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人教版九年级下册27.3 位似第2课时教案设计
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这是一份人教版九年级下册27.3 位似第2课时教案设计，共15页。
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 如图27－3－46，在直角坐标系中，
图27－3－46
△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．按要求完成下列问题：
(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比；
(2)如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以－2呢？
[说明与建议] 说明：能让学生在活动中举一反三，触类旁通、善于发现、勤于探究、敢于质疑、学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生总结，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．
建议：首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在直角坐标系中描出各对应点，得到对应的三角形，然后由教师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结．
归纳导入 1.如图27－3－47，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
方法一： 方法二：
图27－3－47
探究：(1)在方法一中，点A′的坐标是__(2，1)__，点B′的坐标是__(2，0)__；
(2)在方法二中，点A′的坐标是__(－2，－1)__，点B′的坐标是__(－2，0)__．
2．如图27－3－48，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)．以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，B，C的对应点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)或A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4)．
图27－3－48
[说明与建议] 说明：学生已经掌握了位似图形的概念和性质，通过在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标规律．
建议：先留给学生动手填写的时间，然后教师要引导学生分析坐标的变化规律．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第51页习题27.3第5题
如图27－3－49，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3)．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的eq \f(1,2)，写出新矩形各顶点的坐标．
图27－3－49
【模型建立】
在平面直角坐标系中解决位似图形中对应点的坐标问题，一般先找到位似中心，再确定位似比，然后再写出对应点的坐标．
【变式变形】
1．如图27－3－50，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－4))__．
图27－3－50 图27－3－51
2．如图27－3－51，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中点A，B的对应点分别为A′，B′且点A，B，A′，B′均在图27－3－51中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(D)
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，n)) B．(m，n) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(n,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))
3．绥化中考已知：如图27－3－52，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，则点C1的坐标是__(2，－2)__；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，则点C2的坐标是__(1，0)__；
(3)△A2B2C2的面积是__10__平方单位．
图27－3－52 图27－3－53
解：(1)(2)如图27－3－53所示．
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用位似的性质求点的坐标
利用位似可以成比例地放大或缩小一个图形．在图象上的对应点也会发生相应的变换：在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k作位似图形时，在同一象限，横、纵坐标的比都为k；不在同一象限，横、纵坐标的比都为－k.根据这一特点，可以帮助我们解决根据位似求坐标的问题.
图27－3－54
例 武汉中考如图27－3－54，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的eq \f(1,2)后得到线段CD，则端点C的坐标为(A)
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
[命题角度2] 利用位似的性质画图并解决实际问题
利用位似图形的性质画图并解决问题时，利用两图形的位似比得出对应点横、纵坐标的关系是解题关键．
例 巴中中考如图27－3－55，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2.
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即eq \f(S△A1B1C1,S△A2B2C2)＝__eq \f(1,4)__(不写解答过程，直接写出结果)．
图27－3－55
解：(1)、(2)如图27－3－55所示．
(3)由画图可知：eq \f(A1B1,A2B2)＝eq \f(A1C1,A2C2)＝eq \f(B1C1,B2C2)＝eq \f(1,2)，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故填eq \f(1,4).
素材四 教材习题答案
P48 练习
1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
解： 平行．
∵△OAB∽△OCD，
∴∠ABO＝∠D.
∴AB∥CD.
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍．
解： 连接OB，OA，OC并延长至B′，A′，C′，使OB′＝3OB，OA′＝3OA，OC′＝3OC，连接A′B′，B′C′，A′C′，则得到的图形就是将△ABC放大为原来的3倍的三角形．(图略)
P50 练习
1．如图，把△AOB缩小后得到的△COD，求△COD与△AOB的相似比．
解： 由图可知D(2，0)，B(5，0)，则OB＝5，OD＝2.
∵△COD∽△AOB，∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(OD,OB)＝eq \f(2,5).
∴△COD与△AOB的相似比是eq \f(2,5).
2．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4，－5)，B(6，0)，O(0，0)．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标．
解：图略．△A′B′O′三个顶点的坐标分别为A′(8，－10)，B′(12，0)，O′(0，0)或A′(－8，10)，B′(－12，0)，O′(0，0)．
P51 习题27.3
1．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.
