小升初冲刺名校数学拓展——第19节：杂题选讲

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模块一：字母表示数


【例1】请你在算式1+2×3+4×5+6中添上一个小括号，使算式的得数最大，最大的得数是 。
【例2】社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善．．．一共24个字，现有4、4、10、10这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24。这条算式是 。
【例3】已知a－b=3求2a+4－2b= 。
A.8 B.10 C.12 D.14
【例4】有白、红、黑三种颜色的球，白球、红球合起来一共10个，红球、黑球合起来一共7个，黑球、白球合起来一共5个，最多的一种颜色的球是 球，有 个。
【例5】▲●■分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“?”处应放“■”的个数为 。
A.2 B.3 C.4 D.5
1.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为 。
A.10g，40g B. 15g，35g C.20g，30g D.30g，20g
2.已知，则3a+2b= 。
A.0.8 B.1.2 C.2.4 D.4.8
3.已知△+△+O=19，O+△=12，那么△和O分别是( )
A.9、8 B.7、6 C.7、5
4.在里填上适当的运算符号，使等式成立。
5.算24点:用四则运算符号＋、－、×、÷，括号及四个数3、5、7、
8组成算式(每个数必须用且只能用一次)，最后得数为24，算式是 。
6.A、B、C三个数，满足A+B=252，B+C=197，C+A=149，那么A= ，C= 。
7.算式中的口和△各代表一个数。已知(口+△)×0.3=4.2，口÷0.4=12。那么，△（ ），口=（ ）。
模块二：计数原理
【例1】艳艳有3件不同的上衣、4条不同的裤子和6双不同的鞋子。若上衣、裤子和鞋子搭配着穿，一共有（ ）种不同的穿法。
A.72 B.42 C.30 D.13
【例2】李形使用计算机从小到大写出所有三位数，先将其中的奇数用红笔涂色，再把偶数用绿笔涂色。请问这些数中一共有 个红色的“0”。
【例3】火年从A站到B站途中还要经过2个车站，则A、B两站间共需准备（ ）种车票。
A.6 B.12 C.16
1.有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有1 到6 这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有（ ）种不同的取值。
2.5名运动员进行羽毛球单打比赛，如果每两人之间要进行一场比赛，一共要进行（ ）。
3.用4、9、0、1四张数字卡片，能摆成（ ）个三位数
4.一列火车从A站行驶到B站的途中经过五个车站，则在这条线路上需要准备 种火车票。
模块三：方案问题
【例1】二年级32名小朋友到公国租船游玩，大船限乘6人，租金30元，小船限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱?应付租金多少元?

【例2】公园只售两种门票：个人每张5元，10人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票都可优惠10%，学校共有208人去公园游玩，最少付多少元?

【例3】(10分)六年级(1)班和(2)班要组织学生毕业旅行，经过咨询，有两家旅行社的报价都是每人150元，经过协商，两家旅行社给出了不同的优惠方案，甲旅行社:所有的人按原价的9折收费；乙旅行社:所有人按原价收费，同时给每班2个免费名额，两班共有4名带队老师，每班有35名学生，学生可自愿报名参加毕业旅行。那么，请问该选择哪家旅行社能使总费用最少?

1.现有球迷150人欲同时租用A、B、C种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有 。
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
2.同学们去暨阳湖公园活动，53人去划船，每条小船坐3人，租金2元，每条大船坐5人，租金3元，他们最少要付租金（ ）元。
3.某健身中心发行两种会员卡:银卡会员费每年630元，每次健身需缴纳15元；金卡会员费每年840元，每次健身需要缴纳5元，某人想购买一年金卡，则他一年内至少锻炼（ ）次才能比购买银卡更划算。
A.22 B.21 C.20
4.六(1)班的师生共28人去公园划船，每只大船限坐6人，每小时租金8元；每只小船限坐4人，每小时租金6元。(划船时间为1小时)
(1)请你设计三种租船方案(不得超载，也不能留空位)
(2)你认为最省钱的方案是怎样的?请说明理由。

