小升初冲刺名校数学拓展——第6节：立体图形拓展 试卷

这是一份小升初冲刺名校数学拓展——第6节：立体图形拓展，共13页。

模块一：正方体题型举例
【例1】用棱长为1的小正方体木块摆成一个长20，宽15，高10的长方体，然后将所摆成的长方体表面喷上颜色。则没有喷到颜色的木块共有（ ）个。
【例2】一个长方体木块，锯掉5厘米后，得到一个正方体木块，表面积比原来减少100平方厘米，求原来长方体木块的表面积。

【例3】一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿出一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?

1.将1立方米的大正方体锯成体积是1立方厘米的小正方体，然后将它们一个一个连成一排，其总长度是 千米。
2. 一个正方体木块，棱长4 厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1 厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有（ ）块，没有一面是绿色的有（ ）块。
3.已知一个正方体的体积是729立方厘米，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是665立方厘米，则截去的每个小正方体的棱长是 。
模块二：液体浸物
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 ＝V现在－V原来
也可以 V物体 ＝S底面×(h现在－ h原来)
V物体 ＝S底面×h升高
【例1】一个圆柱形容器中有足够量的水，在水中放入一个圆锥形铅锤后，水面上升了3厘米，已知容器内部底面的半径是铅锤底面半径的2倍，这个铅锤的高为多少厘米？
【例2】一个圆柱形的容器的底部放着一块正方体铅块，现在向容器内匀速注水，20秒时水恰好没过铅块的上表面，又过了1.5分钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高是6厘米，则容器底面积是多少平方厘米?

【例3】如图，在底面是边长为60厘米的正方体容器里，直立放着一个高100厘米，底面边长为18厘米的正方形的铁块，这时容器里的水深是50厘米，现在把铁块提出容器之后，水面下降（ ）厘米
1.一瓶装满的矿泉水，小亮喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放好在水平的桌面上，无水部分是高3cm，内直径是6cm的圆柱体，那么小亮喝了（ ）cm3水。
A.18 B.64 C.27
2.一个棱长8分米的正方体水缸，水深6分米，如放入一块石头完全浸入水中，水溢出18升，则石头的体积是 dm3.
3.一个长方体的玻璃鱼缸，长8dm、宽5dm、高6dm，水深2.8dm。如果放入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水上升 dm。
4.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?
5.一个正方体金鱼缸的棱长是2dm，鱼缸内装有5L水，把一块珊瑚石放入水中，这时鱼缸内水深15cm。这块珊瑚石的体积是多少？

6.一个正方体的玻璃容器棱长是10厘米，先给这个容器注入4厘米的水，再把2个一样的钢球放进里面，容器的水上升了3厘米，一个钢球的体积是多少立方厘米?
7.在半径为20 厘米的圆柱形储水桶里，有一段截面为正方形的方钢浸没在水中，正方形的边长是4 厘米。当这段方钢从水中取出时，桶里的水面下降了0.5 厘米。这段方钢长多少厘米？（值取3）

模块三：其它题型举例
【例1】下图给出了一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
这个立体图形的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）
这个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
【例2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（π取3）
【例3】如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?

1.一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是2:3，它们的体积比也是5:6，圆柱和圆锥的高的比是 。
A.5:8 B.8:5 C.15:8 D.8:15
2.一个圆锥和一个圆柱的底面半径之比为2:1，高之比为3:5，那么它们的体积之比为 。
3.四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的大圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是 立方厘米。
4.下图分别是一个圆锥和圆柱的侧视图，两个图形的体积相同，那么圆柱的高为
厘米。（π取3.14）
5.某个立体图形的三视图如下，请根据图中数据求出该立体图形的体积。（π＝3.14）
6.—个酒洁瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．它的容积为26.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面离为6 厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2 厘米，则瓶内酒精体积是多少立方厘米？合多少升？

7.如下图，一个密封的长方体玻璃缸中的水深3厘米（图a)，如果把玻璃缸翻转如（图b)，里面的水深是多少厘米?

