高中数学4.2 指数函数教学设计

专题14指数函数（讲）

1．指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.

[知识点拨]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：仅有自变量x；

(3)系数：ax的系数是1.

2．指数函数的图象和性质

指数函数的图象和性质如下表所示：

[知识点拨]　(1)a>1是“一撇”，0<a<1是“一捺”；

(2)图象位于x轴上方；

(3)当x＝0时，y＝1；

(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．

3．比较幂的大小

比较幂的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

4．有关指数型函数的性质

(1)求复合函数的定义域

形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．

求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．

求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．

(2)判断复合函数的单调性

令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．

二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．

1．若指数函数（且）的图象经过点，则______.

2．若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.

3．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．

4．已知函数的图像经过第二、三、四象限，，则的取值范围是_______．

5．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．

重要考点一：指数函数的概念

【典型例题】已知函数为指数函数，则        .

【题型强化】下列函数是指数函数的是________(填序号)．

①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.

【收官验收】已知指数函数图像经过点，则_____.

【名师点睛】

判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．

重要考点二：指数函数的图象

【典型例题】如图，是指数函数①、②③、④的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【题型强化】函数的图象可能是          (　 　)

A． B．

C． D．

【收官验收】在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（    ）．

A． B． C． D．

【名师点睛】

指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．

重要考点三：指数函数中忽视对底数的分类讨论致误

【典型例题】已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值.

【题型强化】已知函数且的图象经过点．

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围．

【收官验收】已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值.

重要考点四：指数型函数图象过定点问题

【典型例题】函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______．

【题型强化】函数（且）的图象恒过定点_______________.

【收官验收】已知函数（其中且）的图象恒过定点P，则点P坐标是_________.

【名师点睛】

指数型函数过定点的求法：

求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图象所过的定点．

重要考点五：指数型函数的定义域与值域

【典型例题】设.

（1）求的值域；

（2）证明为上的增函数.

【题型强化】求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【收官验收】求下列函数的定义域、值域.

（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.

【名师点睛】

1.函数单调性在求函数值域中的应用

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．

2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域．

函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．

(2)值域．

①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

重要考点六：幂式大小的比较

【典型例题】设则的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

【题型强化】若a<0，则0.5a, 、5a 、5－a的大小关系是（    ）

A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a

【收官验收】已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【名师点睛】

比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．

重要考点七：指数型函数的奇偶性

【典型例题】设函数，其中．

（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；

（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；

（3），，解关于x的不等式．

【题型强化】已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）用定义证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．

【收官验收】已知定义域为的函数，是奇函数.

（1）求，的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

重要考点八：指数型函数的单调性

【典型例题】（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的单调区间．

【题型强化】已知函数

（1）若，求的单调区间；

（2）若的最大值为3，求实数的值；

（3）若的值域是，求实数的值

【收官验收】已知函数

（1）求的单调区间；

（2）若的最大值为，求a的值

重要考点九：换元时忽视中间变量的范围致误

【典型例题】求函数在区间上的值域；

【题型强化】设，求函数的最小值.

【收官验收】求下列函数的值域和单调区间：

（1）；

（2）.

【名师点睛】

用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元”的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的取值范围．

重要考点十：数形结合思想的应用——图形变换技巧

【典型例题】画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.

【题型强化】已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.

（1）求该函数的解析式，并画出图象；

（2）判断该函数的奇偶性和单调性.

【收官验收】设.

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

【名师点睛】

1．平移变换

当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．

2．对称(翻折)变换

y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．