数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题08二次函数与一元二次方程、不等式（讲）

1．一元二次不等式的概念及形式

(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

(2)形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；

②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；

④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

2．一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系

(1)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

(2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．

(3)三个“二次”之间的关系：

1．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，且二次项系数为正，故的解集为空集.

故选：D.
2．不等式的解集（   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，如果展开，其二次项系数为负，对应抛物线开口向下，大于0解集为“两根之间”，故解集为，所以正确选项为D．
3．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

原不等式在内有解等价于在内有解，

设函数，

所以原问题等价于

又当时，，

所以.

故选：A.
4．若关于的不等式的解集为，则等于（　　）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

由题意知，和是方程的两个根，

则由根与系数的关系，得，

解得，

所以．

故选D．
5．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设该厂每天获得的利润为元，

则，，

根据题意知，，解得：，

所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．

重要考点一：一元二次不等式的解法

【典型例题】解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）或；（2）；（3）或.

【解析】

（1）不等式即为，解得或，

因此，不等式的解集为或；

（2）不等式即为，解得，

因此，不等式的解集为；

（3）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.

【题型强化】解不等式:

（1） ；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）不等式化为，

，

不等式的解集为；

（2）,

恒成立，

不等式的解集为R.

【收官验收】求下列不等式的解集：

（1）；   

（2）．

【答案】（1）或（2）．

【解析】

（1）原不等式可化为．

，方程的解是，．

所以原不等式的解集是或．

（2）原不等式变形为．

，方程无解．

所以原不等式的解集是．

【名师点睛】

解一元二次不等式的一般步骤：

第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．

第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．

第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．

第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．

重要考点二：“三个二次”关系的应用

【典型例题】若不等式的解集是，求不等式的解集．

【答案】

【解析】

由已知条件可知，且方程的两根为，；

由根与系数的关系得解得．

所以原不等式化为解得

所以不等式解集为

【题型强化】关于的不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）关于的不等式的解集为，

∴，且﹣1和2是方程的两实数根，

由根与系数的关系知，，解得；

（2）由（1）知，时，

不等式为，

∴不等式的解集是.

【收官验收】若不等式的解集是.

（1）求不等式的解集；

（2）已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意知，关于的二次方程的两根为和，且，

由韦达定理得，解得，

不等式即为，即，解得.

因此，不等式的解集为；

（2），由题意可知，关于的二次方程的两根为和，

由韦达定理得，解得，

所以，不等式即为，即，

解得，因此，关于的不等式的解集为.

【名师点睛】

1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．

2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．

重要考点三：忽视二次项系数的符号致误

【典型例题】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

当，即时，

原不等式可化为恒成立，

满足不等式解集为，

当，即时，

若不等式的解集是，

则，

解得：；

综上所述若不等式的解集是，的取值范围为．

故选：A

【题型强化】关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

当时，得，不符合题意；

当时，且，解得．

故选C．

【收官验收】已知不等式的解集是,,则不等式的解集是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

不等式的解集是

所以的两个根分别为

因为,所以,所以

由韦达定理可知,

由,可知

因为,所以可设的解集为.由于,所以

则

因为,

所以

解方程组可得

所以不等式的解集为

故选:A

重要考点四：一元二次不等式的实际应用

【典型例题】对长为800m，宽为600m的一块矩形土地进行绿化，要求四周种花（花带宽度相等），中间种草坪，要求草坪面积不少于总面积的一半，求花带宽度的取值范围.

【答案】

【解析】

设花卉带宽度为xm (0<x<300)，则中间草坪的长为(800-2x) m，宽为(600-2x) m,

根据题意可得: (800-2x) (600-2x) ，

整理得: ，

，

解得0 < x≤100或x≥600.

x≥600不合题意，舍去.

故所求花卉带宽度的范围为(0， 100].

【题型强化】某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50，x∈N*)，则租出的车辆会相应减少4x辆.

（1）求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x的函数关系式；

（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?