第6节：立体图形拓展参考答案
模块一：正方体题型举例
【例1】用棱长为1的小正方体木块摆成一个长20，宽15，高10的长方体，然后将所摆成的长方体表面喷上颜色。则没有喷到颜色的木块共有（ 1872 ）个。
【例2】一个长方体木块，锯掉5厘米后，得到一个正方体木块，表面积比原来减少100平方厘米，求原来长方体木块的表面积。
【解析】原长方体的宽与高是：100÷4÷5=5(厘米)
原长方体的长是：5+5=10(厘米)，
5×5×2+5×10×4=250(平方厘米)；
答：原来长方体木块的表面积是250平方厘米。
【例3】一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿出一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?
【解析】余下体积:33-12×3×3+12×2=20(立方厘米)
余下表面积:32×6-12×6+(3-1)×1×4×3=72(平方厘米)
答:它余下的体积是20立方厘米，表面积是72平方厘米.
1.将1立方米的大正方体锯成体积是1立方厘米的小正方体，然后将它们一个一个连成一排，其总长度是 10 千米。
2. 一个正方体木块，棱长4 厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1 厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有（ 24 ）块，没有一面是绿色的有（ 8 ）块。
3.已知一个正方体的体积是729立方厘米，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是665立方厘米，则截去的每个小正方体的棱长是 2厘米 。
模块二：液体浸物
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 ＝V现在－V原来
也可以 V物体 ＝S底面×(h现在－ h原来)
V物体 ＝S底面×h升高
【例1】一个圆柱形容器中有足够量的水，在水中放入一个圆锥形铅锤后，水面上升了3厘米，已知容器内部底面的半径是铅锤底面半径的2倍，这个铅锤的高为多少厘米？
解：设铅锤底面半径为r，则容器底面半径为2r。
（厘米）
【例2】一个圆柱形的容器的底部放着一块正方体铅块，现在向容器内匀速注水，20秒时水恰好没过铅块的上表面，又过了1.5分钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高是6厘米，则容器底面积是多少平方厘米?
【解析】如图:前20秒由于有铅块占用一部分体积,所以高度升高快,后1.5分,由于没有占用体积,高度升高较慢但无论前后,因为注水量不变,设每秒注水量为1份,则前20秒注水量20份,后1.5分注水量90份,即前后体积比为2:9,而前后升高的高度比为6:18=1:3,则可根据比例关
系求出前后的底面积比为=2:3，
则1份为:6×6=36(cm2)
S圆=36×3=108(cm2)
【例3】如图，在底面是边长为60厘米的正方体容器里，直立放着一个高100厘米，底面边长为18厘米的正方形的铁块，这时容器里的水深是50厘米，现在把铁块提出容器之后，水面下降（ 4.5 ）厘米
1.一瓶装满的矿泉水，小亮喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放好在水平的桌面上，无水部分是高3cm，内直径是6cm的圆柱体，那么小亮喝了（ C ）cm3水。
A.18 B.64 C.27
2.一个棱长8分米的正方体水缸，水深6分米，如放入一块石头完全浸入水中，水溢出18升，则石头的体积是 146 dm3.
3.一个长方体的玻璃鱼缸，长8dm、宽5dm、高6dm，水深2.8dm。如果放入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水上升（ 1.6 ）dm。
4.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?
【解析】3.14×(10÷2)2×2÷[3.14×(20÷2)2]=0.5(厘米)，
答：这时乙杯中的水位上升了0.5厘米。
5.一个正方体金鱼缸的棱长是2dm，鱼缸内装有5L水，把一块珊瑚石放入水中，这时鱼缸内水深15cm。这块珊瑚石的体积是多少？
【解析】15cm=1.5dm 5升=5dm3
2×2×1.5-5=1(dm3)
答：这块珊瑚石的体积是1 dm3。
6.一个正方体的玻璃容器棱长是10厘米，先给这个容器注入4厘米的水，再把2个一样的钢球放进里面，容器的水上升了3厘米，一个钢球的体积是多少立方厘米?
【解析】[10×10×(4+3)-10×10×4]÷2=150(立方厘米)
答:一个钢球的体积是150立方厘米。
7.在半径为20 厘米的圆柱形储水桶里，有一段截面为正方形的方钢浸没在水中，正方形的边长是4 厘米。当这段方钢从水中取出时，桶里的水面下降了0.5 厘米。这段方钢长多少厘米？（值取3）
【解析】正方体方钢的体积：
3×202×0.5=3×400×0.5=600(立方分米)，
这段方钢的长是：
600÷(4×4)=600÷16=37.5(厘米)；
答：这段方钢长37.5厘米。
模块三：其它题型举例
【例1】下图给出了一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
这个立体图形的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）
这个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
解答：根据该几何体的三视图可知该几何体的下面底面直径为2、高为1的圆柱，上面是高为2的圆柱的一半，
故该几何体的表面积为：平方厘米
体积为：3.14×12×1+×3.14×12×2=6.28立方厘米，
【例2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（π取3）
解答：设圆锥体高是h厘米，水体积是v立方厘米，
则正放时水体积V=3×(12÷2)2×(12+h−11)
倒放时水体积v=×3×(12÷2)2×h+3×(12÷2)2×(12−5)
则3×(12÷2)2×(12+h−11)=13×3×(12÷2)2×h+3×(12÷2)2×(12−5)
解得h=9.
这个容器容积：
3×(12÷2)2×12+13×3×(12÷2)2×9=3×(12÷2)2×(12+3)=3×36×15=1620(立方厘米)
答：这个容器的容积是1620立方厘米。
【例3】如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?
【解析】可设容器中水的底面积为S1，圆锥形容器的底面积为S，
，得S=4S1
水的体积为：S1×h=3,即S1h=18，
容器的体积为：Sh=×4S1 h=×4×18,=6×4=24(升)，
容器还能装：24−3=21(升)
答：这个容器还可以再装21升水。
1.一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是2:3，它们的体积比也是5:6，圆柱和圆锥的高的比是 A 。
A.5:8 B.8:5 C.15:8 D.8:15
2.一个圆锥和一个圆柱的底面半径之比为2:1，高之比为3:5，那么它们的体积之比为 4:5 。
3.四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的大圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是 120 立方厘米。
4.下图分别是一个圆锥和圆柱的侧视图，两个图形的体积相同，那么圆柱的高为
厘米。（π取3.14）
【解答】由题意可得，
因为两个图形的体积相同，所以可列方程为：
解得：
所以圆柱的高为厘米
5.某个立体图形的三视图如下，请根据图中数据求出该立体图形的体积。（π＝3.14）
【解答】

答：该立体图形的体积为59.66。
6.—个酒洁瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．它的容积为26.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6 厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2 厘米，则瓶内酒精体积是多少立方厘米？合多少升？
【解析】因为，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，
所以，液体体积是空余部分体积的：6÷2=3倍，
26.4π×=26.4×3.14×=82.896×=62.172(立方厘米)，
62.172立方厘米=0.062172升
答：瓶内酒精的体积62.172立方厘米；合0.062172升。

7.如下图，一个密封的长方体玻璃缸中的水深3厘米（图a)，如果把玻璃缸翻转如（图b)，里面的水深是多少厘米?
【解析】3÷4= 8×=6(cm)
答：里面的水深6cm。