种B.24种C.14种D.12种答案 A解析 从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,共有8种不同的选法,从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,共有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法共有8×6=48(种).
2.已知函数y=ax2+bx+c为二次函数,其中a,b,c都属于集合{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为( )A.125B.15C.100D.10答案 C解析 若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,要完成该事件,需分步进行:第一步:对于系数a有4种不同的选法;第二步:对于系数b有5种不同的选法;第三步:对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有4×5×5=100个不同的二次函数.
3.如图,用4种不同的颜色给图中的矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂法有 种.
答案 108解析 A有4种涂法,B有3种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法,共有4×3×3×3=108种涂法.
4.有10本不同的数学书、9本不同的语文书、8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有 种不同的取法. 答案 242解析 分三类,第一类:取数学书和语文书,有10×9=90种取法;第二类:取数学书和英语书,有10×8=80种取法;第三类:取语文书和英语书,有9×8=72种取法,故共有90+80+72=242种取法.
5.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( )A.360B.240C.120D.60答案 C解析 因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系有哪些?
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
名师点析应用分类加法计数原理一定要明确分类标准,而应用分步乘法计数原理一定明确分步的依据,注意区分两者的不同之处
微练习1若把10个苹果分成3份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有( )A.5种 B.6种 C.4种 D.3种答案 C解析 由于分成3份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.所以不同的分法种数共有1+2+1=4.
微练习2若在登录某网站时弹出一个4位的验证码:XXXX(如2a8t).第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个,第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码的个数共有 . 答案 67 600解析 要完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有10种方法;第二步,确定验证码的第二位,共有26种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有10种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26种方法.由分步乘法计数原理可得,这样的验证码的个数共有10×26×10×26=67 600.
二、两个计数原理的区别与联系
名师点析分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同.分步时,首先确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同.
微练习1袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,则不同的取法有( )A.336种 B.21种C.104种 D.146种答案 D解析 分三类:当取出一红一白时,有8×7种不同的取法;当取出一红一黄时,有8×6种不同的取法;当取出一白一黄时,有7×6种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146种不同的取法.
微练习2从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种答案 B解析 由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B.
例1用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三位数的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除且无重复数字的三位数?
解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125种排法.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100种排法.(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
延伸探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×2=36(个).
反思感悟 对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
变式训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答) (2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013),则“六合数”中首位是2的有 个.
答案 (1)14 (2)15解析 (1)因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24-2=14(个).(2)设满足题意的“六合数”为“2abc”,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情况:①一个为4,两个为0,共3种;②一个为3,一个为1,一个为0,共有3×2×1=6(种);③两个为2,一个为0,共有3种;④一个为2,两个为1,共有3种.则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.
例23个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?
解 (方法一)(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得总方法数N=5×4×3=60.
(方法二)(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类:第一类:空盒子标号为(1,2),放小球的方法有3×2×1=6(种);第二类:空盒子标号为(1,3),放小球的方法有3×2×1=6(种);第三类:空盒子标号为(1,4):放小球的方法有3×2×1=6(种);分类还有以下几种情况:空盒子的标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),每一类都有6种方法.共有10类,根据分类加法计数原理得总方法数N=6×10=60.
反思感悟 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行;②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
变式训练2将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A,B两家医院(每人去一家,每家医院至少安排1人),且甲医生不安排在A医院,则共有 种分配方案. 答案 7解析 根据题意,甲医生不安排在A医院,则甲只能去B医院,则分3类:①甲单独在B医院,则剩下3人去A医院,有1种安排方法;②甲和其中1人在B医院,则剩下2人去A医院,有3种安排方法;③甲和其中2人在B医院,则剩下1人去A医院,有3种安排方法,则一共有1+3+3=7种分配方案.
例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180种不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.
延伸探究本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则共有多少种不同的涂法?
解 依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色.第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第二步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第三步涂③与第四步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120(种).第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂①④,有5种涂法;第二步涂②,有4种涂法;第三步涂③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).