模块四：逻辑推理
【例1】六年级3班有44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长，每人一票。A得到23张选票，B的选票占第二位，C、D的选票数相同，E的选票数最少，只得了4票，那么B得到了（ ）张选票
A.6 B.7 C.8 D.9
【例2】圆圈上有6个点，以这6个点为端点可以连成没有公共端点且互不相交的3条线段。不同的连接方法有 种。
【例3】有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有1-6这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有 种不同的取值。
【例4】甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课。
①化学老师和数学老师住在一起；②甲老师最年轻；③数学老师和丙老师爱下象棋；
④物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻；⑤三人中最年长的老师住的家比其他两位老师远。问：三位老师各自教哪两门课？请说明理由。
1.已知5个饮料瓶可以换1瓶饮料，某班的同学们共喝了161瓶饮料，其中有一些是用喝过的空瓶换来的，那么他们至少要买 瓶。
A.128 B.129 C.130 D.131
2.电视台播放一部30集的动画片，要求每天播放的集数不同，最多播放（ ）天
A、6 B、7 C、8 D、9
3六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、D，第一次到会的有C、D、E，第三次到会的有B、C、F那么与A同班的是（ ）
A.E B.C C.F
4学校合唱团共有55名队员，暑假期间有一个紧急演出，王老师需要尽快通知到每一个队员。现在用打电话方式进行通知，一个人通知到下一人需要1分钟，队员之间都可以相互打电话通知，被通知到的队员马上帮老师通知下一个队员。从王老师通知第一个学生开始，最少化（ ）分钟就能通知到每个队员。
A.7 B.6 C.5
5.若圆形纸片，每个均分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形。问从这些圆形彩色纸片中至少取出 张，方能确保两张纸片涂色相同。
6.有个皮球从8米高处落下，每次着地后能反弹到原来高度的一半再落下。当这个皮球第5次着地时，皮球经过 米。
7.现有1克、2克、5克砝码各一个，那么在天平秤上能称出 种不同重量的物体。(砝码只能放在1个托盘中)
8.有一城镇共15000 户居民，每户的子女不超过2 人，—部分家庭有1个孩子， 余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子 人
9.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每一个小朋友都分到礼物．分礼物的不同方法一共有（ ）种．
10.编号分别为1、2、3、4的4名同学参加网球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，1号赛了3场，2号赛了2场，3号赛了1场，求4号赛了几场。(请用图解法分析推导过程)

