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    小升初冲刺名校数学拓展——第5节:平面图形拓展 试卷

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    小升初冲刺名校数学拓展——第5节:平面图形拓展 试卷

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    这是一份小升初冲刺名校数学拓展——第5节:平面图形拓展,共12页。主要包含了2017·白广附2,2018·中大附1等内容,欢迎下载使用。

    模块一:等积变形模型
    ①等底等高的两个三角形面积相等;
    ②两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,;
    ③两个三角形底相等,面积之比等于高之比,如图②所示,;
    ④在一组平行线之间的等积变形,如图③所示;反之,如果,则可知直线AB平行于CD。
    【例1】如图,ABCD是一个长方形,AB=10厘米,AD=4厘米,E、F分别是BC,AD的中点,G是线段CD上任一点,则图中阴影部分面积为 平方厘米。
    【例2】如图所示:任意四边形,是中点,是中点,已知四边形面积是10,则阴影部分的面积是 。
    【例3】如图,平形四边形ABCD的底BC长是12厘米,线段FE长是4厘米,那么平形四边形中的阴影部分面积是 平方厘米。
    【例4】如下图,已知 ABCD 是平行四边形,AC 是对角线,AC=3CG,AE=EF=FB,△EFG 的面积是 6 平方厘米,求平行四边形 ABCD 的面积。

    【例5】在△ABC 中,D、E 和 F 分别为AC、AB、AD 的中点。△DEF 的面积是 4平方厘米。BC=5 厘米,求△ABC 以 BC为底时,它的高是多少厘米?
    【例6】图中长方形的面积是180平方厘米,S1 和S2 的面积都是60 平方厘米,阴影部分面积是多少平方厘米?

    1.梯形ABCD的面积为20,E点在BC上,三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍,BE的长为2,EC的长为5,那么三角形DEC的面积为( )。
    A. B. C. D.
    2.如图,是梯形下底的中点,则图中与阴影部分面积相等的三角形共有( )
    A.1个B.2个
    C.3个D.4个
    3.下面是梯形转化为三角形的过程,如果梯形的面积是50.24cm2,高是8cm,那么转化后,三角形的底是( )cm


    4.右图中的阴影部分的面积是( )
    A.36 B.24 C.38
    5.(如右图)一个三边长为6cm,8cm 和10 厘米的直角三角形,将它的最短边对折到斜边相重合,重叠后的三角形即阴影部分的面积是( )平方厘米。
    6.如右图,长方形 ABDC 被分成两个长方形,且AB=4AE,图中阴影部分三角形的面积为4 平方分米,长方形ADBC 的面积是( )平方分米。
    7.图中长方形ABCD的长为8厘米,宽为6厘米,E,F分别为所在边的中点,则着色部分的面积为( )平方厘米。
    如图, 边长是4厘米的正方形和直径是4厘
    米的半圆组成如图所示,其中P点是半圆的中点,点Q是正
    方形一边的中点,则阴影部分的面积为 平方厘米。
    模块二:割补法
    这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.
    【例1】求出如图阴影部分的面积, 。(单位:cm,取3.14)
    A.30.5平方厘米 B.32.5平方米
    C.35.5平方厘米 D.40.5平方厘米
    【例2】如图,AC=CD=DB=2厘米,求阴影部分的面积。
    【例3】如图,长方形ABCD中AC是10厘米,AB是8厘米,若把长方形绕C点旋转90°,求AD边所扫过的面积(阴影部分)。

    1.如图所示, 正方形的边长为10cm , 则图中阴影部分的面积为 。
    2.阴影部分的面积为 平方厘米。(取3.14)
    3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)(共5分)

    4.已知如图,是一个等腰直角三角形,直角边长8厘米,求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
    5.如图,求阴影部分的面积。(单位:厘米)(π取3.14)

