高中2直观图集体备课ppt课件

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编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的亮灯方案有几种?
一、组合的有关概念一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作
微思考1满足什么条件的两个组合是相同的组合?
提示如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,就是相同的组合,否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).
微思考2组合数公式的两种形式在应用中如何选择?
二、组合应用题的解法1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为:一、判断;二、转化;三、求值;四、作答.2.有限制条件的组合应用题的解法常用解法有:直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置,一般地按从不同位置选取元素的顺序分步,或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.
微练习正六边形顶点和中心共7个点,可组成　　　　　个三角形. 
解析 不共线的三个点可组成一个三角形,7个点中共线的是:正六边形过中心的3条对角线,即共有3种情况,故组成三角形的个数为 -3=32.
例1现有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)既要有队长,又要有女运动员.
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数;二是“至多”与“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.
变式训练1(1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员,不同的选法种数为(　　)A.12B.30C.15D.24(2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益活动,则至多有2名男运动员的选法有　　　　　种. 
答案 (1)D　(2)116
命题角度1　不同元素分组、分配问题例2有6本不同的书,按下列方式分组或分配,则共有多少种不同的方式?(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本;(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;(3)分成三组,每组都是2本;(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.
反思感悟 分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
变式训练2某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个不同的房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则不同的安排方法的种数为(　　)A.24B.48C.96D.114
根据分类加法计数原理共有42+72=114(种).
命题角度2　相同元素分配问题例3将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,分别求下列要求下的放法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子.
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
变式训练3某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(　　)A.4种B.10种C.18种D.20种
解析 由于只剩一本书,且这些画册、集邮册分别相同,可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素,应从4位朋友中进行选取.第一类:当剩余的一本是画册时,相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友,只有1位朋友得到画册.即把4位朋友分成人数为1,3的两队,有1个元素的那队分给画册,另一队分给集邮册,有 种分法.第二类:当剩余的一本是集邮册时,相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友,有2位朋友得到画册,即把4位朋友分成人数为2,2的两队,一队分给画册,另一队分给集邮册,有 种分法.因此,满足题意的赠送方法
例4如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括点A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
反思感悟 1.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题,体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
变式训练4空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为(　　)A.205B.110C.204D.200
思想方法——排列组合中隔板法的妙用隔板法是排列组合中的一种解题应用模型,是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式.其中用球代表相同元素,用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合.通过隔板的不同插入方式,得到不同的分配结果.这里需注意的是,既然是插隔板,那么每个空只能插一个,即两个隔板间至少有一个元素.(而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出)
典例1现有10个完全相同的球全部放入7个不同的盒子,每个盒子至少1个,则共有　　　　种不同的方法. 
解析 该问题用分类计数法较复杂,但可以将10个球排成一行,10个球中间就出现9个空档,再用6个隔板把10个球分成有序的7份,每个班级就依次按班级序号分到对应的n个球(可能是1个、2个、3个、4个).即在9个空档中插入6个隔板,由6个隔板把球分成7份,共有 =84种不同的方法.
典例28个完全相同的球全部放入3个不同的盒子中,有　　　　　种不同的分法. 
解析 典例2与典例1的区别在于典例1中每组都要求非空,而典例2允许有空盒.即8个球可能分在2个甚至1个盒中.此类题型还是可以用隔板法,只需做一些小变化,可以假想从每个盒子中借一个球,这样共有11个球,然后用隔板法.这11个球中间10个空档用2个隔板,故答案为 =45种不同的方法.
反思感悟 1.隔板法用于解决元素分组问题,灵活运用隔板法能处理一些较复杂的排列组合问题,但使用时有三点要求:①元素相同;②每组均“非空”,即每组中至少分一个元素;③不能有剩余元素.2.典例1的解法属于直接用隔板法;典例2中的“空组”问题可以用“先借后还”思路,即当盒中分到一个球后还回1个球,该盒实际上是空盒;分到2个球,该盒实际上只含一个球,依此类推……,最后再用隔板法解决.
变式训练(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,不同放法有多少种?(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,不同的方法有多少种?
1.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种数是(　　)A.5 040B.36C.18D.20
解析 最高的同学只能站在中间,他别无选择;从剩下的6名同学中任选3名,有 种不同的方法,他们由高到低的排列次序唯一;剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一.∴不同的排法共有 =20(种).
2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动,若男生甲和女生乙不能同时参加,则不同的选派方案共有(　　)A.25种 B.35种C.820种D.840种
3.某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有　　　　　种(用数字作答). 
解析 分两类,A类选修课2门,B类选修课1门,或者A类选修课1门,B类选修课2门,因此,共有 =30种选法.
4.某社区服务站将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分别去三个不同的社区宣传肾脏保健知识,不同的分配方案有　　　　　种(用数字作答). 
5.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,求不同取法的种数.