模块五：最不利原则
【例1】9把钥匙配9把锁，但弄乱了钥匙和锁，最多试 次，就能全部找对相应的钥匙和锁；如果运气特别好，最少也需要 次。
【例2】从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人，统计37票后的结果是：小红15票，小明10票，小华12票，小红至少再得 张票才能保证票数最多当选为班长。 内应填（ ）。
A.7 B.6 C.5 D.4
1一个口袋中有红、黄、蓝三种大小相同、颜色不同的小球各10个，要保证一次摸出10个相同颜色的小球，至少要摸出（ ）个
A.30 B.29 C.28
2.有13个乒乓球，其中12个质量相同，另一个较轻一点，如果用天平称，至少（ ）次保证能找出这个乒乓球。
A.1 B.2 C.3 D.4
3.飞镖比赛的环数有1至10共十种环数，小明投了5镖，成绩是41环，则他至少有一镖不低于 环。
4.有红球10个，蓝球13个，黄球7个，要摸出3种颜色的球，则最少要摸出 个球。
5.布袋里有黄、蓝、红三种颜色的筷子各8根，它们除了颜色不同外完全相同，现在从中至少摸出 根筷子，才能保证有2双不同颜色的筷子。
6.王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045□□，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打___ __次。
模块六：其它问题举例
【例1】学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少 个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
【例2】小华想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；拖地板的时间是洗衣服时间的；擦家具要用10分钟；晾衣服的时间是洗衣服时间的．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
【例3】一所大学的留学生中，有的人懂俄语，有的人懂英语，这两种语言都懂的人占，另外有8人这两种语言都不懂，问：这所大学的留学生共有多少人
【例4】有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时，一根比较粗，长20厘米，可以点4小时；同时点燃这两稂蜡烛，几小时后两根蜡烛一样长?(8分)
（1）请你仔细观察图1中蜡烛燃烧的图示，然后把蜡烛燃烧的情况表示在图2的方格图中。
（2）请将图1图2两个图画在同一幅图（图3)
中，请写出点燃几小时后两根蜡烛一样高？
此时的高度是多少?
1.把16个书包放到5个抽屉里，则至少有一个抽屉放 个或更多书包。
2有13瓶水，其中12瓶质量相同，只有一瓶质量稍重一些。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。
A.4 B.2 C.3
3.某班有学生40名，在一次数学测验中，做对第一题的有25人，做对第二题的有19人，两题都做对的有9人，两题都没有做对的有（ ）人。
A.4 B.5 C.6
4.小华双体日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟。
A.41 B.25 C.26 D.21
5小红和妈妈在家洗澡，热水器内载有250升水，小红洗了6分钟，用了50%的水，然后停止洗澡，6分钟后，妈妈又去洗，妈妈也洗了6分钟，把热水器内的水刚好用完。下面（ ）图表示了水量随时间发生变化的过程
第19节：杂题选讲参考答案
模块一：字母表示数