    模块三:代数法与和差法
    1、代数法
    将图形按形状、大小分类,并设合适的未知数,通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法,或者通过未知数建立等量关系,不一定要求出未知数。
    2、和差法
    有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的,再利用这些规则图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的。
    【例1】如右图,直角梯形 ABCD 的上底 BC=10 厘米,下底 AD=14 厘米,高 CD=5厘米,又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三角形 DEF 的面积。
    【例2】有四条线段的长度已知,还有两个角是直角,那么四边形(阴影部分)的面积是多少?
    【例3】【2017·白广附2】边长为6厘米的正方形每条边都被三等分,求阴影部分图形的面积。
    1.如图,边长为(m+3)的正方形纸片,剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则周长是( )。
    A.4m+10 B.4m+12
    C.2m+8 D.2m+12
    2.下图中空白部分的面积是80平方厘米,求阴影部分的面积为( )。(取314)
    A.77 B.78 C.80 D.83
    3.如图,两个边长为12 厘米的正方形相互错开3 厘米,那么图中阴影平行四边形的面积是 平方厘米。
    4.如图, 图的直径d=10cm(取3.14)。则阴影部分的面积是 cm 2。
    第3题 第4题
    5.下图是一个梯形,求梯形里阴影部分的面积。(单位:分米)
    6.求图中阴影部分的面积。
    7.如图,求出图中阴影部分的面积。(图中数据的单位都是厘米)

    模块四:求周长举例
    【例1】如图,阴影部分的周长是( )
    B.
    C. D.
    【例2】把一个长8厘米宽4厘米的长方形,如图所示折一折,得到右面图形,则阴影部分四个三角形的周长之和是 厘米。
    【例3】【2018·中大附1】如图,点P为长方形ABCD上一动点,它以每秒1cm的速度从A出发,沿着A→B→C→D的路线运动,到点D停止,从2秒开始一直至8秒,△PAD的面积均为6cm2,那么长方形ABCD的周长为 。
    【例4】如图所示,正方形ABCD的边长为4,求阴影部分的周长。

    【例5】如图所示,有7根直径都是2分米的圆柱形木棍,用一根绳子把它们捆成一捆,最短需要多少米长的绳子?(取3.14)
    模块五:其它题型举例
    【例1】三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=10厘米,A为扇形AEF的圆心,且阴影部分①与②面积相等,扇形的面积为( )平方厘米。
    A.50 B. C.
    【例2】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
    【例3】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板。问:所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
    【例4】图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米,求阴影部分的面积。


    第5节:平面图形拓展参考答案
    模块一:等积变形模型
    ①等底等高的两个三角形面积相等;
    ②两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,;
    ③两个三角形底相等,面积之比等于高之比,如图②所示,;
    ④在一组平行线之间的等积变形,如图③所示;反之,如果,则可知直线AB平行于CD。
    【例1】如图,ABCD是一个长方形,AB=10厘米,AD=4厘米,E、F分别是BC,AD的中点,G是线段CD上任一点,则图中阴影部分面积为 10 平方厘米。
    【例2】如图所示:任意四边形,是中点,是中点,已知四边形面积是10,则阴影部分的面积是__5__。
    【例3】如图,平形四边形ABCD的底BC长是12厘米,线段FE长是4厘米,那么平形四边形中的阴影部分面积是( 48 )平方厘米。
    【例4】如下图,已知 ABCD 是平行四边形,AC 是对角线,AC=3CG,AE=EF=FB,△EFG 的面积是 6 平方厘米,求平行四边形 ABCD 的面积。
    【解析】△GFB、△GAE和△GEF是等底等高的,所以面积相同:S△GFB=S△GAE=S△GEF=6cm2
    所以,△BAG的面积,S△BAG=18cm2
    △BAG和△BGC是等高三角形,且相应的底边AG和GC的比是:AG:GC = 2:1
    所以,S△BAG:S△BGC = 2:1,于是得知
    S△BGC = 9cm2,于是有,S△BAC = 18+9 = 27cm2
    所以,平行四边形ABCD的面积 = 2×S△BAC = 54cm2