解： 位似中心如下图：
第一个图中的相似比是1∶2；第二个图中的相似比为2∶1；第三个图中的相似比是4∶1.
2．如图，以点P为位似中心，将五角星的边长缩小为原来的eq \f(1,2).
解： 答案不唯一．可分别连接点P和五角星的10个顶点得到10条线段，再依次取所连线段的中点，将这10个点按顺序连接，所得的图形即为所求作的五角星．图略．
3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)．以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？
解： 根据平面直角坐标系中位似图形点的坐标变化的特点，将点A，B，C的坐标分别乘eq \f(1,2) 或－eq \f(1,2)即可得到△DEF各顶点的坐标．分别是D(1，1)，E(2，1)，F(3，2)或D(－1，－1)，E(－2，－1)，F(－3，－2)．
4．如图，正方形EFGH，IJML都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心．
(1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3?
(2)正方形IJML是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比；
(3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？
解： (1)正方形IJML与正方形ABCD的相似比为3.
(2)因为对应点连线交于一点，对应边互相平行，所以正方形IJML是正方形EFGH的位似图形；因为eq \f(JK,FG)＝eq \f(JP,FP)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，则相似比为eq \f( 3,2).
(3)因为eq \f(FG,BC)＝eq \f(FP,BP)＝eq \f(4,2)＝eq \f(2,1)，所以正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为2.
5．如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3)．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的eq \f(1,2)，写出新矩形各顶点的坐标．
解：设将矩形AOBC缩小后得到的矩形为A′O′B′C′，点A，O，B，C，的对应点分别为A′，O′，B′，C′，则A′(0，eq \f(3,2))，O′(0，0)，B′(2，0)，C′(2，eq \f(3,2))或A′(0，－eq \f(3,2))，O′(0，0)，B′(－2，0)，C′(－2，－eq \f(3,2))．
6．如图，图中的图案与“A”字图案(虚线图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？
解： (1)横向变宽了；纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍．
(2)纵向变长了；横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍．
7．如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的相似比为0.75的一个图形．
解： 如图所示：
P57 复习题27
1．如图，四边形EFGH相似于四边形MLMN，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．
解： ∠E＝∠M＝67°，∠G＝∠M＝107°，∠L＝∠F＝143°，∠N＝360°－(67°＋107°＋143°)＝43°.∵eq \f(x,35)＝eq \f(6,y)＝eq \f(10,z)＝eq \f(4,10)，∴x＝14，y＝15，z＝25.
2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长．
解： 设△DEF的其他两边的长为x，y(x3．根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．
解： 在图(1)中，由勾股定理求得x＝4，y＝10, ∵eq \f(FG,JI)＝eq \f(GH,HI)＝eq \f(FH,JH)，且∠1＝∠2，
∴△FGH∽△JIH.
图(2)中，∠MHG＋∠MHJ＝90°，∠MHG＋∠GHF＝90°，∴∠MHJ＝∠GHF.
又eq \f(JH,HF)＝eq \f(KH,GH)＝eq \f(2,3)，∴△MJH∽△GFH，x＝124，eq \f(y,22)＝eq \f(72,48)，∴y＝33.
4．李华要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付180元的广告费．如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，要付多少广告费(假设每平方厘米版面的广告费相同) ?
解： 扩大版面后的长方形与原版面相似，相似比为3∶1，面积比为(3∶1)2＝9∶1，所以要付广告费180×9＝1620(元)．
5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为2∶1.
解： 作图如下：
6．某同学的座位到黑板的距离是6 m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30 cm的教科书的字的感觉相同(教科书上的小四号字大小约为0.42 cm×0.42 cm)?
解： 设黑板上的字长为x cm，宽为y cm，则eq \f(x,0.42)＝eq \f(y,0.42)＝eq \f(600,30)，x＝8.4, y＝8.4.
∴黑板上的字应为8.4 cm×8.4 cm大．
7．如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求AB以及零件厚度x.
解： ∵OA∶OC＝OB∶OD，
且∠AOB＝∠COD, ∴△AOB∽△COD，
∴AB∶CD＝OA∶OC＝OB∶OD＝n.