【例1】请你在算式1+2×3+4×5+6中添上一个小括号，使算式的得数最大，最大的得数是 77 。
【例2】社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善．．．一共24个字，现有4、4、10、10这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24。这条算式是 (10×10-4)÷4 。
【例3】已知a－b=3求2a+4－2b= B 。
A.8 B.10 C.12 D.14
【例4】有白、红、黑三种颜色的球，白球、红球合起来一共10个，红球、黑球合起来一共7个，黑球、白球合起来一共5个，最多的一种颜色的球是 红 球，有 6 个。
【例5】▲●■分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“?”处应放“■”的个数为 B 。
A.2 B.3 C.4 D.5
1.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为 C 。
A.10g，40g B. 15g，35g C.20g，30g D.30g，20g
2.已知，则3a+2b= B 。
A.0.8 B.1.2 C.2.4 D.4.8
3.已知△+△+O=19，O+△=12，那么△和O分别是( C )
A.9、8 B.7、6 C.7、5
4.在里填上适当的运算符号，使等式成立。
5.算24点:用四则运算符号＋、－、×、÷，括号及四个数3、5、7、8组成算式(每个数必须用且只能用一次)，最后得数为24，算式是 。
6.A、B、C三个数，满足A+B=252，B+C=197，C+A=149，那么A= 102 ，C= 47 。
7.算式中的口和△各代表一个数。已知(口+△)×0.3=4.2，口÷0.4=12。那么，△（ 9.2 ），口=（ 4.8 ）。
模块二：计数原理
【例1】艳艳有3件不同的上衣、4条不同的裤子和6双不同的鞋子。若上衣、裤子和鞋子搭配着穿，一共有（ A ）种不同的穿法。
A.72 B.42 C.30 D.13
【例2】李形使用计算机从小到大写出所有三位数，先将其中的奇数用红笔涂色，再把偶数用绿笔涂色。请问这些数中一共有多少个红色的“0”。
【解析】此题其实就是求三位奇数中带0的数有几个，既然是三位奇数，百位不能为0，个位也不能为0，只有十位可以为0，即a0b，a可以取1-9，有9种可能，b为奇数，为1，3，5，7，9，有5种可能，共有9×5=45种。
【例3】火年从A站到B站途中还要经过2个车站，则A、B两站间共需准备（ B ）种车票。
A.6 B.12 C.16
1.有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有1 到6 这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有（ 16 ）种不同的取值。
2.5名运动员进行羽毛球单打比赛，如果每两人之间要进行一场比赛，一共要进行（ 10 ）。
3.用4、9、0、1四张数字卡片，能摆成（ 18 ）个三位数
4.一列火车从A站行驶到B站的途中经过五个车站，则在这条线路上需要准备 21 种火车票。
模块三：方案问题
【例1】二年级32名小朋友到公国租船游玩，大船限乘6人，租金30元，小船限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱?应付租金多少元?
【解析】大船每人付：30÷6=5(元)，小船每人付：24÷4=6(元)
5(元)＜6(元)，因此,尽量租大船省钱。
①无空座位:32=0×4+4×2，4×30+24×2=168(元)
②尽量租大船:32÷6=5…2(人)
即租5条大船,1条小船
5×30+24=174(元)
174元>168元即方案①好。
【例2】公园只售两种门票：个人每张5元，10人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票都可优惠10%，学校共有208人去公园游玩，最少付多少元?
【解析】208÷10=20…8
①购买21张团体票:21×30×(1-10%)=630×90%=567(元)
②购买20张团体票,8张个人票:20×30×(1-10%)=600×90%=540(元)
8×5=40(元)
540+40=580(元)
56738
答:最省钱的方案是租1条小船和4条大船,因为大船每人费用便宜,这种方案没有空位且大船用得最多。
模块四：逻辑推理
【例1】六年级3班有44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长，每人一票。A得到23张选票，B的选票占第二位，C、D的选票数相同，E的选票数最少，只得了4票，那么B得到了（ B ）张选票
A.6 B.7 C.8 D.9
【例2】圆圈上有6个点，以这6个点为端点可以连成没有公共端点且互不相交的3条线段。不同的连接方法有 5 种。
【例3】有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有1-6这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有 16 种不同的取值。
【例4】甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课。
①化学老师和数学老师住在一起；
②甲老师最年轻；
③数学老师和丙老师爱下象棋；
④物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻；
⑤三人中最年长的老师住的家比其他两位老师远。
问：三位老师各自教哪两门课？请说明理由。
【解析】由④得 乙>物理老师>生物老师
由②④得 甲是生物老师 丙是物理老师
由①⑤得 甲、丙两人是化学老师和数学老师
由③得 丙不是数学老师是化学老师；甲是数学老师，剩余两门功课语文和历史由乙讲授。
答：甲教生物和数学。乙教语文和历史。丙教物理和化学。
1.已知5个饮料瓶可以换1瓶饮料，某班的同学们共喝了161瓶饮料，其中有一些是用喝过的空瓶换来的，那么他们至少要买 B 瓶。
A.128 B.129 C.130 D.131
2.电视台播放一部30集的动画片，要求每天播放的集数不同，最多播放（ B ）天
A、6 B、7 C、8 D、9
3六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、D，第一次到会的有C、D、E，第三次到会的有B、C、F那么与A同班的是（ B ）
A.E B.C C.F
4学校合唱团共有55名队员，暑假期间有一个紧急演出，王老师需要尽快通知到每一个队员。现在用打电话方式进行通知，一个人通知到下一人需要1分钟，队员之间都可以相互打电话通知，被通知到的队员马上帮老师通知下一个队员。从王老师通知第一个学生开始，最少化（ B ）分钟就能通知到每个队员。
A.7 B.6 C.5
5.若圆形纸片，每个均分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形。问从这些圆形彩色纸片中至少取出 7 张，方能确保两张纸片涂色相同。
6.有个皮球从8米高处落下，每次着地后能反弹到原来高度的一半再落下。当这个皮球第5次着地时，皮球经过 23 米。
7.现有1克、2克、5克砝码各一个，那么在天平秤上能称出 7 种不同重量的物体。(砝码只能放在1个托盘中)
8.有一城镇共15000 户居民，每户的子女不超过2 人，—部分家庭有1个孩子， 余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子 15000 人
解答：因为每户居民的子女都不超过两个，一部分家庭有一个孩子，
所以另一部分或者有两个孩子，或者没有孩子；
而余下的家庭的一半每家有两个孩子，所以另一半没有孩子，
因此，全镇平均每个家庭有一个孩子，5000个家庭应有5000个孩子．
9.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每一个小朋友都分到礼物．分礼物的不同方法一共有（ 6 ）种．
10.编号分别为1、2、3、4的4名同学参加网球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，1号赛了3场，2号赛了2场，3号赛了1场，求4号赛了几场。(请用图解法分析推导过程)
【解析】

