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数学九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质教案及反思
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这是一份数学九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质教案及反思，共8页。教案主要包含了学习目标，学习重难点，知识梳理，课堂引入，应用举例，拓展提升，达标测评，知识网络等内容，欢迎下载使用。
(续表)
(续表)
(续表)
典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
理解并掌握相似三角形周长的比、对应边上的中线的比、对应边上的高线的比、对应角的角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能用这些知识灵活地解决问题．
2．解决问题
经历探索相似三角形、相似多边形性质的过程，培养主动探究、合作交流的习惯和
严谨治学的态度，培养数学的应用意识．
3．数学思考
让学生经历从特殊到一般的过程，体会有限数学归纳法的魅力，渗透类比和转化的方法和思想．
4．情感态度
在学习和探讨的过程中，体验由特殊到一般的认知规律；通过合作交流，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．
【学习重难点】
1．重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方．
课前延伸
【知识梳理】
一、基础知识填空
1．相似三角形的性质
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形__相似__；
(2)两角分别__相等__的两个三角形__相似__；
(3)两边__成比例__且夹角__相等__，两个三角形相似；
(4)三边__成比例__的两个三角形相似．
二、预习思考题
(1)全等三角形周长__相等__，对应高__相等__，对应边的中线__相等__，对 应角平分线__相等__，面积__相等__；
(2)相似三角形的周长的比等于__相似比__，对应中线的比等于__相似比__，对应高的比等于__相似比__，对应角平分线的比等于__相似比__；
(3)相似三角形的面积比等于__相似比的平方__．
课内探究
一、应用新知
1．判断：
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍．( √ )
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．( × )
2．如图27－2－172，在△ABC中，DE∥BC，AG⊥BC于点G，AG交DE于点H，已知DE＝10，BC＝15，AG＝12，则AH＝__8__．
图27－2－172 图27－2－173
二、例题精讲点拨：
例1 如图27－2－173，在△ABC和DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求 DEF的周长和面积．
例2 某校准备耗资1600元，在一块上、下两底分别为10 m，20 m的梯形ABCD空地上种植花木，AD∥BC.
(1)如果在△AMD和△BMC地上种植太阳花，单价为8元/m2，将△AMD地上种满花，共花了160元，请计算种满△BMC地上所需的费用；
(2)如果其余地上要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完准备的1600元资金？
图27－2－174 图27－2－175
三、课堂反馈训练
1．如图27－2－175，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比；
(2)若S1△AEF＝8 cm2，求S△CDF.
2.海陵中学有两个形状相似的三角形空地，欲招标植成草坪，承包租金分别为10000元和15000元，李爷爷准备承包其中一个．在没有任何测量工具的情况下，不知道承包哪一个利润最大(假设单位面积的利润一样)，他让孙子小明帮他算一下．于是小明想了一个办法：以同样的速度绕空地一周，分别用了8分钟和12分钟．你知道小明会给爷爷提出什么建议吗？
课后提升
一、课后练习题：
1．如图27－2－176，DE∥BC，S△ADE＝S四边形BCED，则AD∶BD＝__(eq \r(2)＋1∶1)__．
2．已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且大三角形的面积为400 cm2，则小三角形的面积为__36_cm2__，又知这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__240_cm，800_cm__．
3．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为__eq \f(\r(5)＋1,2)__．
图27－2－176 图27－2－177
4．如图27－2－177，E是矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8.