∴AB＝n·CD＝nb，x＝eq \f(a－nb,2).
8．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证PC2＝PA·PB.
证明： 连接AC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又CD⊥AB，∴∠APC＝∠CPB＝90°.
∵∠PAC＋∠ACP＝90°，∠ACP＋∠BCP＝90°，
∴∠PAC＝∠BCP.∴△APC∽△CPB.
∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PA,PC)，即PC2＝PA·PB.
9．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
解：△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC，理由略．
10．如图，△ABC的三条边与△A′B′C′的三条边满足A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且OB＝3OB′.△ABC的面积与△A′B′C′的面积之间有什么关系？
解：由A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，
可证明△ABC∽△A′B′C′，
且相似比为AB∶A′B′＝OB∶OB′＝3∶1.
所以△ABC的面积是△A′B′C′面积的9倍．
11．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解： 设正方形的边长为x mm，根据题意可知，△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比可得eq \f(EF,BC)＝eq \f(AK,AD)，即eq \f(x,120)＝eq \f(80－x,80)，解之得x＝48.所以正方形的边长为48 mm.
12．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D，F两处相隔1000步(1丈10尺，1步＝6尺)，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上．从标杆EF后退127步的H处，可看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？(提示：连接EC并延长交AB于点M，用AM与常数的积表示MC和ME.)
(本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算径》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的31 cm.)
解： ∵CD∥AM，CM∥BG，
可证得△AMC∽△CDG，∴eq \f(AK,CD)＝eq \f(KC,DG).
∵CD＝3丈＝5步，DG＝123步，
∴eq \f(AK,5)＝eq \f(KC,123).∵EF∥AM，EM∥BH，可证得△AME∽△EFH，∴eq \f(AK,EF)＝eq \f(KE,FH)，即eq \f(AK,5)＝eq \f(KC＋1000,127).∴AM＝1250，MC＝30 750.
∴AB＝1255步，BD＝30 750步．
故山峰的高度AB为1255步，AB和标杆CD的水平距离BD为30 750步．
素材五 图书增值练习
[当堂检测]
1. （2013孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） D．（－2，1）或（2，－1）
2. （2013青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A． B．（m，n） C． D．
3. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1: ，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B． C．（，） D．（2，2）
4. 设点P（x，y）为原图形上任意一点，它在新图上的对应点是Q点，以原点O为位似中心，原图与新图的位似比为k（k＞0），（1）若新图与原图是同向位似图形，则点Q的坐标为 ；（2）若新图与原图是反向位似图形，则点Q的坐标为 ．
5. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使AB:A2B2＝1:2．
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．（1）（kx，ky） （2）（－kx，－ky）
5．解：（1）如图所示：A1（1，－3），B1（4，－2），C1（2，－1）；（2）如图所示．
[能力培优]
专题一 开放探究题
1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC.
(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△；
(2)请用适当的方式描述△的顶点的位置.
专题二 实际应用题
2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )
A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm
3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm2.
(1)求S与x的关系式；
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
专题三 一题多变题
4．已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O是位似中心，OD∶OD′=2∶3，如图所示，求S五边形ABCDE与S五边形A′B′C′D′E′之比是多少？
（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形A′B′C′D′E′的周长；
（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE与△OD′E′是位似图形吗？
专题四 阅读理解题
5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”
（1）选择：如图1，点O是等边△PQR的中心，P′、 Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A．2，点P B． eq \f(1,2) ，点P C．2，点O D． eq \f(1,2) ，点O
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法：
①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上，
②连结OE并延长交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，过点E′作E′D′∥ED交OB于点D′；
③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．
【知识要点】
1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.
2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者－k.
【温馨提示】
1．位似图形的位似中心可以在任何位置.
2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.
【方法技巧】
1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.
3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.
参考答案
解:（1）按位似作图在O点与△ABC同侧把△ABC缩小一半，得到△；第（2）问是一个开放性问题，对描述△的顶点的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述的位置，假设以O为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.
2．B【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.
3．解:(1)根据题意,得S=x++2.