如图，4号赛了2场
模块五：最不利原则
【例1】9把钥匙配9把锁，但弄乱了钥匙和锁，最多试 36 次，就能全部找对相应的钥匙和锁；如果运气特别好，最少也需要 8 次。
【例2】从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人，统计37票后的结果是：小红15票，小明10票，小华12票，小红至少再得 张票才能保证票数最多当选为班长。 内应填（ C ）。
A.7 B.6 C.5 D.4
1一个口袋中有红、黄、蓝三种大小相同、颜色不同的小球各10个，要保证一次摸出10个相同颜色的小球，至少要摸出（ C ）个
A.30 B.29 C.28
2.有13个乒乓球，其中12个质量相同，另一个较轻一点，如果用天平称，至少（ C ）次保证能找出这个乒乓球。
A.1 B.2 C.3 D.4
3.飞镖比赛的环数有1至10共十种环数，小明投了5镖，成绩是41环，则他至少有一镖不低于 9 环。
4.有红球10个，蓝球13个，黄球7个，要摸出3种颜色的球，则最少要摸出 3 个球。
5.布袋里有黄、蓝、红三种颜色的筷子各8根，它们除了颜色不同外完全相同，现在从中至少摸出 11 根筷子，才能保证有2双不同颜色的筷子。
6.王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045□□，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打____6___次。
模块六：其它问题举例
【例1】学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少 7 个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
【例2】小华想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；拖地板的时间是洗衣服时间的；擦家具要用10分钟；晾衣服的时间是洗衣服时间的．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ 25 ）分钟．
【例3】一所大学的留学生中，有的人懂俄语，有的人懂英语，这两种语言都懂的人占，另外有8人这两种语言都不懂，问：这所大学的留学生共有多少人
【解析】

8÷=80(人)
答:这所大学的留学生共有80人
【例4】有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时，一根比较粗，长20厘米，可以点4小时；同时点燃这两稂蜡烛，几小时后两根蜡烛一样长?(8分)
（1）请你仔细观察图1中蜡烛燃烧的图示，然后把蜡烛燃烧的情况表示在图2的方格图中。
（2）请将图1图2两个图画在同一幅图（图3)中，请写出点燃几小时后两根蜡烛一样高？此时的高度是多少?
【解答】解：（30-20)÷(30÷3-20÷4)=2(小时）
答：2小时后两根蜡烛一样长。
(1)由已知条件可得图2。
(2)由已知条件可得图3。
由图2可以发现，两条线交于2小时，即两小时后，两小时后两根蜡烛一样高。此时的高度是10厘米。
1.把16个书包放到5个抽屉里，则至少有一个抽屉放 4 个或更多书包。
2有13瓶水，其中12瓶质量相同，只有一瓶质量稍重一些。假如用天平称，至少称（ C ）次能保证找出次品。
A.4 B.2 C.3
3.某班有学生40名，在一次数学测验中，做对第一题的有25人，做对第二题的有19人，两题都做对的有9人，两题都没有做对的有（ B ）人。
A.4 B.5 C.6
4.小华双体日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ B ）分钟。
A.41 B.25 C.26 D.21
5小红和妈妈在家洗澡，热水器内载有250升水，小红洗了6分钟，用了50%的水，然后停止洗澡，6分钟后，妈妈又去洗，妈妈也洗了6分钟，把热水器内的水刚好用完。下面（ C ）图表示了水量随时间发生变化的过程