    【例5】在△ABC 中,D、E 和 F 分别为AC、AB、AD 的中点。△DEF 的面积是 4平方厘米。BC=5 厘米,求△ABC 以 BC为底时,它的高是多少厘米?
    【解析】因为D、E分别为AC、AB的中点
    所以
    所以
    因为F是AD的中点,所以
    所以 BC边上的高为:
    【例6】图中长方形的面积是180 平方厘米,S1 和S2 的面积都是60 平方厘米,阴影部分面积是多少平方厘米?
    【解析】连接EB,则S△EFB=180÷2=90(平方厘米),
    S△EAB=90−60=30(平方厘米),
    所以AB:FB=1:3;
    同理,BC:BD=1:3,
    因此S△ABC=AB×BC=×FB×BD=FB×BD=×180=10(平方厘米);
    阴影部分的面积:180−60×2−10=50(平方厘米);
    答:阴影部分的面积是50平方厘米。
    1.梯形ABCD的面积为20,E点在BC上,三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍,BE的长为2,EC的长为5,那么三角形DEC的面积为( A )。
    A. B. C. D.
    2.如图,是梯形下底的中点,则图中与阴影部分面积相等的三角形共有( C )
    A.1个B.2个
    C.3个D.4个
    3.下面是梯形转化为三角形的过程,如果梯形的面积是50.24cm2,高是8cm,那么转化后,三角形的底是( A )cm


    4.右图中的阴影部分的面积是( A )
    A.36 B.24 C.38
    5.(如右图)一个三边长为6cm,8cm 和10 厘米的直角三角形,将它的最短边对折到斜边相重合,重叠后的三角形即阴影部分的面积是( 9 )平方厘米。
    6.如右图,长方形 ABDC 被分成两个长方形,且AB=4AE,图中阴影部分三角形的面积为4 平方分米,长方形ABDC 的面积是( )平方分米。
    7.图中长方形ABCD的长为8厘米,宽为6厘米,E,F分别为所在边的中点,则着色部分的面积为( 12 )平方厘米。
    如图, 边长是4厘米的正方形和直径是4厘米的半圆组成如图所示,其中P点是半圆的中点,点Q是正方形一边的中点,则阴影部分的面积为 8.28 平方厘米。
    【解析】正方形和半圆的面积之和:
    4×4+3.14×(4÷2)2÷2=16+6.28=18.28平方厘米),
    三角形PAB的面积是:4×6÷2=12(平方厘米),
    三角形PBQ的面积是2×2÷2=2(平方厘米),
    则阴影部分的面积是:18.28−12−2=8.28(平方厘米);
    答:阴影部分的面积是8.28平方厘米。
    模块二:割补法
    这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.
    【例1】求出如图阴影部分的面积, B 。(单位:cm,取3.14)
    A.30.5平方厘米 B.32.5平方米
    C.35.5平方厘米 D.40.5平方厘米
    【例2】如图,AC=CD=DB=2厘米,求阴影部分的面积。
    【解析】(平方厘米)
    【例3】如图,长方形ABCD中AC是10厘米,AB是8厘米,若把长方形绕C点旋转90°,求AD边所扫过的面积(阴影部分)。
    【解析】如图:(平方厘米)
    1.如图所示, 正方形的边长为10cm , 则图中阴影部分的面积为( 50cm2 )。
    2.阴影部分的面积为 452.16 平方厘米。(取3.14)
    3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)(共5分)