(2)根据题意,得x++2=18,整理,得x2-16x+64=0,∴(x-8)2=0,∴x=8,∴x+2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为+2×0.5=5(dm).
(3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2,
∴.
∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.
∵AC和BD,A′C′和B′D′都相交于O点,
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形.
4．解:∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD：OD′=2：3，
∴===．
（1）由题意可知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为=，
∴==．
∵C五边形ABCDE=32cm，∴C五边形A′B′C′D′E′=C五边形ABCDE×=32×=48（cm）．
（2）∵五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，∴==，
∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE与△OD′E′的对应点的连线都经过点O，
∴△ODE与△OD′E′是位似图形．
5．解:(1)由位似的定义，观察图l知：点O是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D．
(2)证明：∵EC∥E′C′，∴，∠CEO=∠C′E′O．
∵ED∥E′D′，∴，∠DEO=∠D′E′O′，
故，∠CED=∠C′E′D′．
∵△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∠CED=60°.
∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形．
素材六 数学素养提升
《相 似 变 换》
我们知道，两个三角形（边数相等的多边形），如果它们的对应边成比例，且对应角相等，就称它们为相似三角形（相似多边形）．两个相似的图形，形状相同，大小可以不等，对应边的比称为相似比．特别地，相似比为1时，相似形即为全等形．
两个相似图形，如果对应顶点的连线交于一点 ，则称它们是位似的，点 称为位似中心．如下图中的相似三角形 和 ，就是位似的，因为它们的对应顶点的连线 交于一点 ． 是它们的位似中心．图形位似时，对应边的比称为位似比．也有的书更形象地把位似图形称为中心相似图形，把位似中心称为相似中心．
设为平面上的一个定点，把平面上任一点 变成直线 上的一点 （下图），使 （此处 为不等于零的一个常数）的变换，称为位似变换．上述定点 叫位似中心，常数 叫位似比．
有时把 点取在多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，也可以把一个图形放大或缩小，得到位似图形，而且更为简便，如下图所示．
我们常常看见工程技术人员绘图使用的放缩尺就是使用位似变换的原理设计的．
使用根据位似换原理制造的“放缩尺”可以很方便地按照指定的比把一个图形放大或缩小．
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 如图27－3－46，在直角坐标系中，
图27－3－46
△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．按要求完成下列问题：
(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比；
(2)如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以－2呢？
[说明与建议] 说明：能让学生在活动中举一反三，触类旁通、善于发现、勤于探究、敢于质疑、学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生总结，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．
建议：首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在直角坐标系中描出各对应点，得到对应的三角形，然后由教师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结．
归纳导入 1.如图27－3－47，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
方法一： 方法二：
图27－3－47
探究：(1)在方法一中，点A′的坐标是__(2，1)__，点B′的坐标是__(2，0)__；
(2)在方法二中，点A′的坐标是__(－2，－1)__，点B′的坐标是__(－2，0)__．
2．如图27－3－48，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)．以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，B，C的对应点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)或A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4)．
图27－3－48
[说明与建议] 说明：学生已经掌握了位似图形的概念和性质，通过在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标规律．
建议：先留给学生动手填写的时间，然后教师要引导学生分析坐标的变化规律．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第51页习题27.3第5题
如图27－3－49，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3)．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的eq \f(1,2)，写出新矩形各顶点的坐标．
图27－3－49
【模型建立】
在平面直角坐标系中解决位似图形中对应点的坐标问题，一般先找到位似中心，再确定位似比，然后再写出对应点的坐标．
【变式变形】
1．如图27－3－50，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－4))__．
图27－3－50 图27－3－51
2．如图27－3－51，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中点A，B的对应点分别为A′，B′且点A，B，A′，B′均在图27－3－51中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(D)
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，n)) B．(m，n) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(n,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))
3．绥化中考已知：如图27－3－52，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，则点C1的坐标是__(2，－2)__；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，则点C2的坐标是__(1，0)__；
(3)△A2B2C2的面积是__10__平方单位．
图27－3－52 图27－3－53
解：(1)(2)如图27－3－53所示．
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用位似的性质求点的坐标
利用位似可以成比例地放大或缩小一个图形．在图象上的对应点也会发生相应的变换：在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k作位似图形时，在同一象限，横、纵坐标的比都为k；不在同一象限，横、纵坐标的比都为－k.根据这一特点，可以帮助我们解决根据位似求坐标的问题.
