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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第六章 统计4 用样本估计总体数字特征本节综合与测试教案配套课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第六章 统计4 用样本估计总体数字特征本节综合与测试教案配套课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，激趣诱思，知识点拨等内容，欢迎下载使用。
设从东、西、南、北四个方向通往山顶的路分别有2,3,3,4条,若要使从四个方向中的任一方向上山,而从剩余的三个方向中的任一方向下山的走法最多,则应选择从哪边上山呢?
一、分类加法计数原理1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”)2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②怎样才算完成这件事;③完成这件事可以有哪些办法.(2)独立性:①完成这件事的n类办法是相互独立的;②每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.(3)分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,①每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;②每一类中的任意两种方法也不相同.
微判断(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事.( )
微思考用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?
提示因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
二、分步乘法计数原理1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种方法(也称“乘法原理”).2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②要经过几步才能完成这件事.(2)相关性:①完成这件事需要分成若干个步骤;②只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.(3)分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,①准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;②要注意各步骤之间必须连续;③各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.
微判断(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( )
微思考用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字,以A1,A2,…和B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
提示编写一个号码要先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字,由于这6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有6×9=54个不同的号码.
例1个位数字比十位数字大的两位数有多少个?
解 (方法一)按个位数字分类,有以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;…;个位是2的有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题:(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些方法,怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类办法中的哪种方法都可以独立完成这件事,而不需要再用到其他的方法,即各类方法之间是互斥的,并列的,独立的.
变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为( )A.14B.13C.12D.10
答案 B解析 因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a∈M,b∈M),则(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示平面上多少个不在直线y=x上的点?
解 (1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种方法;第二步确定b的值,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.(2)确定第二象限的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,由于a<0,所以有3种不同的方法;第二步确定b的值,由于b>0,所以有2种不同的方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上第二象限点的个数是3×2=6.(3)P在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一个元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由(1)知不在直线y=x上的点有36-6=30(个).
反思感悟 利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计“分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是什么,各步的方法种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解.
变式训练2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人必报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有多少种可能的结果?
解 (1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,4名同学都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=81种报名方法.(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能由一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步,而每项冠军是4名同学中的某一人,有4种可能的情况,于是共有4×4×4=64种可能的情况.
例3现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
解 (1)从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法.(2)从国画、油画、水彩画各选一幅,分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.(3)第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法.所以共有10+35+14=59种不同的选法.
反思感悟 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.(3)明晰两个原理,进行正确运算,体现了数学运算的核心素养.
变式训练3在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?
解 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法;2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2种选法.所以共有6+6+4+2=18种选法.所以共有18种不同的选法.
高考热点分析高考对本节内容的考查,侧重对两个计数原理的理解及运用两个计数原理解决一些简单的实际问题的能力,题目难度较低,求解时需先明确分类或分步的标准.对考生的逻辑推理、数学运算等核心素养要求较高.
典例如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9
命题立意本题以实际生活为背景,考查分步乘法计数原理.
解析 由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.答案 B
变式训练用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279答案 B解析 构成所有的三位数的个数为9×10×10=900,而无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,故所求个数为900-648=252,应选B.
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配套方法种数为( )A.7B.12C.64D.81答案 B解析 要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同选法;第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同选法.故共有4×3=12种不同的配套方法.
2.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地的不同走法种数为( )A.1+1+1=3B.3+4+2=9C.3×4×2=24D.以上都不对
答案 B解析 分三类:第一类,乘汽车,从3次中选1次,有3种走法;第二类,乘火车,从4次中选1次,有4种走法;第三类,乘轮船,从2次中选1次,有2种走法.所以共有3+4+2=9种不同的走法.
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 个. 答案 36解析 第一步取b,有6种方法,第二步取a,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36种方法,故虚数有36个.
4.将3封信投入6个信箱内,不同的投法有 种. 答案 216解析 分三步,每一步投一封信.每封信都有6种投法,共有6×6×6=216种不同的投法.
设从东、西、南、北四个方向通往山顶的路分别有2,3,3,4条,若要使从四个方向中的任一方向上山,而从剩余的三个方向中的任一方向下山的走法最多,则应选择从哪边上山呢?
一、分类加法计数原理1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”)2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②怎样才算完成这件事;③完成这件事可以有哪些办法.(2)独立性:①完成这件事的n类办法是相互独立的;②每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.(3)分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,①每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;②每一类中的任意两种方法也不相同.
微判断(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事.( )
微思考用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?
提示因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
二、分步乘法计数原理1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种方法(也称“乘法原理”).2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②要经过几步才能完成这件事.(2)相关性:①完成这件事需要分成若干个步骤;②只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.(3)分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,①准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;②要注意各步骤之间必须连续;③各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.
微判断(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( )
微思考用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字,以A1,A2,…和B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
提示编写一个号码要先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字,由于这6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有6×9=54个不同的号码.
例1个位数字比十位数字大的两位数有多少个?
解 (方法一)按个位数字分类,有以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;…;个位是2的有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题:(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些方法,怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类办法中的哪种方法都可以独立完成这件事,而不需要再用到其他的方法,即各类方法之间是互斥的,并列的,独立的.
变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为( )A.14B.13C.12D.10
答案 B解析 因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a∈M,b∈M),则(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示平面上多少个不在直线y=x上的点?
解 (1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种方法;第二步确定b的值,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.(2)确定第二象限的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,由于a<0,所以有3种不同的方法;第二步确定b的值,由于b>0,所以有2种不同的方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上第二象限点的个数是3×2=6.(3)P在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一个元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由(1)知不在直线y=x上的点有36-6=30(个).
反思感悟 利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计“分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是什么,各步的方法种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解.
变式训练2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人必报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有多少种可能的结果?
解 (1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,4名同学都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=81种报名方法.(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能由一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步,而每项冠军是4名同学中的某一人,有4种可能的情况,于是共有4×4×4=64种可能的情况.
例3现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
解 (1)从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法.(2)从国画、油画、水彩画各选一幅,分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.(3)第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法.所以共有10+35+14=59种不同的选法.
反思感悟 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.(3)明晰两个原理,进行正确运算,体现了数学运算的核心素养.
变式训练3在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?
解 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法;2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2种选法.所以共有6+6+4+2=18种选法.所以共有18种不同的选法.
高考热点分析高考对本节内容的考查,侧重对两个计数原理的理解及运用两个计数原理解决一些简单的实际问题的能力,题目难度较低,求解时需先明确分类或分步的标准.对考生的逻辑推理、数学运算等核心素养要求较高.
典例如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9
命题立意本题以实际生活为背景,考查分步乘法计数原理.
解析 由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.答案 B
变式训练用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279答案 B解析 构成所有的三位数的个数为9×10×10=900,而无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,故所求个数为900-648=252,应选B.
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配套方法种数为( )A.7B.12C.64D.81答案 B解析 要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同选法;第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同选法.故共有4×3=12种不同的配套方法.
2.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地的不同走法种数为( )A.1+1+1=3B.3+4+2=9C.3×4×2=24D.以上都不对
答案 B解析 分三类:第一类,乘汽车,从3次中选1次,有3种走法;第二类,乘火车,从4次中选1次,有4种走法;第三类,乘轮船,从2次中选1次,有2种走法.所以共有3+4+2=9种不同的走法.
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 个. 答案 36解析 第一步取b,有6种方法,第二步取a,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36种方法,故虚数有36个.
4.将3封信投入6个信箱内,不同的投法有 种. 答案 216解析 分三步,每一步投一封信.每封信都有6种投法,共有6×6×6=216种不同的投法.
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