反思感悟 (1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形很不规则,往往从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理;如果图形具有一定的对称性,那么先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步.(2)把涂色问题转化为两个计数原理的综合应用,体现了数学抽象的核心素养.
变式训练3如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,现有5种颜色可供使用,求不同的染色方法.
解 设5种颜色的编号为①②③④⑤,先涂S,A,B,共有5×4×3=60种涂法,然后涂C和D,如图,当S涂①,A涂②,B涂③时,分三类,当C涂②时,D可涂③④⑤,有3种涂法,当C涂④时,D可涂③⑤,有2种涂法,当C涂⑤时,D可涂③④,有2种涂法,所以共有60×(3+2+2)=420种涂法.
例4(2020江苏无锡期中)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有 种.
解析 分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c:
第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法.
(2)若第三块田放a:
第四块有b或c两种方法,①若第四块放c:
第五块有2种方法;②若第四块放b:
第五块只能放c,共1种方法.综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42种方法.
反思感悟 按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.
变式训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.解 (方法一)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6种不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3=18(种).(方法二)从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上,有4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有3×2×1=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).
思想方法——分类讨论在计数原理中的应用对于计数问题,分类讨论的数学思想贯穿始终.正确的分类一般是解决问题的切入点,考虑这个问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.
典例1高三年级的3个班到甲、乙、丙、丁4个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每个班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案的种数是( )A.16B.18C.37D.48思路分析第一种方法是先分成有一个班级去甲工厂,有两个班级去甲工厂和有三个班级去甲工厂共三类,再分别用分步乘法原理用直接法求解,最后再将每类的种数相加即可;第二种方法是先求出没有“甲工厂必须有班级去”这个限制条件的分配方案的种数,然后求出甲工厂没有班级去的情况的种数,最后作差即可.
解析 (方法一)以甲工厂分配班级的情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外一个工厂,其分配方案共有3×3=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种).(方法二)先计算三个班级自由选择去哪个工厂的方案总数,再扣除甲工厂没有班级去的方案总数,即有4×4×4-3×3×3=37种方案.
反思感悟 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.
典例2如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.84B.72C.64D.56思路分析每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不相同,然后分A,C不同色与A,C同色两类研究.
解析 分两种情况:(1)当A,C不同色时,先涂A,有4种方法,则涂C有3种方法,由于B不能与A,C同色,所以涂B有2种方法,由于B,D不相邻,所以涂D也有2种方法,则有4×3×2×2=48种涂色方法.(2)当A,C同色时,涂A,C,有4种方法,涂B有3种方法,涂D也有3种方法,则有4×3×3=36种涂色方法.共有84种.答案 A
反思感悟 涂色(种植)问题一般是综合应用两个计数原理求解,但也有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.其中,涂色问题中有关空间几何体的,将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.
1.某小组有8名男生、6名女生,从中任选男生、女生各一人去参加座谈会,则不同的选法有( )A.48种B.24种C.14种D.12种答案 A解析 从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,共有8种不同的选法,从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,共有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法共有8×6=48(种).
2.已知函数y=ax2+bx+c为二次函数,其中a,b,c都属于集合{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为( )A.125B.15C.100D.10答案 C解析 若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,要完成该事件,需分步进行:第一步:对于系数a有4种不同的选法;第二步:对于系数b有5种不同的选法;第三步:对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有4×5×5=100个不同的二次函数.
3.如图,用4种不同的颜色给图中的矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂法有 种.
答案 108解析 A有4种涂法,B有3种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法,共有4×3×3×3=108种涂法.
4.有10本不同的数学书、9本不同的语文书、8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有 种不同的取法. 答案 242解析 分三类,第一类:取数学书和语文书,有10×9=90种取法;第二类:取数学书和英语书,有10×8=80种取法;第三类:取语文书和英语书,有9×8=72种取法,故共有90+80+72=242种取法.
5.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( )A.360B.240C.120D.60答案 C解析 因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数.
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