图27－3－54
例 武汉中考如图27－3－54，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的eq \f(1,2)后得到线段CD，则端点C的坐标为(A)
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
[命题角度2] 利用位似的性质画图并解决实际问题
利用位似图形的性质画图并解决问题时，利用两图形的位似比得出对应点横、纵坐标的关系是解题关键．
例 巴中中考如图27－3－55，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2.
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即eq \f(S△A1B1C1,S△A2B2C2)＝__eq \f(1,4)__(不写解答过程，直接写出结果)．
图27－3－55
解：(1)、(2)如图27－3－55所示．
(3)由画图可知：eq \f(A1B1,A2B2)＝eq \f(A1C1,A2C2)＝eq \f(B1C1,B2C2)＝eq \f(1,2)，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故填eq \f(1,4).
素材四 教材习题答案
P48 练习
1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
解： 平行．
∵△OAB∽△OCD，
∴∠ABO＝∠D.
∴AB∥CD.
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍．
解： 连接OB，OA，OC并延长至B′，A′，C′，使OB′＝3OB，OA′＝3OA，OC′＝3OC，连接A′B′，B′C′，A′C′，则得到的图形就是将△ABC放大为原来的3倍的三角形．(图略)
P50 练习
1．如图，把△AOB缩小后得到的△COD，求△COD与△AOB的相似比．
解： 由图可知D(2，0)，B(5，0)，则OB＝5，OD＝2.
∵△COD∽△AOB，∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(OD,OB)＝eq \f(2,5).
∴△COD与△AOB的相似比是eq \f(2,5).
2．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4，－5)，B(6，0)，O(0，0)．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标．
解：图略．△A′B′O′三个顶点的坐标分别为A′(8，－10)，B′(12，0)，O′(0，0)或A′(－8，10)，B′(－12，0)，O′(0，0)．
P51 习题27.3
1．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.
解： 位似中心如下图：
第一个图中的相似比是1∶2；第二个图中的相似比为2∶1；第三个图中的相似比是4∶1.
2．如图，以点P为位似中心，将五角星的边长缩小为原来的eq \f(1,2).
解： 答案不唯一．可分别连接点P和五角星的10个顶点得到10条线段，再依次取所连线段的中点，将这10个点按顺序连接，所得的图形即为所求作的五角星．图略．
3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)．以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？
解： 根据平面直角坐标系中位似图形点的坐标变化的特点，将点A，B，C的坐标分别乘eq \f(1,2) 或－eq \f(1,2)即可得到△DEF各顶点的坐标．分别是D(1，1)，E(2，1)，F(3，2)或D(－1，－1)，E(－2，－1)，F(－3，－2)．
4．如图，正方形EFGH，IJML都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心．
(1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3?
(2)正方形IJML是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比；
(3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？
解： (1)正方形IJML与正方形ABCD的相似比为3.
(2)因为对应点连线交于一点，对应边互相平行，所以正方形IJML是正方形EFGH的位似图形；因为eq \f(JK,FG)＝eq \f(JP,FP)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，则相似比为eq \f( 3,2).
(3)因为eq \f(FG,BC)＝eq \f(FP,BP)＝eq \f(4,2)＝eq \f(2,1)，所以正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为2.
5．如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3)．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的eq \f(1,2)，写出新矩形各顶点的坐标．
解：设将矩形AOBC缩小后得到的矩形为A′O′B′C′，点A，O，B，C，的对应点分别为A′，O′，B′，C′，则A′(0，eq \f(3,2))，O′(0，0)，B′(2，0)，C′(2，eq \f(3,2))或A′(0，－eq \f(3,2))，O′(0，0)，B′(－2，0)，C′(－2，－eq \f(3,2))．
6．如图，图中的图案与“A”字图案(虚线图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？
解： (1)横向变宽了；纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍．
(2)纵向变长了；横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍．
7．如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的相似比为0.75的一个图形．
解： 如图所示：
P57 复习题27
1．如图，四边形EFGH相似于四边形MLMN，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．
解： ∠E＝∠M＝67°，∠G＝∠M＝107°，∠L＝∠F＝143°，∠N＝360°－(67°＋107°＋143°)＝43°.∵eq \f(x,35)＝eq \f(6,y)＝eq \f(10,z)＝eq \f(4,10)，∴x＝14，y＝15，z＝25.
