小升初冲刺名校数学拓展——第8节：差倍、和倍、和差问题与盈亏问题

这是一份小升初冲刺名校数学拓展——第8节：差倍、和倍、和差问题与盈亏问题，共13页。


模块一：差倍、和倍、和差问题
差倍问题：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
基本公式 差÷（倍数－1）＝ 较小的数
较小的数×倍数 ＝ 较大的数
和倍问题：已知几个数的和与这几个数之间的倍数关系求这几个数的应用题。
基本公式 和÷（倍数+1）＝ 较小数（一倍数）
较小数 × 倍数＝ 较大数 或：和－较小数＝较大数。
和差问题：已知两个数的和与差，反过来求这两个数。
基本公式 （和＋差）÷2 = 较大的数
（和－差）÷2 = 较小的数
温馨提示：为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示几种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
【例1】甲仓有粮52 吨，乙仓有粮46 吨。甲仓每天运进3 吨，乙仓每天运进8 吨。多少天后，乙仓存粮是甲仓的2 倍?

【例2】甲、乙两箱苹果共重84千克，从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱，乙箱的重量就是甲箱的3倍，两箱原来各有苹果多少千克?

【例3】两个牧童放羊，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊正好是你的羊的2倍。乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了。”请问甲、乙各有多少只羊？

【例4】有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数和是乙筐的4倍，甲、乙、丙各有几只苹果？
1.某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人，现第一组发现人手不够需第二组支援。问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?设抽调x人，则可列方程（ ）。
A.20=2(26－x) B.20+x=2×26 C.2(20+x)=26－x D.20+x=2(26－x)
2.小聪邮票的张数是小明的2.1倍，如果小聪送给小明11张，两人的邮票就一样多了，小聪和小明原来共有邮票（ ）张。
A.58 B.61 C.62 D.65
3.甲乙两仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲仓库原来运进货物（ ）吨?
A.510 B.600 C.750 D.780
4.果店运回苹果和梨子共200千克，苹果的千克数是梨子的1.5倍，运回的梨子（ ）千克?
A.60 B.80 C.100 D.120
5.甲桶倒给乙桶5千克油后，两桶油相等，原来甲桶比乙桶多（ ）千克。
A.2.5 B.5 C.10 D.20
6.小明有若干张10元、5元的纸币，这两种纸币的张数相同，那么小明可能有（ ）
A.50 B.51 C.75 D.100
7.饲养场养鸭300 只，养的鸡比鸭的1.5 倍还多200 只，则这个饲养场有鸡（ ）只，鸭的只数比鸡少。
8.甲数扩大10倍等于乙数，甲、乙的和是22，则甲数是 。
9.某饲养场养鸡和鸭共1200只，其中鸡的数量比鸭的3倍还多40只，这饲养场有鸡 只，鸭 只。
10.某校有教师128人，其中女教师比男教师的2倍还多8人，则该校有男教师 人，女教师 人。
11.两箱鸡蛋共重72千克，如果从甲箱取出13千克放入乙箱，那么乙箱鸡蛋的重量是甲箱的2倍，则原来甲箱有鸡蛋 千克。
12.某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，参赛总人数是 人。
13.师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个?

14.某公园的门票为每人5元，30人以上(含30人)的团队票为每人3元，六(1)班和六(2)班参加游园的同学都不足30人，且人数相等，于是两班合起来购买团体票，这样比各自买票少花100元，两班参加游园的人数各是多少?
15.(6分）甲工程队有150人，乙工程队有147人，现任务需要，要求甲队的人数是乙队的2倍，应从乙队调出几人到甲队？
模块二：盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
盈亏问题公式
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
【例1】六（1）班的同学植树，其中有3 人每人分树苗4 棵，其余每人分3 棵，这样最后余下11 棵；如果1 人先分3 棵，其余每人分5 棵树苗，则恰好分完，求总人数和树苗总数。

【例2】用一根绳绕一根树可绕3圈还多2米，如绕5圈则差0.4米，这根绳有多长?

【例3】某校给培训课老师发洗衣粉，如果给男老师每人3包，女老师每人4包，那么就会多出8包，如果给男老师每人4包，女老师每人5包，那么就会少7包，已知男老师比女老师多1 人， 那么男老师有 人。
1.在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数几何?大意为:现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元。问人数是多少?若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ）。
A.8x－3=7x+4 B.8(x－3)=7(x+4) C.8x+4=7x－3 D.8x+3=7x－4
2.用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周绳子还多4米，若环绕4周又少了3米，则环绕大树一周需要绳子长（ ）。
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
3.一盘草莓约20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有（ ）。
A.15 B.16 C.17 D.18
4.把一包糖分给一些小朋友，如果每人分8 粒，还剩18 粒；如果其中10 个小朋友每人分7粒，其余的小朋友每人分10 粒，就刚好分完。有（ ）个小朋友.
5.有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数也多1个，5个5个地数还多1个，这箱苹果至少有 个。
6.一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，有 只船。
第8节：差倍、和倍、和差问题与盈亏问题参考答案
模块一：差倍、和倍、和差问题
差倍问题：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
基本公式 差÷（倍数－1）＝ 较小的数
较小的数×倍数 ＝ 较大的数
和倍问题：已知几个数的和与这几个数之间的倍数关系求这几个数的应用题。
基本公式 和÷（倍数+1）＝ 较小数（一倍数）
较小数 × 倍数＝ 较大数 或：和－较小数＝较大数。
和差问题：已知两个数的和与差，反过来求这两个数。
基本公式 （和＋差）÷2 = 较大的数
（和－差）÷2 = 较小的数
温馨提示：为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示几种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
【例1】甲仓有粮52 吨，乙仓有粮46 吨。甲仓每天运进3 吨，乙仓每天运进8 吨。多少天后，乙仓存粮是甲仓的2 倍?
【解析】设x天后，乙仓存粮是甲仓的2倍，
(52+3x)×2=46+8x
x=29
答：29天后，乙仓存粮是甲仓的2倍。
【例2】甲、乙两箱苹果共重84千克，从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱，乙箱的重量就是甲箱的3倍，两箱原来各有苹果多少千克?
【解析】设甲箱原有x千克，乙箱为（84-x）千克