(1)求△OAB和四边形AOED的面积；
(2)若BE⊥AC，求BE的长．课题
27.2.2 相似三角形的性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解并掌握相似三角形及相似多边形的对应高、中线、角平分线的性质；
2.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质；
3.能够运用相似三角形及相似多边形的性质解决相关问题．
数学思考
经历相似三角形各条性质的简单推理过程，进一步深化对相似三角形的认识．
问题解决
1.学会把多边形问题转化为三角形问题来解决的方法；
2.能够运用相似三角形和相似多边形的性质解决有关问题．
情感态度
通过对性质的发现和论证的过程，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情、增强探究意识．
教学
重点
相似三角形的性质．
教学
难点
探究相似三角形的性质．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
1.相似三角形的相似比指的是什么？相似三角形的性质有哪些？
2.相似三角形的判定方法有哪些？
复习相似比及根据定义得到的性质，为进一步探究性质做准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图27－2－164，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
图27－2－164
问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
问题4：据此，你可以发现相似三角形的哪些性质？
按照由特殊到一般的研究问题的方法，由直角三角形开始研究相似三角形的性质，能激发学生的内在需要和好奇心．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.相似三角形对应高的比与相似比的关系：
问题：如图27－2－165，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
图27－2－165
师生活动：学生先各自思考，然后小组内讨论解答，并写出过程，教师做好辅导和总结.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′.
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′.
师生共同总结：相似三角形对应高的比等于相似比.
2.相似三角形对应中线、角平分线的比与相似比的关系：
问题：已知：如图27－2－166，△ABC ∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE，A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′＝k，那么AD与A′D′，AE与A′E′之间有怎样的关系？
图27－2－166
师生总结：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
3.相似三角形周长、面积之比与相似比的关系：
问题：如图27－2－167，△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B′)＝k，AD，A′D′分别为BC，B′C ′ 边上的高线.
(1)这两个相似三角形周长的比为多少？
(2)这两个相似三角形面积的比为多少？
师生活动：教师指导学生写出解答过程. 图27－2－167
解：(1)∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴AB∶A′B′＝BC∶B′C ′＝AC∶A′C′＝k.
由合比性质可知：(AB＋BC＋AC) ∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.
(2)由题意可知，△ABD∽△A′B′D′，
∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k.
因此可得△ABC的面积∶△A′B′C′的面积＝(AD·BC)∶(A′D′·B′C′)＝k2.
师生总结：两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方.
1.通过问题的形式，指导学生进行几何方法的论证，提高学生参与数学学习的意识，培养学生发现、概括、证明规律的能力.
2.通过层层设疑，引导学生不断思考、积极探索，让学生感受发现知识的过程，从而培养学生学数学的兴趣，增强学生学习的意识.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图27－2－168，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为12eq \r(5)，求△DEF的面积及边EF上的高.
图27－2－168
教师提示：1.本题中的两个三角形相似吗？2.你能根据相似三角形的性质进行解答吗？
运用相似三角形的性质求底边上的高和三角形的面积.
【拓展提升】
例2 如图27－2－170，M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，则△ABC的面积是__144__.
图27－2－170
通过例题的设置不仅达到巩固知识的目的，而且也实现了将知识向能力的转化.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积之比为(C)
A.1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
2.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高的比为(D)
A.4∶1 B．1∶4 C．16∶1 D．2∶1
3.已知△ADE∽△ABC，AM，AN分别是△ADE和△ABC的高，且周长分别是5和15，则AM∶AN＝__1∶3__.
4.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9∶4，它们的对应对角线的比为__3∶2__，若它们的周长之差为16 cm，则四边形ABCD的周长为__48_cm__.
图27－2－171
5.如图27－2－171，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
请同学们回顾问题：
(1)这节课我们学到了哪些知识？
(2)我们是用哪些方法获得这些知识的？
学生独立思考，相互交流，相互提醒，教师点评，并进行最后的归纳.
2.布置作业：
教材第42页习题27.2第6、7题.
对于相似三角形性质的归纳，是学生对相似三角形特征的再认识，是对所学知识的提炼和升华，既突出了重点，又培养了学生的概括能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
在教学过程中，通过充分的计算来验证学生的猜想，结合具体的实例，体现从特殊到一般的认知规律，通过研究相似三角形的内在联系，得到相似三角形的性质，然后通过例题与练习，加强学生对知识的理解与应用，最后通过变式应用，进一步开发学生的潜能.
②[讲授效果反思]
讲解难点问题时，注意：(1)复习合比性质是解决相似三角形周长之比等于相似比的关键；(2)加强对图形的分析和探究.