2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长．
解： 设△DEF的其他两边的长为x，y(x
解： 在图(1)中，由勾股定理求得x＝4，y＝10, ∵eq \f(FG,JI)＝eq \f(GH,HI)＝eq \f(FH,JH)，且∠1＝∠2，
∴△FGH∽△JIH.
图(2)中，∠MHG＋∠MHJ＝90°，∠MHG＋∠GHF＝90°，∴∠MHJ＝∠GHF.
又eq \f(JH,HF)＝eq \f(KH,GH)＝eq \f(2,3)，∴△MJH∽△GFH，x＝124，eq \f(y,22)＝eq \f(72,48)，∴y＝33.
4．李华要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付180元的广告费．如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，要付多少广告费(假设每平方厘米版面的广告费相同) ?
解： 扩大版面后的长方形与原版面相似，相似比为3∶1，面积比为(3∶1)2＝9∶1，所以要付广告费180×9＝1620(元)．
5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为2∶1.
解： 作图如下：
6．某同学的座位到黑板的距离是6 m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30 cm的教科书的字的感觉相同(教科书上的小四号字大小约为0.42 cm×0.42 cm)?
解： 设黑板上的字长为x cm，宽为y cm，则eq \f(x,0.42)＝eq \f(y,0.42)＝eq \f(600,30)，x＝8.4, y＝8.4.
∴黑板上的字应为8.4 cm×8.4 cm大．
7．如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求AB以及零件厚度x.
解： ∵OA∶OC＝OB∶OD，
且∠AOB＝∠COD, ∴△AOB∽△COD，
∴AB∶CD＝OA∶OC＝OB∶OD＝n.
∴AB＝n·CD＝nb，x＝eq \f(a－nb,2).
8．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证PC2＝PA·PB.
证明： 连接AC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又CD⊥AB，∴∠APC＝∠CPB＝90°.
∵∠PAC＋∠ACP＝90°，∠ACP＋∠BCP＝90°，
∴∠PAC＝∠BCP.∴△APC∽△CPB.
∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PA,PC)，即PC2＝PA·PB.
9．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
解：△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC，理由略．
10．如图，△ABC的三条边与△A′B′C′的三条边满足A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且OB＝3OB′.△ABC的面积与△A′B′C′的面积之间有什么关系？
解：由A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，
可证明△ABC∽△A′B′C′，
且相似比为AB∶A′B′＝OB∶OB′＝3∶1.
所以△ABC的面积是△A′B′C′面积的9倍．
11．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解： 设正方形的边长为x mm，根据题意可知，△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比可得eq \f(EF,BC)＝eq \f(AK,AD)，即eq \f(x,120)＝eq \f(80－x,80)，解之得x＝48.所以正方形的边长为48 mm.
12．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D，F两处相隔1000步(1丈10尺，1步＝6尺)，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上．从标杆EF后退127步的H处，可看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？(提示：连接EC并延长交AB于点M，用AM与常数的积表示MC和ME.)
(本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算径》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的31 cm.)
解： ∵CD∥AM，CM∥BG，
可证得△AMC∽△CDG，∴eq \f(AK,CD)＝eq \f(KC,DG).
∵CD＝3丈＝5步，DG＝123步，
∴eq \f(AK,5)＝eq \f(KC,123).∵EF∥AM，EM∥BH，可证得△AME∽△EFH，∴eq \f(AK,EF)＝eq \f(KE,FH)，即eq \f(AK,5)＝eq \f(KC＋1000,127).∴AM＝1250，MC＝30 750.