（千克）
答：甲箱原有36千克，乙箱为48千克。
【例3】两个牧童放羊，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊正好是你的羊的2倍。乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了。”请问甲、乙各有多少只羊？
【解析】由乙对甲说的话得知,甲比乙多2只羊。
再由甲对乙说的话得知,当乙给甲1只羊后,甲比乙多的只数是2+1×2=4(只),这时甲的只数是乙的2倍。甲比乙多2-1=1倍
甲有羊:4×2=8(只), 乙原有羊4+1=5(只)
答:甲有7只羊,乙有5只羊。
【例4】有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数和是乙筐的4倍，甲、乙、丙各有几只苹果？
解：设甲筐有苹果只，则乙筐有只，丙筐有只。
解得：
乙筐：21－12＝9（只）； 丙筐：21＋15＝36（只）
1.某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人，现第一组发现人手不够需第二组支援。问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?设抽调x人，则可列方程 D 。
A.20=2(26－x) B.20+x=2×26 C.2(20+x)=26－x D.20+x=2(26－x)
2.小聪邮票的张数是小明的2.1倍，如果小聪送给小明11张，两人的邮票就一样多了，小聪和小明原来共有邮票 C 张。
A.58 B.61 C.62 D.65
3.甲乙两仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲仓库原来运进货物 C 吨?
A.510 B.600 C.750 D.780
4.果店运回苹果和梨子共200千克，苹果的千克数是梨子的1.5倍，运回的梨子 B 千克?
A.60 B.80 C.100 D.120
5.甲桶倒给乙桶5千克油后，两桶油相等，原来甲桶比乙桶多（ C ）千克。
A.2.5 B.5 C.10 D.20
6.小明有若干张10元、5元的纸币，这两种纸币的张数相同，那么小明可能有（ C ）
A.50 B.51 C.75 D.100
7.饲养场养鸭300 只，养的鸡比鸭的1.5 倍还多200 只，则这个饲养场有鸡（ 650 ）只，鸭的只数比鸡少。
8.甲数扩大10倍等于乙数，甲、乙的和是22，则甲数是 2 。
9.某饲养场养鸡和鸭共1200只，其中鸡的数量比鸭的3倍还多40只，这饲养场有鸡 910 只，鸭 290 只。
10.某校有教师128人，其中女教师比男教师的2倍还多8人，则该校有男教师 40 人，女教师 88 人。
11.两箱鸡蛋共重72千克，如果从甲箱取出13千克放入乙箱，那么乙箱鸡蛋的重量是甲箱的2倍，则原来甲箱有鸡蛋 37 千克。
12.某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，参赛总人数是 226 人。
13.师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个?
【解析】徒弟：（个）
师傅：105-25=80（个）
答：师傅加工零件80个，徒弟加工25个。
14.某公园的门票为每人5元，30人以上(含30人)的团队票为每人3元，六(1)班和六(2)班参加游园的同学都不足30人，且人数相等，于是两班合起来购买团体票，这样比各自买票少花100元，两班参加游园的人数各是多少?
【解析】100÷(5-3)=100÷2=50(人)(两班共有50人)
50÷2=25(人)(两班各有25人)
答:六(1)班和六(2)班都有25人。
15.(6分）甲工程队有150人，乙工程队有147人，现任务需要，要求甲队的人数是乙队的2倍，应从乙队调出几人到甲队？
【解析】设从乙队调出人。
150=(147)×2
=48
答：应从乙队调出48人。
模块二：盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
盈亏问题公式
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
【例1】六（1）班的同学植树，其中有3 人每人分树苗4 棵，其余每人分3 棵，这样最后余下11 棵；如果1 人先分3 棵，其余每人分5 棵树苗，则恰好分完，求总人数和树苗总数。
【解析】设总人数为x人，则有：
3×4+(x−3)×3+11=3×1+(x−1)×5，
x=8；
树苗总量为：3×4+(8−3)×3+11=38(棵)；
答：总人数为8人，树苗总数为38棵。
【例2】用一根绳绕一根树可绕3圈还多2米，如绕5圈则差0.4米，这根绳有多长?
【解析】设树的周长为米。


则绳长：1.2×3+2=5.6(米)
答:绳长5.6米
【例3】某校给培训课老师发洗衣粉，如果给男老师每人3包，女老师每人4包，那么就会多出8包，如果给男老师每人4包，女老师每人5包，那么就会少7包，已知男老师比女老师多1 人， 那么男老师有 60 人。
1.在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数几何?大意为:现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元。问人数是多少?若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是 A 。
A.8x－3=7x+4 B.8(x－3)=7(x+4) C.8x+4=7x－3 D.8x+3=7x－4
2.用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周绳子还多4米，若环绕4周又少了3米，则环绕大树一周需要绳子长 C 。
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
3.一盘草莓约20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有 C 。
A.15 B.16 C.17 D.18
4.把一包糖分给一些小朋友，如果每人分8 粒，还剩18 粒；如果其中10 个小朋友每人分7粒，其余的小朋友每人分10 粒，就刚好分完。有（ 24 ）个小朋友.
5.有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数也多1个，5个5个地数还多1个，这箱苹果至少有 61 个。
6.一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，有 9 只船。