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，通过学生自主的活动，培养了其动手能力和探究能力；通过合作交流，树立了学习的信心和团队合作的精神.
④[练习反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
(续表)
(续表)
(续表)
典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
理解并掌握相似三角形周长的比、对应边上的中线的比、对应边上的高线的比、对应角的角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能用这些知识灵活地解决问题．
2．解决问题
经历探索相似三角形、相似多边形性质的过程，培养主动探究、合作交流的习惯和
严谨治学的态度，培养数学的应用意识．
3．数学思考
让学生经历从特殊到一般的过程，体会有限数学归纳法的魅力，渗透类比和转化的方法和思想．
4．情感态度
在学习和探讨的过程中，体验由特殊到一般的认知规律；通过合作交流，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．
【学习重难点】
1．重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方．
课前延伸
【知识梳理】
一、基础知识填空
1．相似三角形的性质
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形__相似__；
(2)两角分别__相等__的两个三角形__相似__；
(3)两边__成比例__且夹角__相等__，两个三角形相似；
(4)三边__成比例__的两个三角形相似．
二、预习思考题
(1)全等三角形周长__相等__，对应高__相等__，对应边的中线__相等__，对 应角平分线__相等__，面积__相等__；
(2)相似三角形的周长的比等于__相似比__，对应中线的比等于__相似比__，对应高的比等于__相似比__，对应角平分线的比等于__相似比__；
(3)相似三角形的面积比等于__相似比的平方__．
课内探究
一、应用新知
1．判断：
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍．( √ )
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．( × )
2．如图27－2－172，在△ABC中，DE∥BC，AG⊥BC于点G，AG交DE于点H，已知DE＝10，BC＝15，AG＝12，则AH＝__8__．
图27－2－172 图27－2－173
二、例题精讲点拨：
例1 如图27－2－173，在△ABC和DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求 DEF的周长和面积．
例2 某校准备耗资1600元，在一块上、下两底分别为10 m，20 m的梯形ABCD空地上种植花木，AD∥BC.
(1)如果在△AMD和△BMC地上种植太阳花，单价为8元/m2，将△AMD地上种满花，共花了160元，请计算种满△BMC地上所需的费用；
(2)如果其余地上要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完准备的1600元资金？
图27－2－174 图27－2－175
三、课堂反馈训练
1．如图27－2－175，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比；
(2)若S1△AEF＝8 cm2，求S△CDF.
2.海陵中学有两个形状相似的三角形空地，欲招标植成草坪，承包租金分别为10000元和15000元，李爷爷准备承包其中一个．在没有任何测量工具的情况下，不知道承包哪一个利润最大(假设单位面积的利润一样)，他让孙子小明帮他算一下．于是小明想了一个办法：以同样的速度绕空地一周，分别用了8分钟和12分钟．你知道小明会给爷爷提出什么建议吗？
课后提升
一、课后练习题：
1．如图27－2－176，DE∥BC，S△ADE＝S四边形BCED，则AD∶BD＝__(eq \r(2)＋1∶1)__．
2．已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且大三角形的面积为400 cm2，则小三角形的面积为__36_cm2__，又知这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__240_cm，800_cm__．
3．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为__eq \f(\r(5)＋1,2)__．
图27－2－176 图27－2－177
4．如图27－2－177，E是矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8.
(1)求△OAB和四边形AOED的面积；
(2)若BE⊥AC，求BE的长．课题
27.2.2 相似三角形的性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解并掌握相似三角形及相似多边形的对应高、中线、角平分线的性质；
2.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质；
3.能够运用相似三角形及相似多边形的性质解决相关问题．
数学思考
经历相似三角形各条性质的简单推理过程，进一步深化对相似三角形的认识．
问题解决
1.学会把多边形问题转化为三角形问题来解决的方法；
2.能够运用相似三角形和相似多边形的性质解决有关问题．
情感态度
通过对性质的发现和论证的过程，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情、增强探究意识．
教学
重点
相似三角形的性质．
教学
难点
探究相似三角形的性质．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
1.相似三角形的相似比指的是什么？相似三角形的性质有哪些？
2.相似三角形的判定方法有哪些？
复习相似比及根据定义得到的性质，为进一步探究性质做准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图27－2－164，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
图27－2－164
问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
问题4：据此，你可以发现相似三角形的哪些性质？
按照由特殊到一般的研究问题的方法，由直角三角形开始研究相似三角形的性质，能激发学生的内在需要和好奇心．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.相似三角形对应高的比与相似比的关系：
问题：如图27－2－165，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
图27－2－165
师生活动：学生先各自思考，然后小组内讨论解答，并写出过程，教师做好辅导和总结.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′.