∴AB＝1255步，BD＝30 750步．
故山峰的高度AB为1255步，AB和标杆CD的水平距离BD为30 750步．
素材五 图书增值练习
[当堂检测]
1. （2013孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） D．（－2，1）或（2，－1）
2. （2013青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A． B．（m，n） C． D．
3. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1: ，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B． C．（，） D．（2，2）
4. 设点P（x，y）为原图形上任意一点，它在新图上的对应点是Q点，以原点O为位似中心，原图与新图的位似比为k（k＞0），（1）若新图与原图是同向位似图形，则点Q的坐标为 ；（2）若新图与原图是反向位似图形，则点Q的坐标为 ．
5. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使AB:A2B2＝1:2．
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．（1）（kx，ky） （2）（－kx，－ky）
5．解：（1）如图所示：A1（1，－3），B1（4，－2），C1（2，－1）；（2）如图所示．
[能力培优]
专题一 开放探究题
1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC.
(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△；
(2)请用适当的方式描述△的顶点的位置.
专题二 实际应用题
2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )
A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm
3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm2.
(1)求S与x的关系式；
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
专题三 一题多变题
4．已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O是位似中心，OD∶OD′=2∶3，如图所示，求S五边形ABCDE与S五边形A′B′C′D′E′之比是多少？
（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形A′B′C′D′E′的周长；
（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE与△OD′E′是位似图形吗？
专题四 阅读理解题
5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”
（1）选择：如图1，点O是等边△PQR的中心，P′、 Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A．2，点P B． eq \f(1,2) ，点P C．2，点O D． eq \f(1,2) ，点O
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法：
①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上，
②连结OE并延长交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，过点E′作E′D′∥ED交OB于点D′；
③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．
【知识要点】
1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.
2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者－k.
【温馨提示】
1．位似图形的位似中心可以在任何位置.
2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.
【方法技巧】
1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.
3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.
参考答案
解:（1）按位似作图在O点与△ABC同侧把△ABC缩小一半，得到△；第（2）问是一个开放性问题，对描述△的顶点的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述的位置，假设以O为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.
2．B【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.
3．解:(1)根据题意,得S=x++2.
(2)根据题意,得x++2=18,整理,得x2-16x+64=0,∴(x-8)2=0,∴x=8,∴x+2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为+2×0.5=5(dm).
(3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2,
∴.
∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.
∵AC和BD,A′C′和B′D′都相交于O点,
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形.
4．解:∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD：OD′=2：3，
∴===．
（1）由题意可知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为=，
∴==．
∵C五边形ABCDE=32cm，∴C五边形A′B′C′D′E′=C五边形ABCDE×=32×=48（cm）．
（2）∵五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，∴==，
∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE与△OD′E′的对应点的连线都经过点O，
∴△ODE与△OD′E′是位似图形．
5．解:(1)由位似的定义，观察图l知：点O是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D．
(2)证明：∵EC∥E′C′，∴，∠CEO=∠C′E′O．
∵ED∥E′D′，∴，∠DEO=∠D′E′O′，
故，∠CED=∠C′E′D′．
∵△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∠CED=60°.
∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形．
素材六 数学素养提升
《相 似 变 换》
我们知道，两个三角形（边数相等的多边形），如果它们的对应边成比例，且对应角相等，就称它们为相似三角形（相似多边形）．两个相似的图形，形状相同，大小可以不等，对应边的比称为相似比．特别地，相似比为1时，相似形即为全等形．
两个相似图形，如果对应顶点的连线交于一点 ，则称它们是位似的，点 称为位似中心．如下图中的相似三角形 和 ，就是位似的，因为它们的对应顶点的连线 交于一点 ． 是它们的位似中心．图形位似时，对应边的比称为位似比．也有的书更形象地把位似图形称为中心相似图形，把位似中心称为相似中心．
设为平面上的一个定点，把平面上任一点 变成直线 上的一点 （下图），使 （此处 为不等于零的一个常数）的变换，称为位似变换．上述定点 叫位似中心，常数 叫位似比．
有时把 点取在多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，也可以把一个图形放大或缩小，得到位似图形，而且更为简便，如下图所示．
我们常常看见工程技术人员绘图使用的放缩尺就是使用位似变换的原理设计的．
使用根据位似换原理制造的“放缩尺”可以很方便地按照指定的比把一个图形放大或缩小．
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