【答案】（1）y=-40x2+800x+60000(1≤x≤50，x∈N*)；（2）390元或400元或410元.

【解析】

（1）由题意可得每辆车一天的租金为(300+10x)元，租出的车辆为(200-4x)辆，

故该汽车租赁公司每天的收入y=(300+10x)(200-4x)=-40x2+800x+60000(1≤x≤50，x∈N*).

（2）由题意可得-40x2+800x+60000>63840，即x2-20x+96<0，

解得8<x<12.

因为x∈N*，所以x=9或x=10或x=11，则300+10x=390或400或410.

故每辆汽车的出租价格可定在为390元或400元或410元.

【收官验收】十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.

（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），

化简得，（）.

由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.

重要考点五：含参数的一元二次不等式的解法

【典型例题】求关于x的不等式的解集，其中a是常数.

【答案】当a<－1时，原不等式的解集为(a，－1)；当a=－1时，原不等式的解集为；当a>－1时，原不等式的解集为(－1，a).

【解析】

解依题意知方程的根为x1=，x2=a，且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线.

当a<时，如图，

一元二次函数y=x2十(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(a，0)与(，0)，所以原不等式的解集为(a，).

当a=时，如图，

一元二次函数y=x2+(1－a)x－a的图象与x轴只有一个交点(－1，0).所以原不等式的解集为.

当a－1时，如图，

一元二次函数y=x2十(1－a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(－1，0)与(a，0).所以原不等式的解集为(－1，a).

综上所述，当a<－1时，原不等式的解集为(a，－1)；

当a=－1时，原不等式的解集为；

当a－1时，原不等式的解集为(－1，a)．

【题型强化】解关于的不等式：．（且）．

【答案】时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：

【解析】

因为，所以；

若，解得：；

若，，解得：；

若，，解得：；

若，，解得：或；

综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：

【收官验收】已知.

（1）解关于x的不等式；

（2）若时，恒成立求实数a的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】

（1）不等式可化为，

①当时，不等式的解集为；

②当时，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为；

（2）不等式可化为，

若时，恒成立，有，解得，

故时，恒成立，则实数a的取值范围为.

【名师点睛】

解含参数的一元二次不等式时：

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；

(2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论；

(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

重要考点六：恒成立问题中忽略二次项系数为零致误

【典型例题】不等式对任意恒成立的充要条件是__________．

【答案】

【解析】

当时，显然满足条件，

当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：

综上，，

所以不等式对任意恒成立的充要条件是，

故答案为：

【题型强化】若关于x的不等式ax2+(3﹣a)x+1＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_____．

【答案】．

【解析】

时，不等式为，在上不恒成立，

时，，解得．

故答案为：．

【收官验收】若不等式 对任意实数均成立，则实数的取值范围是_________

【答案】

【解析】

由题意，不等式恒成立，可化为恒成立，当，即时，不等式恒成立，符合题意；

 当时，要使不等式恒成立，需 ，

解得，综上所述，所以的取值范围为．

故答案为：

重要考点七：不等式恒成立问题

【典型例题】若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】

注意到方程的两根分别为－1和3，于是讨论如下.

当时，原不等式变为，显然对任意不会恒成立，所以不适合题意.

当时，原不等式变为，显然对任意恒成立，所以适合题意.

当，且时，依题意知应满足

（满足前提条件）.

综上知，所求实数的取值范围是.

【题型强化】已知，．

（1）若，解不等式；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）当，不等式即，即，解得，或，

故不等式的解集为，或．

（2）由题意可得恒成立，

当时，显然不满足条件，

当时，要使得恒成立

则．

解得，故的范围为．

【收官验收】已知函数

（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由题意得在R上恒成立，

∴，

解得，

∴实数的取值范围为．

（2）由题意得成立，

∴成立．

令，

则在区间上单调递增，

∴，

∴，

解得，

∴实数的取值范围为．

【名师点睛】

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.

2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为M，最小值为m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.