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′.
师生共同总结：相似三角形对应高的比等于相似比.
2.相似三角形对应中线、角平分线的比与相似比的关系：
问题：已知：如图27－2－166，△ABC ∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE，A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′＝k，那么AD与A′D′，AE与A′E′之间有怎样的关系？
图27－2－166
师生总结：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
3.相似三角形周长、面积之比与相似比的关系：
问题：如图27－2－167，△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B′)＝k，AD，A′D′分别为BC，B′C ′ 边上的高线.
(1)这两个相似三角形周长的比为多少？
(2)这两个相似三角形面积的比为多少？
师生活动：教师指导学生写出解答过程. 图27－2－167
解：(1)∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴AB∶A′B′＝BC∶B′C ′＝AC∶A′C′＝k.
由合比性质可知：(AB＋BC＋AC) ∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.
(2)由题意可知，△ABD∽△A′B′D′，
∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k.
因此可得△ABC的面积∶△A′B′C′的面积＝(AD·BC)∶(A′D′·B′C′)＝k2.
师生总结：两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方.
1.通过问题的形式，指导学生进行几何方法的论证，提高学生参与数学学习的意识，培养学生发现、概括、证明规律的能力.
2.通过层层设疑，引导学生不断思考、积极探索，让学生感受发现知识的过程，从而培养学生学数学的兴趣，增强学生学习的意识.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图27－2－168，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为12eq \r(5)，求△DEF的面积及边EF上的高.
图27－2－168
教师提示：1.本题中的两个三角形相似吗？2.你能根据相似三角形的性质进行解答吗？
运用相似三角形的性质求底边上的高和三角形的面积.
【拓展提升】
例2 如图27－2－170，M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，则△ABC的面积是__144__.
图27－2－170
通过例题的设置不仅达到巩固知识的目的，而且也实现了将知识向能力的转化.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积之比为(C)
A.1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
2.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高的比为(D)
A.4∶1 B．1∶4 C．16∶1 D．2∶1
3.已知△ADE∽△ABC，AM，AN分别是△ADE和△ABC的高，且周长分别是5和15，则AM∶AN＝__1∶3__.
4.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9∶4，它们的对应对角线的比为__3∶2__，若它们的周长之差为16 cm，则四边形ABCD的周长为__48_cm__.
图27－2－171
5.如图27－2－171，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
请同学们回顾问题：
(1)这节课我们学到了哪些知识？
(2)我们是用哪些方法获得这些知识的？
学生独立思考，相互交流，相互提醒，教师点评，并进行最后的归纳.
2.布置作业：
教材第42页习题27.2第6、7题.
对于相似三角形性质的归纳，是学生对相似三角形特征的再认识，是对所学知识的提炼和升华，既突出了重点，又培养了学生的概括能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
在教学过程中，通过充分的计算来验证学生的猜想，结合具体的实例，体现从特殊到一般的认知规律，通过研究相似三角形的内在联系，得到相似三角形的性质，然后通过例题与练习，加强学生对知识的理解与应用，最后通过变式应用，进一步开发学生的潜能.
②[讲授效果反思]
讲解难点问题时，注意：(1)复习合比性质是解决相似三角形周长之比等于相似比的关键；(2)加强对图形的分析和探究.
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，通过学生自主的活动，培养了其动手能力和探究能力；通过合作交流，树立了学习的信心和团队合作的精神.
④[练习反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
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