    【解析】:2×4=8(平方厘米)
    4.已知如图,是一个等腰直角三角形,直角边长8厘米,求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
    【解析】8÷2=4(cm)
    3.14×42÷2=25.12(cm2)
    =16(cm
    25.12-16=9.12(cm2)
    答:图中阴影部分的面积是9.12cm2。
    5.如图,求阴影部分的面积。(单位:厘米)(π取3.14)
    【解析】203×3.14××20×20×=114(平方厘米)
    答:阴影部分的面积114(平方厘米)
    模块三:代数法与和差法
    1、代数法
    将图形按形状、大小分类,并设合适的未知数,通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法,或者通过未知数建立等量关系,不一定要求出未知数。
    2、和差法
    有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的,再利用这些规则图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的。
    【例1】如右图,直角梯形 ABCD 的上底 BC=10 厘米,下底 AD=14 厘米,高 CD=5厘米,又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三角形 DEF 的面积。
    【解析】大梯形的面积是:(10+14)×5÷2=60(平方厘米),
    60÷3=20(平方厘米),
    EC=20×2÷10=4(厘米),
    ED=5−4=1(厘米),
    AF=20×2÷5=8(厘米),
    DF=14−8=6(厘米),
    S△DEF=6×1÷2=3(平方厘米).
    答:三角形DEF的面积是3平方厘米。
    【例2】有四条线段的长度已知,还有两个角是直角,那么四边形(阴影部分)的面积是多少?
    【解析】7×8÷2+4×10÷2,=28+20,=48(平方厘米).
    答:四边形ABCD(阴影部分)的面积是48平方厘米。
    【例3】【2017·白广附2】边长为6厘米的正方形每条边都被三等分,求阴影部分图形的面积。
    【解析】6÷3=2(cm), 2×2=4(cm)
    6×6=36(cm2)(S正ABCD)
    (2+4)×6÷2=18(cm2)(S梯AEHD)
    2×2÷2=2(cm2)(S△EBF)
    2×4÷2=4(cm2)(S△HCG)
    36-18-2-4=12(cm2)(S阴)
    答:阴影部分的面积是12cm2。
    1.如图,边长为(m+3)的正方形纸片,剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则周长是 B 。
    A.4m+10 B.4m+12
    C.2m+8 D.2m+12
    2.下图中空白部分的面积是80平方厘米,求阴影部分的面积为 A 。(取314)
    A.77 B.78 C.80 D.83
    3.如图,两个边长为12 厘米的正方形相互错开3 厘米,那么图中阴影平行四边形的面积是( 135 )平方厘米。
    4.如图, 图的直径d=10cm(取3.14)。则阴影部分的面积是( 44.625 )cm 2。
    第3题 第4题
    5.下图是一个梯形,求梯形里阴影部分的面积。(单位:分米)
    【解析】由图可得梯形的高为,所以阴影
    部分的面积为(平方分米)
    6.求图中阴影部分的面积。
    【解析】半径==5
    阴影部分面积=圆的面积一正方形的面积
    =
    答:阴影部分的面积是28.5。
    7.如图,求出图中阴影部分的面积。(图中数据的单位都是厘米)
    【解析】3.8×6.5+2.6×2.6=31.46(cm2)
    3.8×6.5×+(6.5+2.6)×2.6×=24.8(cm2)
    31.46-24.18=7.28(cm2)
    答:阴影部分面积是7.28cm2。
    模块四:求周长举例
    【例1】如图,阴影部分的周长是( B )
    B.
    C. D.
    【例2】把一个长8厘米宽4厘米的长方形,如图所示折一折,得到右面图形,则阴影部分四个三角形的周长之和是___24__厘米。
    【例3】【2018·中大附1】如图,点P为长方形ABCD上一动点,它以每秒1cm的速度从A出发,沿着A→B→C→D的路线运动,到点D停止,从2秒开始一直至8秒,△PAD的面积均为6cm2,那么长方形ABCD的周长为 16 。
    【例4】如图所示,正方形ABCD的边长为4,求阴影部分的周长。
    【解析】阴影部分的周长:
    3.14×4+2×3.14×4÷4=18.84.
    答:阴影部分的周长是18.84.
    【例5】如图所示,有7根直径都是2分米的圆柱形木棍,用一根绳子把它们捆成一捆,最短需要多少米长的绳子?(取3.14)
    【解析】根据题意分析可得:一条绳总长是6段线段和6条弧长的
    和;每条弧长所对的圆心角的度数都是60度,则六条弧长之和正
    好是一个圆的周长。绳子的总长度为:6×2+3.14×2=12+6.28
    =18.28(分米)=1.828(米)
    答:最短需要1.828米长的绳子。
    模块五:其它题型举例
    【例1】三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=10厘米,A为扇形AEF的圆心,且阴影部分①与②面积相等,扇形的面积为( A )平方厘米。
    A.50 B. C.
    【例2】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
    【解析】因为AD∥BC,BO=2DO
    所以CO=2AO
    因为cm2
    所以cm2
    因为BO=2DO
    所以cm2
    因为CO=2AO
    所以cm2
    所以cm2
    【例3】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板。问:所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
    【解析】设这个面积为36平方厘米的圆形铝板的半径为r厘米,
    则这7个小圆形的半径就是r,根据圆的面积公式可得:,
    所以剩下的边角料的总面积为(平方厘米)
    答:余下的边角料的总面积是8平方厘米。
    【例4】图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米,求阴影部分的面积。

    【解析】因为AB:(AB+EC)=9:14,所以BF:BE=9:14
    故BF=
    DF=DB-BF=
    (平方厘米)
    答:阴影部分面积是平方厘米。

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